同济大学高等数学第七版12-数列的极限

同济大学高等数学第七版12_数列的极限第一页，共28页。如果按照某一法则，对每个，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列就叫做数列，简记为数列.数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的一般项或通项。1、数列定义一、数列极限的定义第二页，共28页。例如注意：

(1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数第三页，共28页。(1)有界性数列{xn}有上界,即存在M,使xn≤M(n=1,2,…).数列{xn}有下界,即存在m,使xn

≥m(n=1,2,…).2.数列的性质第四页，共28页。有界有界有界无界有界判断下列数列第五页，共28页。单调增加单调减少单调数列(2)单调性单调增加单调减少判断下列数列的单调性第六页，共28页。单调增加无单调性无单调性第七页，共28页。观察下列数列当n无限增大时，LL,,2

1®LL,

0®从上面可以看出:当¥®n时,无限地接近于1,数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,一般项的变化趋势:数列(1)从的右侧第八页，共28页。3.数列极限的定义

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于一个确定的常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为axnn=¥®lim，

或如果数列没有极限，就说数列是发散的．第九页，共28页。例如,趋势不定收敛发散第十页，共28页。问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,无限接近于1.引例观察数列时的变化趋势.第十一页，共28页。,1001给定,10011<n由,100时只要>n,10011<-nx有第十二页，共28页。数列极限的精确定义axnn=¥®lim，

当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或第十三页，共28页。只要n无限增大，xn

就会与1无限靠近。引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。注：就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.第十四页，共28页。记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散.或则称该数列的极限为a,定义:设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数(不论它多小)总存在正整数N,使得当n>N时,不等式都成立，——数列极限的精确定义第十五页，共28页。都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义使得N项以后的所有项注：越小,表示与a接近得越好.第十六页，共28页。OK!N找到了！！n>N目的：NO,有些点在条形域外面！●●●●●●●●●数列极限的演示第十七页，共28页。N数列极限的演示e越来越小，N越来越大！第十八页，共28页。例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故N

与有关,但不唯一.不一定取最小的N.注：第十九页，共28页。例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取机动目录上页下页返回结束第二十页，共28页。例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,则当n>N时,就有故的极限为

0.机动目录上页下页返回结束第二十一页，共28页。

练习1

用定义证明证明对于任意给定的要使

只要取自然数

则当时，有,所以注：就会暂时确定下来,一旦给定,以此来确定相应的N.第二十二页，共28页。二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式机动目录上页下页返回结束第二十三页，共28页。2.收敛数列一定有界.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.有机动目录上页下页返回结束第二十四页，共28页。

收敛的数列必有界.

有界的数列不一定收敛.

无界的数列必发散.

发散的数列不一定无界.第二十五页，共28页。3.收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束第二十六