新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数3.1对数的概念3.2对数的运算法则课件湘教版必修第一册

4.3

对数函数4.3.1

对数的概念1|对数的概念4.3.2

对数的运算法则1.对数的概念如果ab=N(a>0且a≠1),那么b叫作以a为底,(正)数N的对数,记作①

b=logaN

.这

里a叫作对数的②底数

,N叫作对数的真数.2.常用对数与自然对数通常,我们将以10为底的对数叫作对数的常用对数,并把log10N记为③

lgN

;以e

(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为④

lnN

.3.对数的基本恒等式(1)

=N(N>0,a>0且a≠1);(2)b=logaab(b∈R,a>0且a≠1).特别地,logaa=logaa1=1,loga1=logaa0=0.如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=⑤

logaM+logaN

;(2)logaMn=⑥

nlogaM

(n∈R);(3)loga

=logaM-logaN.2|对数的运算法则1.公式:logbN=

.2.推论:logab=

,

bm=

logab(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0).3|换底公式1.因为(-2)2=4,所以2=log(-2)4.

(

✕)提示:因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以结论错误.2.因为a1=a(a>0且a≠1),所以logaa=1.

(√)3.若lnN=

,则N=

.

(

✕)提示:lnN=

,则N=

.4.logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).

(√)提示:根据对数换底公式知结论正确.5.使对数log4(2a+1)有意义的a的取值范围是

.

(√)提示:要使对数log4(2a+1)有意义,需使2a+1>0,解得a>-

,故结论正确.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|利用对数的运算性质化简、求值1.利用对数的运算性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数

间的联系.2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”:将积(商)的对

数拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特

点选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们

可以选择以10为底数进行换底.利用换底公式化简与求值的思路:①用对数的运算性质进行部分运算

换成同一底数.②统一换为常用对数(或自然对数)

化简、求值.(1)化简:

;(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645.解析

(1)原式=

·

=lo

·lo

9=lo

·3lo

32=-

·log32·3log23=-

.(2)解法一:∵18b=5,∴b=log185,于是log3645=

=

=

=

=

.解法二:∵18b=5,∴b=log185,于是log3645=

=

=

.解法三:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18,∴log3645=

=

=

=

=

.2|对数运算性质的综合应用1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义和运算性质,尤其要注意

条件和结论之间的关系.2.解决对数应用问题时,首先要理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设

未知数,建立数学模型,最后转化为对数问题求解.已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,

+

+

=0,求abc的值.思路点拨设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入

+

+

=0并用对数的运算性质可求得abc的值,也可以用换底公式进行计算.解析

解法一:设ax=by=cz=t,则t>0,且t≠1,则x=logat,y=logbt,z=logct,∴

+

+

=

+

+

=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,∴abc=t0=1,即abc=1.即abc=1.解法二:设ax=by=cz=t,则t>0,且t