新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数4函数与方程课件湘教版必修第一册

4.4

函数与方程1|函数零点存在定理如图,一般地,当x从a到b逐渐增加时,如果f(x)连续变化且有①

f(a)·f(b)<0

,

则存在点x0∈(a,b),使得②

f(x0)=0

.如果知道y=f(x)在区间[a,b]上单调递增或单

调递减,就进一步断定,方程f(x)=0在(a,b)内恰有一个根.

1.二分法可以用来寻找函数的零点,迅速地缩小搜索范围,接近零点的准确位置.2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线,我们希望求它在D上的一个

零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得|x-x0|≤ε.(1)在D内取一个闭区间[a,b]⊆D,使f(a)与f(b)异号,即f(a)·f(b)<0;(2)取区间[a,b]的中点m=③

(a+b)

;(3)如果④|m-a|<ε

,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止;(4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的⑤零点

,计算终止;(5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2).2|用二分法求方程的近似解1.所有的函数都有零点.

(

✕)2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.

(

✕)3.若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.(

✕)4.若f(x)在[a,b]上为单调函数,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.

(

✕)5.用二分法可求所有函数的零点.

(

✕)6.达到精确度后,所得区间内任一数均可视为零点的近似值.

(√)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|函数零点个数的判断及应用1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法:(1)转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在定理进行判断,注意函数的单调性.若函数f(x)在区间[a,b]上

的图象是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在

区间(a,b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点问题.2.已知函数f(x)的零点个数求参数范围,通常要对已知条件进行变形,变形的方向:

(1)化为常见的基本初等函数;(2)尽量使参数与变量分离,实在不能分离,也要使含

参数的函数解析式尽可能简单.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.思路点拨应用函数零点存在定理及单调性求解或将其转化为求两函数图象的交点个数,通

过数形结合进行求解.解析

解法一:∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg2-2>0,且f(x)在(0,1)上是连续的,∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数,∴函数f(x)有且只有一个零点.解法二:令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1).在同一平面直角坐标系中作出h(x)和g(x)的图象

如下.

由图可知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,故f(x)=2x+lg(x

+1)-2有且只有一个零点.2|用二分法求方程的近似解在一档娱乐节目中,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格,若猜中了,

就把该物品作为奖励送给选手.某次竞猜的物品为价格在800—1200元的一款手

机.选手:“1000.”主持人:“低了.”……问题1.如果是你,你知道接下来该如何竞猜吗?提示:应猜1000与1200的中间值1100.2.通过这种方法能猜到具体价格吗?能用这种方法求方程的近似解吗?提示:能猜到具体价格,能求方程的近似解.3.用二分法求方程的近似解,如何决定步骤的结束?提示:当对应函数零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时,二分

法步骤结束.4.用二分法求方程的近似解时,精确度不同对零点的近似值有影响吗?提示:有影响.精确度决定步骤的始终,故精确度不同,零点的近似值可能会不同.1.二分法求方程近似解的适用条件:(1)在初始区间内函数图象是连续不断的;(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号,即是变号零点.2.利用二分法求方程近似解的步骤:(1)构造函数,选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度

尽量小.(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间,依次进行计算.(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.用二分法求函数f(x)=x3-3的零点的近似值(精确度为0.02).解析

由于f(0)=-3<0,f(1)=-2<0,f(2)=5>0,因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下:零点所在区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.25-1.047(1.25,1.5)1.375-0.400(1.375,1.5)1.4375-0.030(1.4375,1.5)1.468750.168(1.437