-新教材高中数学基础练22函数奇偶性的概念含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE4函数奇偶性的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x4-1 B.f(x)=x2(-1<x<3)C.f(x)=x+ D.f(x)=【解析】选A.选项A中,f(-x)=x4-1=f(x)且定义域为R,故该函数为偶函数;选项B中的函数定义域不关于原点对称,故该函数为非奇非偶函数;选项C中,f(-x)=-x-=-=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数;选项D中,f(-x)=-=-f(x),又定义域关于原点对称,故该函数为奇函数.2.下面四个结论:①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故①错;函数y=是奇函数,但不过原点,故②错;函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故④错.【补偿训练】已知f(x)是偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是()A.f(-0.5)<f(0)<f(-1)B.f(-1)<f(-0.5)<f(0)C.f(0)<f(-0.5)<f(-1)D.f(-1)<f(0)<f(-0.5)【解析】选C.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).又因为f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以f(0)<f(0.5)<f(1),即f(0)<f(-0.5)<f(-1).3.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选B.F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).又x∈(-a,a)关于原点对称,所以F(x)是偶函数.4.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于()A.-2 B.0 C.1 D.2【解析】选A.f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)是奇函数,可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.6.若f(x)为R上的奇函数,给出下列四个说法:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)-f(-x)=2f(x);③f(x)·f(-x)<0;④=-1.其中一定正确的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.因为f(x)在R上为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故①正确.f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确.当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故③不正确.当x=0时,=无意义,故④不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.下列图象表示的函数是奇函数的是,是偶函数的是(填序号).

【解析】①③关于y轴对称是偶函数,②④关于原点对称是奇函数.答案:②④①③8.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则k=.

【解析】因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1.答案:1【补偿训练】函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数,且其定义域为[3a-4,a],则f(a)=.

A.4B.3C.2D.1【解析】因为奇函数的定义域为[3a-4,a],所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,则f(x)=x3+2bx+1-b,又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1,即f(x)=x3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=x|x3-x|.【解析】(1)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,f(-x)=(-x)2[(-x)2+2]=x2(x2+2)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.(2)f(x)的定义域为R,f(-x)=-x|(-x)3+x|=-x|-x3+x|=-x|x3-x|=-f(x)所以f(x)为奇函数.10.设函数f(x)=x2-2|x|(-3≤x≤3).(1)证明:f(x)是偶函数;(2)画出此函数的图象,并指出函数的单调区间.【解析】(1)因为-3≤x≤3,所以函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=