-新教材高中数学基础练29指数函数的图象和性质的应用含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE7指数函数的图象和性质的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在R上单调递增,则a的值为()A.3 B.2 C. D.【解析】选B.由2a2-5a+3=1,解得a=2,a=,又函数在R上单调递增,则a=2,f(x)=2x.2.函数y=的单调递增区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[1,2] D.[1,3]【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].3.能满足不等式<的a的取值范围为()A. B.(1,2)C.(0,4) D.【解析】选D.因为y=在R上是减函数且<,所以2a+1>3-2a,即a>.结合选项知D符合.4.若2x+1<1,则x的取值范围是()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】选D.不等式2x+1<1=20,因为y=2x在R上是增函数,所以x+1<0,即x<-1.5.若f(x)=3x+1,则()A.f(x)在[-1,1]上单调递减B.y=3x+1与y=+1的图象关于y轴对称C.f(x)的图象过点(0,1)D.f(x)的值域为[1,+∞)【解析】选B.f(x)=3x+1在R上单调递增,则A错误;y=3x+1与y=3-x+1的图象关于y轴对称,则B正确;由f(0)=2,得f(x)的图象过点(0,2),则C错误;由3x>0,可得f(x)>1,则D错误.6.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为,则函数y=3a2x-1在[0,1]上的最大值为()A.16 B.15 C.12 D.【解析】选C.因为函数y=ax在定义域上是单调函数,且y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为,所以1+a=,解得a=,所以函数y=3·a2x-1=3·=12·,因为函数y=在定义域上为减函数,所以y=3·a2x-1在[0,1]上的最大值为当x=0时,函数值是12.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时f(x)=2x-3,则当x<0时f(x)=.

【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x-3,又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-x-3,所以f(x)=3-2-x.答案:3-2-x8.若函数f(x)=则不等式f(x)≥的解集为.

【解析】当x≥0时,由f(x)≥,得≥,所以0≤x≤1.当x<0时,不等式≥明显不成立,综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.答案:{x|0≤x≤1}三、解答题(每小题10分,共20分)9.解下列方程:(1)33x-2=81.(2)=.(3)52x-6×5x+5=0.【解析】(1)因为81=34,所以33x-2=34,所以3x-2=4,解得x=2.(2)因为=,所以=,所以=,解得x=.(3)令t=5x,则t>0,原方程可化为t2-6t+5=0,解得t=5或t=1,即5x=5或5x=1,所以x=1或x=0.10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值.(2)求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)设t=3x,x∈[-1,2],函数t=3x在[-1,2]上是增函数,故有≤t≤9,故t的最大值为9,最小值为.(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且≤t≤9,故当t=1时函数有最小值3,t=9时函数有最大值67.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知>,则a,b的大小关系是()A.1>a>b>0 B.a<bC.a>b D.1>b>a>0【解析】选B.因为f(x)=是减函数且>,所以a<b.2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【解析】选B.由已知,得0<1-2a<1,解得0<a<,即实数a的取值范围是.3.(多选题)若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则能满足不等式的实数m的取值可以是()A.-1 B.1 C.0 D.2【解析】选BD.4x+2x+1+m>1等价于(2x)2+2·2x+1>2-m,即(2x+1)2>2-m.因为2x∈(0,+∞),所以2x+1∈(1,+∞),所以2-m≤1.解得m≥1.4.若方程++a=0有正数解,则实数a的取值范围是()A.(-3,0) B.(0,1)C.(0,3) D.(3,6)【解析】选A.令=t,因为方程有正根,所以t∈(0,1).方程转化为t2+2t+a=0,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).二、填空题(每小题5分,共20分)5.若-1<x<0,a=2-x,b=2x,c=0.2x,则a,b,c的大小关系是.

【解析】因为-1<x<0,所以由指数函数的图象和性质可得:2x<1,2-x>1,0.2x>1,又因为0.5x<0.2x,所以b<a<c.答案:b<a<c6.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则a=;f(2)=.

【解析】因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f(2)=22-2-2=.答案:27.若0<a<1,函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a=.

【解析】若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).答案:8.已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.

【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,当x≥a时函数为增函数,而已知f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以a≤1.答案:(-∞,1]三、解答题(共30分)9.(10分)已知3x≤,求函数y=的值域.【解析】由3x≤,得3x≤3-2x+6,所以x≤-2x+6,解得x≤2.又因为y=在x∈(-∞,2]上是减函数,所以y=≥=,故y=的值域为.10.(10分)已知函数f(x)=-1.(1)作出f(x)的简图.(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=如图所示:(2)作出直线y=3m,当-1<3m<0,即-<m<0时函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解.11.(10分)已知函数f(x)=1-.(1)求函数f(x)的定义域,判断并证明f(x)的奇偶性.(2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数.(3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0.【解析】(1)因为3x>0,3x+1≠0,函数f(x)的定义域为R,f(x)=1-==,所以f(-x)===-f(x).所以f(x)是定义在R上的奇函数.(2)任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1--=-==,因为x1<x2,所以-<0.f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在其定义域上是增函数.(3