2020年中考研究之有关圆的综合问题

2020年中考研究之有关圆的综合问题

1.(2020年北京第23题)

如图，AB为。O的直径，C为BA延长线上一点，CD是。O的切线，D为切点，OF±AD于

点E,交CD于点F.

(1)求证:zADC=zAOF;

(2)若sinC=1,BD=8,求EF的长.

o

解析：对于（2）如上图：

对于（1）证明：••,co是。。切线

：.ODLCD

为。。直径

：.ADLBD又.「sinC=Q

又♦.•OF_L/。

.OD=1

：.OFHBD"0C=3

,\ZAOF=ZB

.PC=3

,「C。是。。切线

：.ZADC=ZB•：OFIIBD

.\ZADC=ZAOF.OF=OC=3=OF=CF

'^D=^C=4=~^=CD

：.OF=6

由于。为中点，OFIIBD

：.0E二BD二X8=4

.\EF=OF-OE=6-4=2

2.(2020上海第25题)

如图，在AABC中，AB=AC,。0是AABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

(1)求证：NBAC=2NABD;

(2)当ABCD为等腰三角形时，求/BCD的大小；

(3)当AD=2,CD=3时，求边BC的长.

解析：

对于(1)如图：

A

(R

C

证明：

：.AB=AC,0。是△48C夕耀圆

.•.40为N34。角平分线

.-.ZBAC=2ZBA0

又0A-0B

：.ZABD=^BAO

.-.ABAC^2ZBA0

对于(2)

情况I当BD=BC时

/.ZC=ZBDC=ZBAC+ZABD=jABAC

AB=AC

：.ZC=ZABC

・•・在△43C中存在

N34C+2NC=180。

即：ZBAC+3ZBAC=180°

・・・/瓦4。=45。

ZBCD=1(180°-45°)=67.5°

情况iiBC=CD时

Q

・•・乙CDB=乙CBD=|ABAC

：.ZABC=ZABD+ZBAC=2ZBAC

AB=AC

.\ZABC=ZC

・•・在△43。中存在

N①1C+2NC=18O。

即：

5/840=180。

・・.NB4C=36。

/BCD=NC=](180°-36°)=72°

对于（3）如图

A

解：

•：DF*DB=ADCD

即：x•(2r—x)=2x3=6

「・n=7—―6=DF

OD=i—x=\/r2—6

由△/ODS/XAB。

.AD_OD

BD~AD

AD?=BD,OD

22=(r+,产—6)-7T2—6

4=ry/r2—6+(r2—6)

10—r2=r\Jr2—6

100-20r2+r4=r2(r2-6)

100-20r2=-6r2

在直角三角形尸中

7=A/14

IOA/14-2^/14'F

7

于是，可求得：sinZABF=率=sinNBAE

BE_V2BE

-'-AB=~=~5~

3.(2020天津第21题)

在。O中，弦CD与直径AB相交于点P.zABC=63°.

(I)如图①，若NAPC=100°,求,BAD和NCDB的大小；

(II)如图②，若CD±AB,过点D作。O的切线，与AB的延长线相交于点E,求/E的

图①

解析：

(I)

N4PC=100°,ZXBC=63°

:.NBCD=NBAD=37°(II)

又：43为。0直径

；.NADB=90°

ZABD=180°-90°-37°=53°

NBPD=N4PC=100。

乙CDB=180°-100°-53°=27°

图②

•••/48。=63。=/4。。，CDLAB

：.^BAD=27°

又二⑷？为。O直径

：.ZADB=90°

/.ZCZ?B=90o-63o=27°

•••E。为。。切线

:./BDE=/BAD=27。

.­.ZCDE=27°+27°=54°

・•・NE=90。-54。=36。

4.(安徽第20题)

如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上不同于A,B的两点.AD=BC,AC与BD相

交于点F.BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

(1)求证：ACBA空ADAB;

(2)若BE=BF.求证：AC平分工DAB.

解析：(1)

・二48为半圆。直径

,\ZADB=^ACB=90°(2)

•「△CB4空△048

：,/\CBA^^DAB：.ZCAB=ZDBA

又•・•/EFB=ZCAB+ADBA

：./EFB=2/CAB

•：BE=BF

・•.NE=ZEFB=2ZCAB

•••E3为半圆切线

「.NEBA=90。

ZE=60°,ZCAB=30°

Z.DBA=30°,ADAB=60°