集合的概念难题汇编之欧阳德创编

欧阳德创编

2013年9月犀利哥的高中学组卷时间：

创作：欧阳德一．选择题共11小题1．（2011•广东）设S是数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有∈S，则称S关数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）AV中少有一个关于乘法是封闭的BT，中多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中且只有一个关于乘法是封闭的D．，中一个关于乘法都是封闭的2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x＜1}，那么P等于（）A{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x1}{x|1x2}{x|2x3}3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合2，4，…}从小到大按第n组2n个偶数进行分组如下：则2010位（）A第B．第8组C第组D第10组4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A10B．11个C．个D．个5．用C（A表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=

，若A={1，2}，欧阳德创编

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B={x||x+ax+1|=1}且A*B=1由a的所有可值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B．．D．16．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a，a，a}是S子集，且123a，a，a满足a＜a＜a，a﹣a≤6，那么满足12312332条件的集合A的个数为（）A78．C7．下列命题正确的有（）

D．83（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）

这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A0个B1个2个D3个8．若x∈A∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A15．C2D．9．定义A⊗，x∈A，y∈B}．设集合A={0，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A3B．．18．2710．已知元素为实数的集A满足条件：若a，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A﹣1B1C．0D．11．设集合，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若∈P∈Q，a=x+y，0000b=x•y，则（）00Aa，bQBaQbP．P，PD．，Q欧阳德创编

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二．填空题共14小题12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x，y∈B}．若A={12，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和_________．13．（2011•上海模拟）已知集合，且2∈A，3∉A则实数a的值范围是_________．14．集合，2，3，5，6}是S的一个集，当x∈A时，若﹣1∉A，x+1A则称x为的一个“孤立元素”，那么S中无“立元素”的4元子集的个数是_________．15．（2006•四川）非空集合G于运算⊕满足：（1）对任意的a∈G，都有a⊕b∈G，（2）存在e∈G，都有⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数，⊕为整数的加法．②G={偶数，⊕为整数的乘法．③G={平面向量，⊕为平面向量的加法．④G={二次三项式，⊕为多项式的加法．⑤G={虚数，⊕为复数的乘法．其中G关运算⊕为“融洽集”的是_________．（写出所有“融洽集”的序号）16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2为闭集合；②正整数集是闭集合；③集合A={n|n=3k∈Z}是闭集合；④若集合A，A为闭集合，则A∪A为闭集合；1212欧阳德创编

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⑤若集合A，A为闭集合，且A⊆R，A⊆R，则存1212在c∈R，使得c（A∪A）．12其中正确的结论的序号是_________．17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：（1）a⊕b∈A；（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c给出下列命题：①0∈A②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；④若a、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上）．18．已知集合，a，…，a，n∈N*且n＞2}，12n令T={x|x=a+a}，a∈A∈A，1≤i≤j≤n，Aijijcard（T）表示集合T中元素的个数．AA①若A={2，8，16}，card（T）=A_________；②若a=c1≤i≤n，c为非零常数），则i+1icard（T_________．A19．设集合，3，5，6}，S，…，S12k都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的S={a，b}，S={a，b（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，iiijjjk}，都有（min{x表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是_________．欧阳德创编

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20．设集合=

，B=，函数（x）若x∈A，且f[f（x）]∈A，则x的000取值范围是_________．21．（文）设集合AR，如果x∈R满足：对任意a0＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x|＜a，那么称x00为集合A的聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z（2）R+∪R﹣（3）（4）以0为点的集合有_________（写出所有你认为正确结论的序号）．22．用描述法表示图中的影部分（包括边界）_________．23．设

，则A∩B用列举法可表示为_________．24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即，其中a∈Q．则下列元素：①；②；③；④．其中是集合M的素是_________．（填序号）25．用列举法表示集合：=_________．三．解答题共5小题26．（2007•北京）已知集合，a，…，a12k（k≥2）}，其中a（i=1，2，…），由A中的i元素构成两个相应的集合：（a，b）|a，b∈A，a+b∈A}（a，b）|a∈A，b∈A﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和中的欧阳德创编

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元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣aA则称集合A具有性质P．（I）检验集合{0，1，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其具有性质P的合，写出相应的集合S和T（II）对任何具有性质P集合A证明：；（III判断m和n的大小关系，并证明你的论．27．对于集合22∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以∈A，研究下列问题：（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A哪些不属于A为什么？（2）讨论集B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A试给出一个一般的结论，不必证明．28．已知集合，m，n∈Z}．（1）设x=，x=，x=（1﹣3）2试123判断x，x，x与集合之间的关系；123（2）任取x，x∈A，试判断x+x，x•x与A之间121212的关系．29．已知集合的全体元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是为A中的元素？请再举例一个实数，求出A中的所有元素；（3）根据（1）、（2），你能得出什么结论？30．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则﹣x∈S．（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；欧阳德创编

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（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；（3）由（1）、）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求少写出两个结论）？2013年9犀利哥的中数学组参考答案与题解析一．选择题共11小题1．（2011•广东）设S是数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有∈S，则称S关数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且a，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）AV中少有一个关于乘法是封闭的BT，中多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中且只有一个关于乘法是封闭的D．，中一个关于乘法都是封闭的考元与集合关系的判断．点：专压题；阅读型；新定义题：分本从正面解比较困难，运用排除法进行作答．考虑把整数集Z分析：成两互不相交的非空子集T，V的集，如T为数集，V为数集，或T为整数集V为负整数集进行分析排除即可．解解若T为数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关乘法都是答：封闭，排除BC；若为整数集V为负整数集，满足题意，此时只有V关乘法是封闭的，排除D；从而可得TV中少有一个关于乘法是封闭的A正故选A点此考查学生理解新定义能力，会判断元素与集合的关系，是一道比评：较难题型．2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且xQ}，如果，Q={x||x＜1}，那么P等于（）A{x|0＜x＜1}B．＜≤1}C．{x|1x＜2}考元素与集合关系的判断；对值不等式的解法．点：专计算题．

D．x＜3}欧阳德创编

nn89欧阳德nn89

题：分首先分别对Q两集合进行化简，然后按照﹣Q={x|xP，且析：xQ}，求出﹣Q即．解答：

解：化简得＜x＜2}而﹣＜1}化简得Q={x|1x＜3}定集合﹣Q={x|xP，且xQ}，P﹣Q={x|0x≤1}故选点本题考查元素与集合关系判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集评：合识的熟练掌握，属于础题．3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合2，4，…}从小到大按第n组2n个偶数进行分组如下：则2010位（）A第B．第．9组D．第考元素与集合关系的判断；合的表示法；等差数列；等比数列．点：专计算题．题：分首先将正偶数集合按大小序排列是一个等差数列，先求出2010是数析：列的第几项，然后按第n组2个数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出解解：正偶数集按从小到大顺序排列组成数列2，，…2n答：2n=2010，由第一组{，4}的元素是第二组{，，，12}的元素是4个第三组{，16，，20，2224，，28}的元素是8个…第m组元素是…﹣＜1005解得2＜z，2=256，=512256503.5＜所以，m=9，故选C．

=2﹣2点此题表面是一个集合题，际上考查等差数列的通项公式和等比数列求评：和式，但过程中一定要路清晰，否则容易出错．4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）欧阳德创编

2222222欧阳德创编2222222

A10B个．个D个考元素与集合关系的判断．点：专综合题；压轴题．题：分本题考查的是新定义和集知识联合的问题．在解答时首先要明确集合析：A的所有子集是什么，然后格按照题目当中孤立的定义逐一验证即可．当然，如果按照孤元出的情况逐一排查亦可．解解：“孤元是的合{1}{1，，4}；{1，45}{13，答：5}；“孤元是2的合：{2}；{24，5}；“孤元是3的合：{3}；“孤元是4的合：{4}；{12，4}；“孤元是5的合：{5}；{12，5}；{2，，；{1，235}．点本题考查的是集合知识和定义的问题．在解答过程当中应充分体会新评：定问题概念的确定性，集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．5．用C（A表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=

，若A={1，2}，B={x||x+ax+1|=1}且A*B=1，由a所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（）A4

B．3

C．

D．考元素与集合关系的判断．点：专计算题；压轴题；新定义分类讨论．题：分根据A={12}B={x||x+ax+1|=1}，且A*B=1，知集合B要么是单析：

元素集合，要么是三元素集合，然后对方x的的个数进行讨论，即可求得的有可能值，进而可求（）解解：

x+ax+1=1或x

+ax+1=﹣1答：

即x①或x+ax+2=0，A={1，2}，且，集B要是单元素集合，要么是三元素集合，集B是元素集合，则方有相等实根②无数根，；集B是元素集合，则方程有不相等实根②有个相等且异①的数，即，得a=综上所述a=0或±2，（）．故选．

，点

此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对欧阳德创编

39393922欧阳德创编39393922

评：新义的理解与应用．6．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a，a，a}是S子集，且123a，a，a满足a＜a＜a，a﹣a≤6，那么满足12312332条件的集合A的个数为（）A78

B．

C．

D．考元素与集合关系的判断．点：专计算题．题：分从集合S任选元素组成集合A一个能组成个，再把不符合析：条的去掉，就得到满足件的集合A的数．解解：从集合S中选3元素组成集合A一个能组成个，答：其A={12，9}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的数C﹣．故选．点本题考查元素与集合的关，解题时要认真审题，仔细思考，认真解评：答7．下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；（3）

这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A0个B．1个C．个D3个考集合的含义．点：专计算题．题：分（1（3）中由集合元素的性质：确定性、互异性知错误；2）中注析：意合中的元素是什么；4中注意x=0或的况．解解：（1）中很小的实数没有确定的标，不满足集合元素的确定性；答：（）中集合{

﹣1}的元素为实数，而集合{xy

﹣1}元素是点；（3有集合元素的互异性这些数组成的集合有元素；（4集合{x，）|xyx中还包括实轴上的点．故选A点本题考查集合元素的性质集合的表示，属基本概念的考查．评：欧阳德创编

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8．若x∈A∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A15

B．

C．

8

D．考元素与集合关系的判断．点：专综合题；压轴题；新定义题：分析：解答：

先找出具有伙伴关系的元素：，1、，、3四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，利用组合知识求解即可．解：具有伙伴关系的元素组有，1、，、3四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，个数为C+C+C=15故选A点本题考查集合的子集问题排列组合等知识，考查学生利用所学知识分评：析题、解决问题的能力9．定义A⊗，x∈A，y∈B}．设集合A={0，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（）A3

B．9

C．

D．考元素与集合关系的判断．点：专新定义．题：分首先根据题意，求出AB中元素，然后求出AB）C中所含的析：元，最后求和即可．解解：由题意可求答：（AB中所含的元素有，4，5则（AB）所含的元素有0，10，故所有元素之和为18．故选C点本题考查元素与集合关系判断，通过集合间的关系直接判断最后求和评：即，属于基础题．10．已知元素为实数的集A满足条件：若a，则，那么集合A中所有元素的乘积为（）A﹣1B．考元素与集合关系的判断．点：专计算题；新定义．

C．

D．欧阳德创编

00000000000000000000

题：分析：

根据若A，则

，依据定义令a=

代入

进行求解，依次进行赋值代入

进行化简，把集合A中素所有的形式全部求解答：

出，再求出它们的乘积．解：由题意知，若A，，代入令=

，

；令

代入==

，令

，代入

=A={a，，，，}，则所有元素的积为，故选．点本题主要考查集合的应用题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一评：定难度，主要对集合元的理解．11．设集合，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若∈P∈Q，a=x+y，0000b=x•y，则（）00Aa，bQBa，PCab．，b考元素与集合关系的判断．点：专计算题．题：分据集合中元素具有集合中素的属性设出，y，出x，y并析：将化简，判断其具有，中一个集的公共属性．解解：∵x，y0，答：设x0=2k﹣1y=2n，k，则x﹣1+2n=2（n+k）P，xy（﹣1）（）=2（2nkn），故xyQ．故a，Q故选A点本题考查集合中的元素具集合的公共属性、元素与集合关系的判断、评：等础知识，考查化归与化思想．属于基础题．二．填空题共14小题欧阳德创编

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12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x，y∈B}．若A={12，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和14．考集合的含义．点：专新定义．题：分由A*B={p|p=x+yxA，yB}，A={1，，3}，2}，知析：A*B={2，，4，5}，由此能求出集合A*B所有元素的和．解解：A*B=