浙江省高中数学2019届一轮复习曲线相切问题

曲线相切问题题1(湖南省长沙市统考文科第15题)若直线l与曲线C知足以下两个条件：直线l在点Px0,y0处与曲线C相切；(ii)曲线C在P周边位于直线l的双侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．以下命题正确的选项是_________(写出所有正确命题的编号)．①直线l:y0在点P0,0处“切过”曲线C：yx3②直线l:x1在点P1,0处“切过”曲线C：y(x1)2③直线l:yx在点P0,0处“切过”曲线C：ysinx④直线l:yx在点P0,0处“切过”曲线C：ytanx⑤直线l:yx1在点P1,0处“切过”曲线C：ylnx答案①③④解求出切线方程后作图察看；对于⑤，还需用到常用不等式

lnxx1(当且仅当x1时取等号)．这是一道新奇新奇、内涵丰富的好题：由命题③，④，⑤还分别介绍了常用不等式sinxx(x0),xtanx0x,lnxx1(当且仅当x1时取等号)．2学生最初是从“圆的切线”接触“切线”的，紧接着又学习了“抛物线的切线”，这就使得好多初中生对于“直线与曲线相切时，曲线在切线的一侧”毋容置疑、根深蒂固，到了高中也没法改变．下边的问题，你思虑过吗：直线与曲线相切时，曲线必定在切线的一侧吗？直线与二次曲线相切时，这条二次曲线必定在切线的一侧吗(请注意二次曲线包含双曲线)？求过已知二次曲线上一已知点(且该已知点为切点)的该曲线的切线方程都可用“0”来求解吗？若直线与二次曲线有独一公共点，则它们必定相切吗？(3)直线能与双曲线的一支相切又与另一支订交吗？直线能与双曲线的两支均相切吗？(4)直线有切线吗？(5)函数图像的切线能是铅垂线吗？(6)若直线与曲线有独一公共点，则它们必定相切吗？直线能与曲线既相切又订交吗？(7)过一点最多(最少)可作n(nN*)次曲线的几条切线？(8)过二(三)次曲线上的一点可作该曲线的几条切线？(9)直线与曲线相切时，能有无穷个切点吗？(10)何谓曲线与曲线相切？读罢本文，便可找到它们的所有答案．1直线与曲线相切(选修II)》(2006年人民教育第一版社)第118整日制一般高级中学教科书《数学·第三册页给出了曲线的切线的定义：如图1所示，设曲线C是函数yf(x)的图像，在曲线C上取一点P(x0,y0)及周边的一点Q(x0x,y0y)，过P,Q两点作割线，并分别过P,Q两点作x轴与y轴的平行线MP,MQ，又设割线PQ的倾斜角为，那么MPx,MQyyx这就是说，y就是割线的斜率．

tanx图1图2如图2所示，当点Q(x0x,y0y)沿着曲线渐渐向点P(x0,y0)靠近时，割线PQ将绕着点P渐渐转动．当点Q沿着曲线无穷靠近于点P即x0时，假如割线PQ有一个极限地点PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线．l由此定义可知，切线是割线的极限地点．因此直线与曲线相切是局部观点，因此直线与曲线C能够同时相切于点A和订交于点B，比方曲线yx3与直线y3x2在点(1,1)处相切，在点(2，8)处订交(见图3)．图3图4题2（浙江省鄞州中学月考第15题)已知曲线y1x3+4，则过点P(2,4)的切线方33程是．当时给出的参照答案是

y4x40，实质上，正确答案应该是y4x40和y20(见图4)．应该注意“曲线在某一点处的切线”与“曲线过该点的切线”的区别．下边再举出多姿多彩的直线与曲线相切的各样情况．(1)直线与曲线相切(且切点独一)不订交(如图5所示，曲线yx4与x轴相切不订交，切点为坐标原点)：能够证明，直线与二次曲线相切时均是这类情况．图5(2)直线与曲线相切(且切点有无数个)不订交(如图6所示，正弦曲线与直线y1在公共点2k,1(kZ)处均相切．2图6(3)直线与曲线既相切又订交且切点、交点均独一(见图3)．(4)函数图像的切线能够是铅垂线．图7图8图91(x1)2(2x0)0(即图7即曲线y1)2在座标原点(0，0)处的切线是x1(x(0x2)y轴)；1(x1)2(2x0)图8即曲线y1)21(x(0x2)x0(即y轴)；

在座标原点(0，0)处的切线是图9即曲线数能够求得曲线

y3x在座标原点(0，0)处的切线是x0(即y轴)，证明以下：由于用导yx3在座标原点(0，0)处的切线是y0(即x轴)，因此曲线yx3对于直线yx对称的曲线y3x在座标原点(0，0)处的切线是x轴对于直线yx对称的直线轴．(5)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)，曲线C在点P双侧以P为端点的各一段图像可在直线l的同侧(比方图3，图4，图5)．(6)设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0)，曲线C在点P双侧以P为端点的各一段的图像可在直线l的异侧(比方图7，图8，图9)．曲线与曲线相切一般以为，“曲线与曲线相切”的定义是：若曲线C1与曲线C2有公共点P(x0,y0)，且它们在该点处的切线重合，就说曲线C1与曲线C2在点P处相切(曲线与曲线相切包含了直线与曲线相切的情况)．(1)曲线与曲线相切(且切点独一)不订交(如图10，曲线y11x2与曲线y24x2相切不订交，切点为坐标原点)．图10(2)曲线与曲线相切(且切点有无数个)不订交(如图11所示，曲线ysinx1与曲线y1sinx在公共点2k,0(kZ)处均相切)．2图11(3)曲线与曲线即相切又订交且切点、交点均独一(如图12，曲线y11x2(1x1)4x21(x与曲线y2相切又订交)．1)图12(4)设曲线C1与曲线C2上相切于点P(x0,y0)，曲线C1在点P双侧以P为端点的各一段图像可在曲线C2的同侧(比方图10)．(5)设曲线C1与曲线C2上相切于点P(x0,y0)，曲线C1在点P双侧以P为端点的各一段图像可在曲线C2的异侧(比方图13)．可证曲线y(ee)x与曲线ylogeex有独一的公共点11(该点是e,)(可见文件e[1])，且它们在该点相切(由于它们在该点处有同样的切线x2y)．e图13题3(新高考研究卷（一）第21题)已知函数[1,1),(1,3]内各有一个极值点.

f(x)1x31ax2bx在区间32(1)求a24b的最大值；(2)当a24b8时，设函数yf(x)在点A(1,f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数函数yf(x)的图象(即动点在点A周边沿曲线yf(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.解(1)由题设可得函数f(x)x2axb在区间[1,1),(1,3]内各有一个实根(分别设为x1,x2)，可得x2x1a24b，且0x2x14，因此0a24b16，当且仅当(x1,x2)(1,3)即(a,b)(2,3)时取等号，因此a24b的最大值是16.(2)可求得切线l:y(ab1)x12a.23由于切线l在点A(1,f(1))处穿过函数yf(x)的图象，因此g(x)f(x)[(ab1)x1a2]1x31ax2bx(ab1)x1a2在x1233223两边周边的