09年厦门中考试卷

09年厦门中考试卷LtD2009年中考厦门市数学试题一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1．－2是（）A．负有理数B．正有理数C．自然数D．无理数2．下列计算正确的是（）A．eq\r(3)＋eq\r(3)＝eq\r(6)B．eq\r(3)－eq\r(3)＝0C．eq\r(3)·eq\r(3)＝9D．eq\r((－3)2)＝－33．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（）A．买1张这种彩票一定不会中奖B．买100张这种彩票一定会中奖C．买1张这种彩票可能会中奖D．买100张这种彩票一定有99张彩票不会中奖4．下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．4cm，6cm，11cmB．4cm，5cm，1cmABCOC．3cm，4cm，5cmD．2cm，ABCO5．下列多边形中，能够铺满地面的是（）A．正八边形B．正七边形C．正五边形D．正四边形6．如图，AB、BC、CA是⊙O的三条弦，∠OBC＝50º，则∠A＝（）19．(8分)掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之和的所有可能如下表所示：第1枚和第2枚123456123456723456783456789456789105678910116789101112(1)求出点数之和是11的概率；(2)你认为最有可能出现的点数之和是多少？请说明理由．AABDC20．(8分)已知：在△ABC中，AB＝AC．(1)设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x(2≤x≤3)．写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；(2)如图，D是线段BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD，求证：△ABC∽△DBA．21．(8分)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AF交CD于E，交BC的延长线于F．(1)若∠B＋∠DCF＝180º，求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)若E是线段CD的中点，且CF∶CB＝1∶3，AD＝6，求梯形ABCD中位线的长．AABFEDC22．(8分)供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A地进行电力抢修．甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后乙开抢修车载着所需材料出发．(1)若t＝EQ\F(3,8)(小时)，抢修车的速度是摩托车的1.5倍，且甲、乙两人同时到达，求摩托车的速度；(2)若摩托车的速度是45千米/小时，抢修车的速度是60千米/小时，且乙不能比甲晚到则t的最大值是多少？23．(9分)已知四边形ABCD，AD∥BC，连接BD．(1)小明说：“若添加条件BD2＝BC2＋CD2，则四边形ABCD是矩形．”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．(2)若BD平分∠ABC，∠DBC＝∠BDC，tan∠DBC＝1，求证：四边形ABCD是正方形．AOBDCP24．(9分)如图，已知AB是⊙O的直径，点AOBDCPP是△OAC的重心，且OP＝EQ\F(2,3)，∠A＝30º．(1)求劣弧eq\o(AC,\s\up5(⌒))的长；(2)若∠ABD＝120º，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．25．(9分)我们知道，当一条直线与一个圆有两个公共点时，称这条直线与这个圆相交．类似地，我们定义：当一条直线与一个正方形有两个公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点为O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．(1)判断直线y＝EQ\F(1,3)x＋EQ\F(5,6)与正方形OABC是否相交，并说明理由；CBOAxy(2)设d是点O到直线y＝－eq\r(3)x＋b的距离，若直线y＝－eq\r(3)x＋b与正方形OABC相交，求d的取值范围．CBOAxy26．(11分)已知二次函数y＝x2－x＋c．(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2eq\r(2)≤OP≤2＋eq\r(2)时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋EQ\F(3,8)的交点个数，并说明理由．厦门市2009年初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数学参考答案及评分标准说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；3．解答题评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题(本大题有7小题，每小题3分，共21分)题号1234567选项ABCCDBC二、填空题(本大题有10小题，每小题4分，共40分)8.2.9.20度.10.40分.11.长方体(四棱柱).12.2a＋b.13.eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(x＝2，,y＝1.14.22厘米.15.6厘米.16.(1)－2≤a≤－eq\f(2,3)；(2)3.17.eq\r(3)；(eq\f(eq\r(3),2)，eq\f(1,2)).三、解答题(本大题有9小题，共89分)18.(本题满分18分)(1)解：(－1)2÷eq\f(1,2)＋(7－3)×eq\f(3,4)－(eq\f(1,2))0＝1×2＋4×eq\f(3,4)－1……4分＝2＋3－1……5分＝4.……6分(2)解：[(2x－y)(2x＋y)＋y(y－6x)]÷2x＝(4x2－y2＋y2－6xy)÷2x……10分＝(4x2－6xy)÷2x……11分＝2x－3y.……12分(3)解法1：x2－6x＋1＝0∵b2－4ac＝(－6)2－4＝32……13∴x＝eq\f(－b±eq\r(b2－4ac),2a)……14分＝eq\f(6±eq\r(32),2)……15分＝3±2eq\r(2).……16分即x1＝3＋2eq\r(2)，x2＝3－2eq\r(2).……18分解法2：x2－6x＋1＝0(x－3)2－8＝0……14分(x－3)2＝8……15分x－3＝±2eq\r(2)……16分即x1＝3＋2eq\r(2)，x2＝3－2eq\r(2).……18分19．(本题满分8分)(1)解：P(点数之和是11)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).……4分(2)解：最有可能出现的点数之和是7.……6分∵在所有可能出现的点数之和中，7是众数.……8分或：P(点数之和是7)＝eq\f(1,6)，……7分是所有可能出现的点数之和的概率的最大值.……8分20．(本题满分8分)(1)解：y＝7－2x(2≤x≤3)……1分画直角坐标系……2分画线段……4分(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.……5分∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C.……6分又∵∠B＝∠B，……7分∴△BAC∽△BDA.……8分21．(本题满分8分)(1)∵∠DCB＋∠DCF＝180°，……1分又∵∠B＋∠DCF＝180°，∴∠B＝∠DCB.……2分∵四边形ABCD是梯形，∴四边形ABCD是等腰梯形.……3分(2)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F.……4分∵E是线段CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠DEA＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE.……5分∴AD＝CF.……6分∵CF∶BC＝1∶3，∴AD∶BC＝1∶3.∵AD＝6，∴BC＝18.……7分∴梯形ABCD的中位线是(18＋6)÷2＝12.……8分22．(本题满分8分)(1)解：设摩托车的速度是x千米/时，则抢修车的速度是1.5x千米/时.由题意得eq\f(45,x)－eq\f(45,1.5x)＝eq\f(3,8)，……2分解得x＝40.……3分经检验，x＝40千米/时是原方程的解且符合题意.答：摩托车的速度为40千米/时.……4分(2)解：法1：由题意得t＋eq\f(45,60)≤eq\f(45,45)，……6分解得t≤eq\f(1,4).∴0≤t≤eq\f(1,4).……7分法2：当甲、乙两人同时到达时，由题意得t＋eq\f(45,60)＝eq\f(45,45)，……5分解得t＝eq\f(1,4).……6分∵乙不能比甲晚到，∴t≤eq\f(1,4).……7分∴t最大值是eq\f(1,4)(时)；或：答：乙最多只能比甲迟eq\f(1,4)(时)出发.……8分23．(本题满分9分)(1)解：不正确.……1分如图作(直角)梯形ABCD，……2分使得AD∥BC，∠C＝90°.连结BD，则有BD2＝BC2＋CD2.……3分而四边形ABCD是直角梯形不是矩形.……4分(2)证明：如图，∵tan∠DBC＝1，∴∠DBC＝45°.……5分∵∠DBC＝∠BDC，∴∠BDC＝45°.且BC＝DC.……6分法1：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠BDC.∴AB∥DC.∴四边形ABCD是平行四边形.……7分又∵∠ABC＝45°＋45°＝90°，∴四边形ABCD是矩形.……8分∵BC＝DC，∴四边形ABCD是正方形.……9分法2：∵BD平分∠ABC，∠BDC＝45°，∴∠ABC＝90°.∵∠DBC＝∠BDC＝45°，∴∠BCD＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADC＝90°.……7分∴四边形ABCD是矩形.……8分又∵BC＝DC∴四边形ABCD是正方形.……9分法3：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°.∴∠BDC＝∠ABD.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∵BD＝BD，∴△ADB≌△CBD.∴AD＝BC＝DC＝AB.……7分∴四边形ABCD是菱形.……8分又∵∠ABC＝45°＋45°＝90°，∴四边形ABCD是正方形.……9分24．(本题满分9分)(1)解：延长OP交AC于E，∵P是△OAC的重心，OP＝eq\f(2,3)，∴OE＝1，……1分且E是AC的中点.∵OA＝OC，∴OE⊥AC.在Rt△OAE中，∵∠A＝30°，OE＝1，∴OA＝2.……2分∴∠AOE＝60°.∴∠AOC＝120°.……3分∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(AC))＝eq\f(4,3)π.……4分(2)证明：连结BC.∵E、O分别是线段AC、AB的中点，∴BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.∴△OBC是等边三角形.……5分法1：∴∠OBC＝60°.∵∠OBD＝120°，∴∠CBD＝60°＝∠AOE.……6分∵BD＝1＝OE，BC＝OA，∴△OAE≌△BCD.……7分∴∠BCD＝30°.∵∠OCB＝60°，∴∠OCD＝90°.……8分∴CD是⊙O的切线.……9分法2：过B作BF∥DC交CO于F.∵∠BOC＝60°，∠ABD＝120°,∴OC∥BD.……6分∴四边形BDCF是平行四边形.……7分∴CF＝BD＝1.∵OC＝2，∴F是OC的中点.∴BF⊥OC.……8分∴CD⊥OC.∴CD是⊙O的切线.……9分25．(本题满分10分)(1)解：相交.……2分∵直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,6)与线段OC交于点(0，eq\f(5,6))同时……3分直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,6)与线段CB交于点(eq\f(1,2)，1)，……4分∴直线y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(5,6)与正方形OABC相交.(2)解：当直线y＝－eq\r(3)x＋b经过点B时，即有1＝－eq\r(3)＋b，∴b＝eq\r(3)＋1.即y＝－eq\r(3)x＋1＋eq\r(3).……5分记直线y＝－eq\r(3)x＋1＋eq\r(3)与x、y轴的交点分别为D、E.则D(eq\f(3＋eq\r(3),3)，0)，E(0，1＋eq\r(3)).……6分法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝eq\f(BA,AD)＝eq\f(1,eq\f(eq\r(3),3))＝eq\r(3)，∴∠EDO＝60°，∠OED＝30°.过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1.……7分在Rt△OF1E中，∵∠OED＝30°，∴d1＝eq\f(eq\r(3)＋1,2).……8分法2：∴DE＝eq\f(2,3)(3＋eq\r(3)).过O作OF1⊥DE，垂足为F1，则OF1＝d1.……7分∴d1＝eq\f(3＋eq\r(3),3)×(1＋eq\r(3))÷eq\f(2,3)(3＋eq\r(3))＝eq\f(eq\r(3)＋1,2).……8分∵直线y＝－eq\r(3)x＋b与直线y＝－eq\r(3)x＋1＋eq\r(3)平行.法1：当直线y＝－eq\r(3)x＋b与正方形OABC相交时，一定与线段OB相交，且交点不与点O、B重合.故直线y＝－eq\r(3)x＋b也一定与线段OF1相交，记交点为F，则F不与点O、F1重合，且OF＝d.……9分∴当直线y＝－eq\r(3)x＋b与正方形相交时，有0＜d＜eq\f(eq\r(3)＋1,2).……10分法2：当直线y＝－eq\r(3)x＋b与直线y＝x(x＞0)相交时，有x＝－eq\r(3)x＋b，即x＝eq\f(b,1＋eq\r(3)).①当0＜b＜1＋eq\r(3)时，0＜x＜1，0＜y＜1.此时直线y＝－eq\r(3)x＋b与线段OB相交，且交点不与点O、B重合.②当b＞1＋eq\r(3)时，x＞1，此时直线y＝－eq\r(3)x＋b与线段OB不相交.而当b≤0时，直线y＝－eq\r(3)x＋b不经过第一象限，即与正方形OABC不相交.∴当0＜b＜1＋eq\r(3)时，直线y＝－eq\r(3)x＋b与正方形OABC相交.……9分此时有0＜d＜eq\f(eq\r(3)＋1,2).……10分26．(本题满分11分)(1)解：法1：由题意得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝2＋c，,2n－1＝2＋c.))……1分解得eq\b\lc\{(eq\a\al\co1\vs8(n＝1，,c＝－1.))……2分法2：∵抛物线y＝x2－x＋c的对称轴是x＝eq\f(1,2)，且eq\f(1,2)－(－1)＝2－eq\f(1,2)，∴A、B两点关于对称轴对称.∴n＝2n－1……1分∴n＝1，c＝－1.……2分∴有y＝x2－x－1……3分＝(x－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4).∴二次函数y＝x2－x－1的最小值是－eq\f(5,4).……4分(2)解：∵点P(m，m)(m＞0)，∴PO＝eq\r(2)m.∴2eq\r(2)≤eq\r(2)m≤eq\r(2)＋2.∴2≤m≤1＋eq\r(2).……5分法1：∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即c＝－m2＋2m∵开口向下，且对称轴m＝1，∴当2≤m≤1＋eq\r(2)时，有－1≤c≤0.……6分法2：∵2≤m≤1＋eq\r(2)，∴1≤m－1≤eq\r(2).∴1≤(m－1)2≤2.∵点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，∴m＝m2－m＋c，即1－c＝(m－1)2.∴1≤1－c≤2.∴－1≤c≤0.