高等几何讲义(第2章)

SDACB(B/)A/C/D/

/

/

/

第二章射影平面____§1.扩大仿射平面1.中心射影设与

/是二相交平面，S是不在和

/上的一定点，取作射影中心．对上的任意点A，作直线SA交

/于A/．将点A/称作点A在

/上的中心射影，从中心S引出的直线SA称为投射线．SM///§1.扩大仿射平面中心射影具有性质：

1.将点变成点；

2.将直线变成直线；

3.保持点与直线的结合关系．这是平行射影也具有的性质．但中心射影不保持平行性，这与平行射影不同！(如图)§1.扩大仿射平面另外，中心射影不是双射．(如上图中的点M；再如下图中，直线间的中心射影下，点P无对应点)分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线．方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射．新问题：无穷远元素如何表示？SPMM/Q/

/P/Q§1.扩大仿射平面无穷远元素的坐标表示分析：平面仿射坐标系下，二直线(1):A1x+B1y+C1=0，(2):A2x+B2y+C2=0，注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标．C1C2B1B2B1B2A1A2A1A2C1C2B1B2A1A2，．若相交，则交点坐标为：注意：此坐标与比值C1C2B1B2A1A2C1C2B1B2A1A2::是一一对应的．§1.扩大仿射平面另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必不同．可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标．§1.扩大仿射平面2.点的齐次仿射坐标定义设

=[O;e1,e2]是平面仿射坐标系．在之下，满足下述条件的有序实数组(x1,x2,x3)(0,0,0)称为平面上点的齐次仿射坐标：

1．若

0，则(x1,x2,x3)与(x1,x2,x3)为同一点的齐次仿射坐标；

2．若x3

0，则(x1,x2,x3)是(非齐次)仿射坐标为x=x1/x3,y=x2/x3的普通点的齐次仿射坐标；

3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点．注意：条件2给出了普通点的(非齐次)仿射坐标与齐次仿射坐标之间互化的方法．§1.扩大仿射平面引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面，引进了无穷远点的直线称为扩大直线．注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原来的作为点集的仿射平面或欧氏平面．§1.扩大仿射平面3.直线的齐次仿射坐标方程仿射坐标系下，直线的方程为

Ax

By

C

0．扩大直线的齐次仿射坐标方程为：

Ax1

Bx2

Cx30(A、B、C不全为0)．(1)无穷远直线：x30．

(2)例．设

0为非无穷远直线，

0为无穷远直线，则

0(,为参数)表示什么图形？答：为一束平行直线．直线(1)上的无穷远点为(B,A,0)．当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；当不平行于y轴时，无穷远点可写为(1,A/B,0)．§1.扩大仿射平面因k

A/B

是直线(1)的方向数，故

方向数为k的直线上的无穷远点为(1,k,0)；

方向数为的直线上的无穷远点为(0,1,0)．可见，方向数与无穷远点一一对应．几个结论：

1.

每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点；

2.

平行直线有同一无穷远点；

3.

不平行直线有不同无穷远点；

4.

两点确定唯一直线．符号约定：齐次坐标为(x1,x2,x3)的点记为x；点x的任一组确定的齐次坐标记为(x)(x1,x2,x3)．§1.扩大仿射平面例1

三点a、b、c共线它们的齐次坐标满足a3

b3

c3a2

b2

c2a1

b1

c1=0．证明：若有至少二点相同，则显然成立．不同三点共线存在直线A1x1A2x2A3x30，使三点坐标均满足此方程，即关于A1、A2、A3的齐次线性方程组a1A1a2A2a3A30b1A1b2A2b3A30有非零解

c1A1c2A2c3A30a3

b3

c3a2

b2

c2a1

b1

c1

0．注：在代数观点下，可说

三点共线此三点的坐标三数组线性相关．例2

求点a(2,3,1)、b(1,4,0)确定的直线．解：设a、b确定的直线上的动点为x(x1,x2,x3)，则有§1.扩大仿射平面故所求直线方程为：4x1

x25x30．x2

34x1

21

0，x210§1.扩大仿射平面一般地，记a、b所连直线为ab，其坐标方程为x1x2x3a1a2a3

0．b1b2b3或(x)(a)(b)，、R且220．其参数方程为：x1a1b1x2a2b2，、R且220．x3a3b3§2.射影平面1.射影平面及其性质将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射平面称为射影平面．射影平面上的点称为射影点，简称点，射影平面上的直线称为射影直线，简称直线．对以下几者在几何和代数上的理解：

1.

非全零有序三数组(x1,x2,x3)；

2.

给定非全零有序三数组(x1,x2,x3)，作

集合{(x1,x2,x3)|0}；

3.

对二确定的非全零有序三数组(x)、(y)，作集合{(x)

(y)|2

20}．§2.射影平面射影平面上直线的特殊性质：

1.直线是“封闭”的；

2.任二不同直线有且仅有一个交点．

3.

对射影平面的区域划分．(如图)IIIab普通平面acb射影平面IIIIII射影平面IIIIIIVI普通平面IIIIII§2.射影平面2*.射影平面P2的定义及模型射影平面P2的定义射影平面P2是由点与直线两类元素组成的集合．它与向量空间V3有下面的关系：

1．P2的点一一对应于V3

的一维子空间；

2．P2的直线一一对应于V3

的二维子空间；

3．在P2中，若点对应的一维子空间包含在直线对应的二维子空间中，则称点与直线结合．在射影平面P2中，点用小写英文字母a、b、…、x、y、…表示；直线用小写希腊字母、、…、、、…表示．§2.射影平面射影平面P2的几何模型扩大仿射平面模型若扩大仿射平面上点x齐次坐标为(x1,x2,x3)，则

1.

点x对应于V3中非零向量(x1,x2,x3)生成的一维子空间；

2.

过点a和点b的直线ab

对应于由非零向量(a)和(b)生成的二维子空间；

3.点c与直线ab

的结合对应于由(c)生成的一维子空间包含在由(a)和(b)生成的二维子空间．olmnab§2.射影平面丛模型

2.

丛的平面对应于V3中的二维子空间．丛是射影平面的一个模型：丛的直线

射影平面的点；丛的平面

射影平面的直线．所谓丛，指三维欧氏空间中过原点o的全体直线和平面的集合，o称为丛的中心．

1.

丛的直线对应于V3中的一维子空间；§2.射影平面半球面模型规定：对径点合为一点．

1.

点看作射影点；

2.

大圆及截口都看作射影直线．以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射平面模型的一一对应关系．cc/oakbab§2.射影平面3.射影坐标与射影坐标变换射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但无穷远直线仍有特殊性：其方程为x3

0．下面引入射影坐标．为此进行下述分析：射影平面上的点x，在代数上其坐标可分解为：(x1,x2,x3)

x1(1,0,0)

x2(0,1,0)

x3(0,0,1),(2.1)

其中，(1,0,0)、(0,1,0)分别是x轴、y轴上的无穷远点o(1)、

o(2)在坐标，(0,0,1)是仿射坐标系的原点o(3)的坐标．因o(1)、o(2)、o(3)的齐次坐标也可写为：

(1,0,0)、(0,2,0)、(0,0,3)．§2.射影平面结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线的四点构成齐次仿射标架

[o(1),o(2),o(3);e]，其中，o(1)、o(2)是无穷远点，而点e的作用则在于由表达式：(e)(o(1))(o(2))(o(3))限制点o(1)、o(2)、o(3)的坐标选取任意性．等价于要求(1,2,3)是点e(1,1,1)的齐次仿射坐标．故又可写成分解式：

(x1,x2,x3)(x1/1)(1,0,0)(x2/2)(0,2,0)(x3/3)(0,0,3)，(2.2)代数形式上，(x1/1,x2/2,x3/3)与(x1,x2,x3)应表示同一点的坐标．§2.射影平面为定义射影坐标，先证明下述引理．引理给定射影平面上每三点不共线的四点a(i)(i

1,2,3)和e，则在齐次仿射标架下，对e的任意取定的坐标(e)，存在a(i)的唯一一组坐标，使(e)(a(1))(a(2))(a(3))．证明：任取定三点a(i)的齐次仿射坐标(a(i))/．因每三点不共线，故必有

(e)

1(a(1))/

2(a(2))/

3(a(3))/，其中1230．令(a(i))

i(a(i))/，则存在性得证．设a(i)的另一组坐标(a(i))*也满足

(e)

(a(1))*

(a(2))*(a(3))*，§2.射影平面则有(a(1))*(a(2))*(a(3))*

(a(1))(a(2))(a(3))．又因(a(i))*

i(a(i))，故

(1

1)(a(1))(21)(a(2))(31)(a(3))0．现因(a(1))、(a(2))、(a(3))线性无关，故

1

2

31，故唯一性得证．§2.射影平面射影坐标的定义：设o(1)、o(2)、o(3)和e是射影平面上取定的每三点不共线的四点，其取定的一组齐次仿射坐标依次为(o(1))*、

(o(2))*、

(o(3))*和(e)*，且满足

(e)*

(o(1))*

(o(2))*

(o(3))*．若任意点x的齐次仿射坐标(x)*

关于(o(1))*,(o(2))*,(o(3))*

的分解式为

(x)*

x1(o(1))*

x2(o(2))*

x3(o(3))*，则称有序数组(x1,x2,x3)为点x关于射影坐标系(或射影标架)[o(1),o(2),o(3);e]的射影坐标．

o(1)，o(2)，o(3)称为基本点，e称为单位点．三角形o(1)o(2)o(3)称为坐标三角(点)形．§2.射影平面1.

射影标架中各点坐标(如图)；2.

射影坐标是一种齐次坐标：

(1)射影坐标是不全为零的有序三数组；

(2)同一点的两组射影坐标成比例；e(1,1,1)o(1)(1,0,0)o(2)(0,1,0)o(3)(0,0,1)(3)成比例的有序三数组表示同一点．例1

设在齐次仿射坐标系下，有点o(1)(1,1,2)、o(2)(0,1,2)、o(3)(3,1,4)、e(1,0,2)和x(1,1,0)．求点x关于

[o(1),o(2),o(3);e]的射影坐标．解：因

(1,0,2)

(2)(1,1,2)(3)(0,1,2)(3,1,4)

(2,2,4)(0,3,6)(3,1,4)，又(1,1,0)

2(2,2,4)2(0,3,6)

(3,1,4)，故x关于的坐标为(2,2,1)．§2.射影平面ee1e2o(1)o(2)o(3)

O仿射坐标系与射影坐标系的关系：仿射坐标系是特殊的射影坐标系，当射影坐标三点形的一边取成扩大仿射平面上的无穷远直线时，则射影坐标系就特殊化为仿射坐标系．§2.射影平面§2.射影平面下面讨论射影坐标系

[o(1),o(2),o(3);e]到射影坐标系/[o/(1),o/(2),o/(3);e/]的坐标变换式．设点x关于二坐标系的坐标分别为(x)(x1,x2,x3)、(x)/

(x1/,x2/,x3/)．再设在σ下，

(o/(i))(a1i,a2i,a3i)(i

1,2,3)，

(e/)(a11

a12

a13,a21

a22

a23,a31

a32

a33)．

则/的坐标变换式为：x1a11x/1

a12x/2

a13x/3x2a21x/1

a22x/2

a23x/3，x3a31x/1

a32x/2

a33x/3§2.射影平面证明：代数上，对

x在下坐标进行相应运算：其中，A

(aij)为变换矩阵．x/1(o/(1))

x/2(o/(2))

x/3(o/(3))

x/1[a11(o(1))

a21(o(2))

a31(o(3))]

x/2[a12(o(1))

a22(o(2))

a32(o(3))]

x/3[a13(o(1))

a23(o(2))

a33(o(3))][a11x/1

a12x/2

a13x/3](o(1))

[a21x/1

a22x/2

a23x/3](o(2))

[a31x/1

a32x/2

a33x/3](o(3))x1x2x3x/1x/2x/3其矩阵形式为：A，detA0．(2.3)§2.射影平面(a11x/1a12x/2a13x/3,a21x/1a22x/2a23x/3,a31x/1a32x/2a33x/3)，即x在下的一组坐标为：而(x1,x2,x3)也为x在下的一组坐标，故于是得定理1

射影坐标系

[o(1),o(2),o(3);e]到射影坐标系/[o/(1),o/(2),o/(3);e/

]的坐标变换是满秩线性变换(2.3)，且其变换矩阵A的第一、二、三列分别是/的第一、二、三个基点在下满足关系(o/(1))(o/(2))(o/(3))(e/)的射影坐标．x1a11x/1

a12x/2

a13x/3x2a21x/1

a22x/2

a23x/3．x3a31x/1

a32x/2

a33x/3§2.射影平面例2

设在射影坐标系

[o(1),o(2),o(3);e]里，有点o/(1)(1,2,4)，o/(2)(2,1,0)，o/(3)(3,0,1)，e/(9,5,5)．求从到/[o/(1),o/(2),o/(3);e/

]的坐标变换式．解：因

(9,5,5)

2(1,2,4)(2,1,0)3(3,0,1)

(2,4,8)(2,1,0)(9,0,3)，故所求坐标变换为：x1x2x3x/1x/2x/3

．229410803§2.射影平面4.直线与点列一维射影坐标定理2

射影坐标系下，直线方程是三元齐一次方程；反之，三元齐一次方程的图形是直线．证明：齐次仿射坐标系*下，直线的齐次坐标方程为：

A1x*1

A2x*2

A3x*3

0(A12

A22

A320)．(1)

又齐次仿射坐标系*到射影坐标系的坐标变换式为：x*1x*2x*3x1x2x3

．b11b12b13b21b22b23b31b32b33因(bij)为满秩矩阵而A1、A2、A3不全为零，故B1、B2、B3也不全为零，即直线在射影坐标系下的方程(2)为齐一次方程．反之，对于下的三元齐一次方程(2)，经坐标变换后，必可得*下的直线方程(1)．§2.射影平面代入(1)整理得：B1x1

B2x2

B3x3

0．(2)其中，(B1,B2,B3)(A1,A2,A3)．b11b12b13b21b22b23b31b32b33§2.射影平面类似于齐次仿射坐标系下三点共线的条件，在射影坐标系下，点x与二不同点a、b共线这也是直线ab

的方程．其参数方程为：

(x)(a)(b)，,R且2

2≠0．(2.4)x3

a3

b3x2

a2

b2x1

a1

b1

0．§2.射影平面一条定直线上全体点的集合称为点列，此直线称为点列的底．点列与底相互确定．称以为底的点列为点列．式(2.4)也称为点列的坐标式，定点a、b称为点列的基点．(,)是齐次参数．(2.4)可改写为：(x)(a)

(b)，其中

/，且约定当

时表示点b．为非齐次参数．点列是一种一维基本形．在点列上任取三不同定点a、b、e，选定其二维射影坐标(a)、(b)、(e)，使(e)(a)(b)，则得点列上的一个射影坐标系

[a,b;e]，称为一维射影坐标系．a、b称为基点，e称为单位点．§2.射影平面任意点x的二维射影坐标(x)可分解为：

(x)

1(a)

2(b)，(2.5)

有序系数组(1,2)称为点x关于

[a,b;e]的齐次射影坐标．下，a(1,0)、b(0,1)、e(1,1)．若将(2.5)改写为：(x)

(a)

(b)，(2.6)

其中

1/2，且约定当

时表示点a，则称为此点列的点x在

[a,b;e]下的非齐次射影坐标．下，a、b、e的非齐次射影坐标依次为,0,1．xbae§2.射影平面注意(2.4)和(2.5)的区别．一维射影坐标与一维仿射坐标的联系：特别，若将

[a,b;e]的第一个基点a取成上唯一的无穷远点，则一维射影坐标特殊化成一维仿射坐标．此时，扩大直线上的唯一无穷远点a的齐次仿射坐标为(1,0)，非齐次仿射坐标为．5.Desargues定理平面内不共线三点及每两点连线构成的图形称为三点形；平面内不共点三直线及每两线交点构成的图形称为三线形．其中的点称为顶点，直线称为边．§2.射影平面sabcpqra/b/c/直线ab

与cd

的交点记为(ab)(cd)．定理3

若二三点形对应顶点连线共点，则其对应边交点共线．证法一：若二三点形有对应顶点(边)重合，或者对应顶点连线所共点正好是某顶点，则命题显然成立．以下仅讨论一般情况．各点如图．建立射影坐标系

[a,b,c;s]，则

a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，s(1,1,1)．进而可设(a/)(1,1,1)

(1,0,0)(

1,1,1)．同理可设(b/)(1,

1,1)，(c/)(1,1,

1)．sabcpqra/b/c/§2.射影平面由以上点的坐标可求得相关直线的方程：

b

c：x1

0，

b/

c/：(

)x1

x2x3

0，故(p)(0,,)．同理，(q)(,0,)，

(r)(,,0)．因000

0，故p、q、r三点共线．§2.射影平面证法二：任意选定s的射影坐标(s)，则可调整两个三点形各顶点坐标，使

(s)(a)(a/)(b)(b/)(c)(c/)，进行代数变形，得

(b)(c)(b/)(c/)(p)，

(c)(a)(c/)(a/)(q)，

(a)(b)(a/)(b/)(r)，故(p)(q)(r)0，所以，p、q、r三点共线．zxybdcefa§2.射影平面Desargues定理的逆定理：定理4

若二三线形对应边交点共线，则其对应点连线共点．此定理将在§4看到其必然成立．将Desargues定理及其逆定理中对应顶点连线交点称为此二三角形的透视中心，对应边交点所在直线称为此二三角形的透视轴，并说这两个三角形是透视的．例3

已知三角形三高线ad，be，cf，求证：(bc)(ef

)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线．

证明：因三高线ad，be，cf

共点于o，故三点形abc

与def

的对应顶点连线共点于o．所以，它们的对应边交点(bc)(ef

)，(ca)(fd)，(ab)(de)共线．例4

证明：任意四边形各对对边中点的连线及两对角线中点连线相交于一点．§2.射影平面aa/bcb/c/ehgf证明：如图，因a，b

是四边形邻边中点，故ab||hf．同理a/b/||hf．从而ab||a/b/．即(ab)(a/b/)为无穷远点．同理，(bc)(b/c/)为无穷远点，(ca)(c/a/)为无穷远点．所以，三点形abc与三点形a/b/c/对应边交点共线于无穷远直线．因此，其对应顶点连线共点．得证．例5P44习题13．§2.射影平面

/xzax/a/poyy/q证明：设

/

o，任取定过z的直线分别交、

/于y、y/．因三点形axy

与三点形a/x/y/对应顶点连线共点，故其对应边交点o、p、q共线．即动点p在直线oq上．反之，可证oq上任一点必在该轨迹上．例6

二维射影几何可以用非齐次坐标研究吗？为什么？答：不能，因为射影平面是由仿射平面添加了无穷多个点（无穷远点）而得的，这些新点无非齐次坐标．§2.射影平面abco

/b/c/§3.交比与调和共轭1.扩大欧氏平面上的交比距离是保距变换下的不变量；简单比是仿射变换的基本不变量．中心射影会改变简单比．对共线四点a、b、c、d，定义交比：ac·

bdbc

·

ad(ab;

cd)(abc)(abd)．oabcda/b/c/d//h可以证明：交比在中心射影下不变．(如图)§3.交比与调和共轭证明：如图，在以o为中心的中心射影下，上的a、b、c、d

依次变为a/、b/、c/、d/．以h

记o到直线的距离，则

h·

ac

2oac的面积

oa

·

oc

·

sincoa，所以ac

oa

·

oc

·

sincoa/h．同理bc

ob·

oc

·

sincob/h，

ad

oa

·

od

·

sindoa/h，

bd

ob·

od

·

sindob/h．§3.交比与调和共轭从而(ab;

cd)

ac·

bd/bc

·

adsincoa·sindob/sindoa·sincobsinc/oa/·sind/ob//sind/oa/·sinc/ob/a/c/

·

b/d//b/c/·

a/d/

(a/b/;

c/d/)．为将交比推广到射影平面，注意到齐次仿射坐标与射影坐标在代数上的相似性，下面在齐次坐标下，对交比进行分析．我们有§3.交比与调和共轭引理若共线四点a、b、c、d的各自一组齐次仿射坐标满足：

(c)*

1(a)*

2(b)*，(d)*

1(a)*

2(b)*，则(ab;

cd)

21/12．证明：设直角坐标系下，点a(a1,a2)与点b(b1,b2)所在直线上有另外二点c(c1,c2)、d(d1,d2)，则存在实数、(0,1)，使c1

a1

(1)b1c2

a2

(1)b2d1

a1

(1)b1d2

a2

(1)b2，．(1)不妨a1b1，则若任意选定四点的齐次坐标(a)*、(b)*、(c)*、(d)*，且设

(c)*

1(a)*

2(b)*，(d)*

1(a)*

2(b)*．因存在非零实数u、v，使

(a)*

u(a1,a2,1)，(b)*

v(b1,b2,1)，故§3.交比与调和共轭(

1)(1)．(2)(abc)(abd)(ab;

cd)c1a1c1b1d1a1d1b1

(c)*(1ua1

2vb1,1ua2

2vb2,1u

2v)，

(d)*(1ua1

2vb1,1ua2

2vb2,1u

2v)．由(3.1)，c、d的另一组齐次坐标为：

(c)(a1

(1)b1,a2

(1)b2,1)，

(d)(a1

(1)b1,a2

(1)b2,1)．分别比较c、d的两组齐次坐标，得§3.交比与调和共轭故由(2)，得(ab;

cd)

21/12．

1u1u

2v，1u1u

2v．§3.交比与调和共轭2.射影平面上交比的定义利用上面的引理，可将交比推广到射影平面上设a、b、c、d是射影平面上，一点列的四不同点，则有定义共线四点a、b、c、d的交比(ab;cd)为

(ab;

cd)(2/1)/(2/1)21/12．其中，a、b称为基础点，c、d称为分点．可以证明：交比与坐标系的选取及坐标三数组的选取无关．因而是有意义的．(c)

1(a)

2(b)(d)

1(a)

2(b)，(2.7)§3.交比与调和共轭证明：若在射影标架下，对共线四点有

(c)

1(a)

2(b)，(1)(d)

1(a)

2(b)．(2)设射影标架*到射影标架的坐标变换为：

(x)*T

A(x)T，det

A

0，则在*下，则各点坐标为：

(a)*T

a

A(a)T，(b)*T

b

A(b)T，

(c)*T

c

A(c)T，(d)*T

d

A(d)T．而由(1)、(2)，有

A(c)T

1A(a)T

2A(b)T，

A(d)T

1A(a)T

2A(b)T．故在射影标架*下，有

(c)*

1(c/a)(a)*

2(c/b)(b)*，(3)(d)*

1(d/a)(a)*

2(d/b)(b)*．(4)将(3)、(4)与(1)、(2)比较可知，射影平面上，交比定义与坐标系以及同一坐标系下坐标的选取无关．§3.交比与调和共轭定理1

射影平面上，由二维射影坐标给出的共线四不同点a、b、c、d的交比为其中k

l，并取1、2、3中适当二值．(ab;

cd)ak

ckal

clbk

dkbl

dl·ak

dkal

dlbk

ckbl

cl·．§3.交比与调和共轭证明：任意取定四点坐标，则可设

(c)

1(a)

2(b)，

(d)

1(a)

2(b)．考虑其第一式，即相容方程组：

ci

1ai

2bi，(i

1,2,3)．因a、b为不同二点，，(k,l

1,2,3且kl)中必有非零者．故行列式ak

bkal

bl不妨

0，则可解得a1

b1a2

b2§3.交比与调和共轭a1

b1a2

b2，c1

b1c2

b21

a1

b1a2

b2，a1

c1a2

c22

利用交比定义即得证．故c1

b1c2

b2，a1

c1a2

c22

1同理d1

b1d2

b2，a1

d1a2

d22

1§3.交比与调和共轭例1

已知四点a(1,2,0)、b(3,1,1)、c(1,5,1)、d(7,7,3)，求交比(ab;cd)．解法1：(定义法)因

(1,5,1)2(1,2,0)(3,1,1)，

(7,7,3)

2(1,2,0)3(3,1,1)，故(ab;cd)(1)(2)/(23)1/3．解法2：(定理法)取k

1，l2，则．31=5113727171735211);(------=cdab§3.交比与调和共轭推论1

已知一点列不同四点的一维齐次射影坐标：p(i)(i,i)(i

1,2,3,4)，则证明：设此点列的基点a、b的二维射影坐标分别为(a)、(b)，则

(p(i))

i(a)

i(b)

(ia1

ib1,ia2

ib2,ia3

ib3)，由定理1即得．ja1

jb1ha1

hb1ja2

jb2ha2

hb2a1b1a2

b2j

hjh又．，(p(1)p(2);

p(3)p(4))1

31

32

42

4·1

4142

32

3·．§3.交比与调和共轭推论2

若共线四点p(i)(i

1,2,3,4)的一维非齐次射影坐标为p(i)(i)(i

1,2,3,4)，则例2

已知一点列四点a(3)、b()、c(1)、

d(0)，求交比(ab;cd)．

解法1：四点齐次坐标分别为：a(3,1)、b(1,0)、

c(1,1)、

d(0,1)，故(ab;

cd)31111001．30111101．43．(p(1)p(2);

p(3)p(4))(13)(24)(14)(23)．解法2：(ab;

cd)(31)(

0)/(30)(

1)4/3．§3.交比与调和共轭对的处理：将

看作无穷大量．例3

试证：在仿射平面上，共线四点p(i)(i

1,2,3,4)的交比就是两个简单比之比，即(p(1)p(2);

p(3)p(4))(p(1)p(2)p(3))/(p(1)p(2)p(4))．证明：设p(i)的仿射坐标为(xi,yi)，则齐次坐标为

(xi,yi,1)．不妨四点所在直线不平行于y轴，则(p(1)p(2);

p(3)p(4))x1

x311x2

x41

1·x1

x4

1

1x2

x31

1·(x1x3)(x2x4)/(x1x4)(x2x3)(p(1)p(2)p(3))/(p(1)p(2)p(4))特别地，在欧氏平面上，有

(p(1)p(2);

p(3)p(4))p(1)p(3)

p(2)p(4)/p(1)p(4)

p(2)p(3)．§3.交比与调和共轭3.交比与射影坐标的关系定理2

若在一点列上建立了射影坐标系

=[a,b;e]，则其上任意点x在下的非齐次坐标为

(ab;ex)．证明：因(e)(a)(b)，而(x)

1(a)

2(b)，故(ab;ex)

1/2=．xeo(1)o(2)o(3)e(1)x(1)x(3)x(2)e(2)e(3)定理3

在射影坐标系

[o(1),o(2),o(3);e]下，点x的坐标(x1,x2,x3)与交比有以下关系：§3.交比与调和共轭(o(1)o(3);e(2)x(2))

x1/x3；(o(2)o(3);e(1)x(1))

x2/x3；(o(1)o(2);e(3)x(3))

x1/x2．证明：如图，可计算得x(2)(x1,0,x3)，e(2)(1,0,1)，故(e(2))(o(1))(o(3))，

(x(2))

x1(o(1))

x3(o(3))，所以，(o(1)

o(3);e(2)x(2))

x1/x3．其余同理可证．§3.交比与调和共轭4.交比的性质及分组对于共线四点1、2、3、4，可证明下述性质：

性质1.(34;12)(12;34)；性质2.(21;43)(12;34)；性质3.(21;34)1/(12;34)(12;43)；性质4.(13;24)1(12;34)．证明：只证性质4，其余类似．因四点不同，可设

(3)

(1)(2)，(4)

(1)(2)，则(2)

(1)(3)，(4)(

)(1)(3)，故(13;24)(

)/()1/，而(12;34)

/，所以性质4成立．§3.交比与调和共轭其他性质：设1、2、3、4、5、6为六不同共线点，则有

1.(12;34)(12;45)(12;35)；

2.(12;34)(12;56)(12;36)(12;54)．共线四点1、2、3、4产生的24个交比可分为六组：1．(12;34)(21;43)(34;12)(43;21)

；2．(12;43)(21;34)(43;12)(34;21)1/；3．(13;24)(31;42)(24;13)(42;31)1；4．(13;42)(31;24)(42;13)(24;31)1/(1)；5．(14;23)(41;32)(23;14)(32;41)(1)/；6．(14;32)(41;23)(32;14)(23;41)

/(1)．§3.交比与调和共轭例4

设(ab;cd)

3(ac;bd)，求(ab;cd)．解：因(ac;bd)1(ab;cd)，故由所设得

(ab;cd)

33(ab;cd)，

所以，(ac;bd)3/2．§3.交比与调和共轭5．调和共轭上述六组交比值若还有相等，则可能情形如下：就本质而言，上面仅两种情形．定理4

共线四点交比取0、1、的充要条件是四点有两点重合．对于

1的情形，定义：当(ab;cd)

1时，称a、b、c、d构成调和比，并称点对a、b与点对c、d成调和共轭．1/1(1)/1/(1)/(1)111/2201121/2021/2110211/21/22111/2120§3.交比与调和共轭定理5

共线不同四点所成六组交比中，有相同值此四点能配成调和共轭．例5

求证以非齐次仿射坐标给出的四点a(3,1)、b(7,5)、c(6,4)、d(9,7)共线，且构成调和共轭．证明：因各点齐次坐标分别为：

a(3,1,1)、b(7,5,1)、c(6,4,1)、d(9,7,1)，由此得4(c)(a)3(b)，2(d)

(a)3(b)，故四点共线，且(ab;cd)

1．例6

扩大仿射平面上，若共线四点a、b与c、d成调和共轭，则c、d被a、b分隔．且第四调和点d是无穷远点

c是线段ab

的中点．§3.交比与调和共轭证明：因(ab;cd)

1，故ac·bd/ad·bc

1，因而ac/bc

与bd/ad

异号．这表明：当c是线段ab内分点时，d是线段ab

外分点；而当c是线段ab

外分点时，d是线段ab内分点．故c、d被a、b分隔(称为a、b调和分隔c、d，或c、d调和分隔a、b)．若d是无穷远点，则bd/ad

1，故ac/bc

1，即c是线段ab中点；反之，若c是线段ab

中点，则ac/bc

1，从而bd/ad

1，因此d只能是无穷远点．abcdpqr6.完全四点形的调和性质平面上每三点不共线的四点及连接其中任二点的六条直线构成的图形称为完全四点形．此四点称为顶点；六条直线称为边．无公共顶点的两边称为对边；共三组对边．对边的交点称为对角点，二对角点的连线称为对角线．定理6

完全四点形的三个对角点不共线．证明：各点如图．因a、b、c、d每三点不共线，故可建立射影坐标系

[a,b,c;d]，取§3.交比与调和共轭abcdpqr故p、q、r不共线．

110因10120，

011

(a)(1,0,0)，(b)(0,1,0)，

(c)(0,0,1)，(d)(1,1,1)，则(a)(b)

(c)(d)(p)，

(a)(c)

(b)(d)(q)，

(a)(d)

(b)(c)(r)，故(p)(1,1,0)，

(q)(1,0,1)，

(r)(0,1,1)．§3.交比与调和共轭ambcdnpqr由定理6可见，完全四点形的对角点构成一个三点形，称为对角三点形．关于对角三点形，有定理7

在完全四点形的对角三点形的一边上，三点形的二顶点，四点形的其余两边与三点形的该边的二交点，构成调和点组．§3.交比与调和共轭证明：取定a、b、c、d

的坐标，使(a)(b)(c)(d)，则

(a)(c)

(b)(d)(q)，

(a)(d)

(b)(c)(r)，则(q)(r)(a)(b)(m)，而(q)(r)(c)(d)(n)，所以，(qr;mn)

1，即q、r与m、n调和共轭．§3.交比与调和共轭定理7的应用：已知共线三点，求作第四调和点．作法：已知共线三点q、r、nmcdba1.任取不在所共直线上的二点c、d，使c、d、n共线；2.