2006数学三考研试题和答案

2006数学三考研试题和答案LtD2006年数学三试题分析、详解和评注填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.（1）（2）设函数在的某邻域内可导,且，，则（3）设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分（4）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则（5）设随机变量相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则.（6）设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差为，则二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题[]（13）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍加到第2列得，记，则（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［］（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且则必有(B)(C)(D)[]三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）设,求(Ⅰ)；(Ⅱ).（16）（本题满分7分）计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当时，.（18）（本题满分8分）在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.（19）（本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数.（20）（本题满分13分）设4维向量组，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)求的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得；（Ⅲ）求及，其中为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量的概率密度为，令为二维随机变量的分布函数.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)；(Ⅲ).（23）（本题满分13分）设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数.（Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求的最大似然估计1……【分析】将其对数恒等化求解.【详解】，而数列有界，，所以.故.【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济类）P.30【例1.41】.2….【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知，，两边对求导得，两边再对求导得，又，故.【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例11】，【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.53【例2.18】（几乎一样）.3…..【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为，，所以.方法二：对微分得，故.【评注】本题为基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第9讲第1节【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.162【例6.13】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.62【例6，例7】及练习.4…..【分析】将矩阵方程改写为的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有，而，所以.【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】.5……【分析】利用的独立性及分布计算.【详解】由题设知，具有相同的概率密度.则.【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第3讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）P.431【例2.31】Ｐ.442【例2.50】6,………【分析】利用样本方差的性质即可.【详解】因为，，所以，又因是的无偏估计量，所以.【评注】本题利用了样本方差是总体的方差的无偏估计量，最好能熟记样本均值和方差的性质和运算.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第5讲【例1】和【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.487【例5.1】Ｐ.488【例5.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.247【例4】及练习.7…….【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由知，函数单调增加，曲线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，，故应选(Ａ).【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解：因为，所以单调增加，即，又，则，即.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.129【例5.1】，P.151【１（３）】.8………【分析】从入手计算，利用导数的左右导数定义判定的存在性.【详解】由知，.又因为在处连续，则.令，则.所以存在，故本题选（C）.【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第1节【例2】，《数学复习指南》（经济类）P.46【例2.2】.9……【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).或利用排除法：取，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.【评注】本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.232习题八（2（3）题），《考研数学过关基本题型》（经济类）P.74【例1，例2】及练习.10…..【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解为，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.相关性质和定理见《数学复习指南》（经济类）P.219.11……【分析】利用拉格朗日函数在（是对应的参数的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参数的值为，则，即.消去，得,整理得.（因为），若，则.故选（Ｄ）.【评注】本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.本题属基本题型，相关定理见《数学复习指南》（经济类）Ｐ.170定理1及Ｐ.171条件极值的求法.12….【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选(Ａ).【评注】对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.完全类似例题及性质见《数学复习指南》（经济类）P.309【例3.7】，几乎相同试题见文登2006最新模拟试卷（数学一）Ｐ.２（11）.13………【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，而，则有.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第2讲【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.290【例2.19】.14….【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得，则，即.其中是标准正态分布的分布函数.又是单调不减函数，则，即.故选(A).【评注】对于服从正态分布的随机变量，在考虑它的概率时，一般先将标准化，即.完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第2讲【例7】和【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.417【例2.7】.15…….【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将作为常量求解，此问中含型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含未定式极限.【详解】(Ⅰ).(Ⅱ)（通分）【评注】本题为基本题型，注意利用洛必达法则求未定式极限时，要充分利用等价无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例21】，《数学复习指南》经济类P.32【例1.45（1）】，P.29【例1.35】，【例1.36】，P.30【例1.40】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.8【例14】，P.9【例16】.16【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以.【评注】计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节【例8】，《数学复习指南》（经济类）P.181【例7.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.65【例1】，P.66【例3】及练习.17…..【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】令，则，且.又，（），故当时，单调减少，即，则单调增加，于是，即.【评注】证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数，然后求导验证的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值），作比较即得所证.本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第2节【例4】，《数学复习指南》（经济类）P.242【例10.18】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.98【例11】，P.99【例13】及练习.18【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.【详解】(Ⅰ)设曲线的方程为，则由题设可得，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得，又，所以.故曲线的方程为.(Ⅱ)与直线（）所围成平面图形如右图所示.所以，故.【评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义，一阶线性微分方程的求解，属基本题型.完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）P.136【例5.13】，P.149【例5.34】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.272【例15】及练习8.2.19….【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记，则.所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为在内，，而，所以，又，于是.同理，又，所以.故..由于所给幂级数在处都收敛，且在处都连续，所以在成立，即，.【评注】本题幂级数是缺项幂级数，则应采用函数项级数求收敛域的方法，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第11讲第2节【例12】，【例15】，《数学复习指南》（经济类）P.204【例8.13】，P.209【例8.18】，《考研数学过关基础题型》（经济类）P.78【例6】，P.81【例9】及练习.20……..【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以为列向量的矩阵为，则.于是当时，线性相关.当时，显然是一个极大线性无关组，且；当时，，由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.【评注】本题属常规题型.91年，00年和04年均考过.完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第3讲【例1,例2】，《数学复习指南》（经济类）P.306【例3.2】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.134【例3】.21…….【分析】由矩阵的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵；由可得到和.【详解】(Ⅰ)因为矩阵的各行元素之和均为3，所以，则由特征值和特征向量的定义知，是矩阵的特征值，是对应的特征向量.对应的全部特征向量为，其中为不为零的常数.又由题设知，即，而且线性无关，所以是矩阵的二重特征值，是其对应的特征向量，对应的全部特征向量为，其中为不全为零的常数.(Ⅱ)因为是实对称矩阵，所以与正交，所以只需将正交.取，.再将单位化，得，令，则，由是实对称矩阵必可相似对角化，得.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，所以.，则.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题，抽象矩阵特征值和特