2022年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022年山西省长治市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.设y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2()．A.A.为所给方程的解，但不是通解B.为所给方程的解，但不一定是通解C.为所给方程的通解D.不为所给方程的解

2.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

3.

4.

5.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

6.设f(x)为连续的奇函数，则等于()．A.A.2af(x)

B.

C.0

D.f(a)-f(-a)

7.

8.下列命题中正确的有（）．A.A.

B.

C.

D.

9.

10.

11.下列（）不是组织文化的特征。

A.超个体的独特性B.不稳定性C.融合继承性D.发展性

12.∫-11(3x2+sin5x)dx=()。A.-2B.-1C.1D.2

13.单位长度扭转角θ与下列哪项无关()。

A.杆的长度B.扭矩C.材料性质D.截面几何性质

14.

15.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

16.设z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

17.

18.A.-1

B.0

C.

D.1

19.

20.

二、填空题(20题)21.设函数f(x)有连续的二阶导数且f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则22.

23.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

24.

25.

26.

27.

28.29.微分方程y=x的通解为________。

30.

31.32.

33.

34.

35.

36.

37.38.

39.设函数y=x2lnx，则y=__________．

40.三、计算题(20题)41.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则42.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．43.44.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．45.证明：46.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．47.求曲线在点(1，3)处的切线方程．48.

49.求微分方程的通解．50.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．51.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

52.

53.

54.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

55.

56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.(本题满分8分)

65.求y"-2y'=2x的通解．66.设z=f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求

67.

68.求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积·

69.设z=z(x，y)由方程e2-xy+y+z=0确定，求dz．

70.

五、高等数学(0题)71.求

的和函数，并求

一的和。

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B本题考查的知识点为线性常系数微分方程解的结构．

已知y1，y2为二阶线性常系数齐次微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个解，由解的结构定理可知C1y1+C2y2为所给方程的解，因此应排除D．又由解的结构定理可知，当y1，y2线性无关时，C1y1+C2y2为y"+p1y'+p2y=0的通解，因此应该选B．

本题中常见的错误是选C．这是由于忽略了线性常系数微分方程解的结构定理中的条件所导致的错误．解的结构定理中指出：“若y1，y2为二阶线性常系数微分方程y"+p1y'+p2y=0的两个线性无关的特解，则C1y1+C2y2为所给微分方程的通解，其中C1，C2为任意常数．”由于所给命题中没有指出)y1，y2为线性无关的特解，可知C1y1+C2y2不一定为方程的通解．但是由解的结构定理知C1y1+C2y2为方程的解，因此应选B．

2.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

3.C

4.B

5.C

6.C本题考查的知识点为定积分的对称性．

由定积分的对称性质可知：若f(x)为[-a，a]上的连续的奇函数，则

可知应选C．

7.C解析：

8.B本题考查的知识点为级数的性质．

可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．

9.A解析：

10.C

11.B解析：组织文化的特征：(1)超个体的独特性；(2)相对稳定性；(3)融合继承性；(4)发展性。

12.D

13.A

14.D解析：

15.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

16.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

17.B

18.C

19.B

20.C21.-1

22.本题考查的知识点为连续性与极限的关系．

由于为初等函数，定义域为(-∞，0)，(0，+∞)，点x=2为其定义区间(0，+∞)内的点，从而知

23.(2x-y)dx+(2y-x)dy

24.x2+y2=Cx2+y2=C解析：

25.(-22)

26.33解析：

27.0＜k≤10＜k≤1解析：28.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．29.本题考查可分离变量的微分方程．分离变量得dy=xdx，两端分别积分，∫dy=∫xdx，

30.3

31.32.2本题考查的知识点为二重积分的几何意义．

由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二重积分计算可知

33.

解析：

34.

35.

36.

37.38.0．

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0．

39.

40.41.由等价无穷小量的定义可知

42.

43.

44.函数的定义域为

注意

45.

46.47.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

48.由一阶线性微分方程通解公式有

49.

50.

51.

列表：

说明

52.

53.

54.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

55.

56.

57.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

58.

59.由二重积分物理意义知

60.

则

61.

62.

63.64.本题考查的知识点为不定积分运算．

只需将被积函数进行恒等变形，使之成为标准积分公式形式的函数或利用变量替换求积分的函数．65.y"-2y'=x为二阶常系数线性微分方程．特征方程为y2-2r=0．特征根为r1=0，r2=2．相应齐次方程的通解为y=C1+C2e2x.r1=0为特征根，可设y*=x(Ax+B)为原方程特解，代入原方程可得

故为所求通解．

66.本题考查的知识点为求抽象函数的偏导数．

已知z：f(xy，x2)，其中f(x，y)有连续偏导数，求．通常有两种求解方法．

解法1令f'i表示厂对第i个位置变元的偏导数，则

这里应指出，这是当每个位置变元对x的偏导数易求时，才采用此方法．相仿可解

有必要指出，由于第二个位置变元不依赖y，因此第二