高中数学向量数量积与三角恒等变换8三角恒等变换8两角和与差正弦正切课时两角和与差正切

第2课时两角和与差的正切(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的恒等变换．教课要点：两角和与差的正切公式的推导过程及运用．教课难点：两角和与差的正切公式的灵巧运用.【知识导学】知识点一两角和的正切公式为tan(α＋β)＝□tanα＋tanβ.它成立的条件是□α＋β≠kπ＋ππ0201α＋βπβ≠kπ＋2(k∈Z)．知识点二两角差的正切公式为tan(α－β)＝□tanα－tanβ.它成立的条件是□α≠kπ＋ππ0201α－βπβ≠kπ＋2(k∈Z)．公式的变形，由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ01知识点三1－tanαtanβ可变形为tanα＋tanβ＝□tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．同理tanα－tanβ＝□02tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．【新知拓展】1．公式Tα±β的构造特色和符号规律(1)公式T的右边为分式形式，此中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与α±βtanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．公式Tα±β的角的范围π公式中的α，β，α＋β，α－β都不可以等于kπ＋2，k∈Z.当tanα，tanβ，tan(α±β)的值不存在时，不可以使用公式办理相关问题，但能够改用引诱公式或其余方法．3．公式灵巧变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．tanα＋tanβtanα－tanβ(2)tanαtanβ＝1－tanα＋β＝tanα－β－1.(3)在Tα±β中，假如分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的，1－tanαπ3tanα＋3π如1＋tanα＝tan4－α；1－tanα＝3tanα＋4.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.()tanα＋tanβ(2)对随意的α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tanαtanβ.()tan16°＋tan44°(3)1＋tan16°tan44°＝3.()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做tan75°－tan15°(1)1＋tan75°tan15°＝()A．－2B.2C．－3D.3(2)已知tanα＝1，tanβ＝2，则tan(α＋β)＝________.π(3)若tanα－＝2，则tanα＝________.4答案(1)D(2)－3(3)－3题型一给角化简求值1－tan75°例1求值：(1)tan105°；(2)1＋tan75°.[解](1)原式＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°3＋1＝＝－(2＋3)．1－tan60°tan45°1－3tan45°－tan75°(2)原式＝1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝tan(－30°)3＝－tan30°＝－3.金版点睛给角化简求值的策略剖析式子的构造，正确采用公式形式．Tα±β是三角函数公式中应用灵巧程度较高的公式之一．所以在应用时先从所化简(求值)的式子的构造出发，确立是正用、逆用仍是变形用，并注意整体代换．化简求值中要注意“特别值”的代换和应用．当所要化简(求值)的式子中出现特别的数值时．要考虑用这些特别值所对应的特别角的正切值去代换．[追踪训练1]求值：(1)tan2°＋tan43°＋tan2°·tan43°；(2)(1＋tan1°)·(1＋tan2°)··(1＋tan44°)·(1＋tan45°)．解(1)原式＝tan(2°＋43°)·(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝tan45°(1－tan2°·tan43°)＋tan2°·tan43°＝1.(2)∵(1＋tan1°)·(1＋tan44°)1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°1＋tan45°(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44°1＋1＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，2223挨次类推，得原式＝2·(1＋tan45°)＝2.例21ππ已知tanα＝，tanβ＝－20<α<，<β<π.322求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β.[解]1(1)∵tanα＝，tanβ＝－2，31tanα－tanβ3＋2∴tan(α－β)＝1＋tanαtanβ＝2＝7.1－312tanα＋tanβ－32＝－1.(2)tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝1＋3πππ3π∵0<α<2，2<β<π，∴2<α＋β<2，3πα＋β＝.4金版点睛给值求值或求角问题的解题策略式子的变换：剖析已知式子的构造特色，联合两角和与差的三角函数公式，经过变形，成立与待求式间的联系以实现求值．角的变换：第一从已知角间的关系下手，剖析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数奇妙地成立等量关系，进而求值．在给值求角的过程中掌握好两点：①限制角的范围．②求角的某一个三角函数值．两者缺一不行．[追踪训练2]已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<π2，3ππ<β<，求α＋β的值．解由于tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，5所以tanα＋tanβ＝6，51tanα＋tanβ6tanαtanβ＝，tan(α＋β)＝＝＝1，61－tanαtanβ11－6π3π由于0<α<2，π<β<2，5π所以π<α＋β<2π，所以α＋β＝.4题型三公式的综合应用例3已知在△中，知足tan＋tan＋3＝3tantan，且sincos＝3，判ABCABABAA4断△ABC的形状．[解]由tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，得tanA＋tanB3，即tan(A＋B)＝－3.1－tantan＝－ABtanC＝－tan(A＋B)＝3，进而C＝60°.由sinAcosA＝43，得sin2Acos2A＝163化为16cos4A－16cos2A＋3＝0，解得cos2＝3或cos2＝1，A4A4∴cosA＝±3或cosA＝±1.22又A∈(0，π)，∴A＝30°或150°或60°或120°.当A＝150°或120°时，A＋C≥180°，舍去．当A＝30°时，C＝60°，B＝90°，与tanB存心义矛盾，舍去．A＝60°，B＝60°，C＝60°，即△ABC为正三角形．金版点睛在三角形中，应用和、差角公式解题需注意以下几点：三角形的内角和等于180°；创建条件使之能运用两角和与差的三角函数公式；记着常用结论：在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sinA＋BC2＝cos2等．[追踪训练3]ABBCCA证明：在△中，tantan＋tan·tan＋tantan＝1.222222ABπCABCABπ证明在△ABC中，由A＋B＋C＝π，得2＋2＝2－2，且2，2，2，2＋2都不等于2，ABπCtan2＋2＝tan2－2，ABtan2＋tan21C，∴AB＝1－tan2tan2tan2CABABtan2·tan2＋tan2＝1－tan2tan2，CABCAB∴tan2tan2＋tan2tan2＝1－tan2tan2，∴tanABBCCAtan＋tantan＋tantan＝1.2222221＋tan15°1.1－tan15°的值为()A.3B．132C.3D.2答案Atan45°＋tan15°分析上式化为1－tan45°tan15°＝tan60°＝3.2．已知tan1°＝，则tan44°等于( )aA．1－aB．1＋a1＋a1－aC.1－aD.1＋a答案D分析利用1°＋44°＝45°可得tan45°＝tan1°＋tan44°.将tan1°＝a代入上1－tan1°tan44°1－a式，解得tan44°＝1＋a.应选D.π1π＋3．已知tan－α＝2，则tan4α＝________.4答案2分析π1－tanα1tan－α＝＝，41＋tanα2π1＋tanα1∴tan4＋α＝1－tanα＝1－tanα＝2.1＋tanα4．计算tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.答