衡水独家秘籍2019高中期末复习专题三函数单调性判断与证明

衡水独家秘笈之2019高中期末复习专题三函数单一性的判断与证明【方法综述】1．函数的单一性（1）.增函数：若关于定义域I内的某个区间DDI上的随意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是增函数；（2）减函数：若关于定义域I内的某个区间DDI上的随意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有fx1fx2，那么就说函数fx在区间D上是减函数.复合函数单一性的结论：y＝f(t)递加递减t＝g(x)递加递减递加递减y＝[()]递加递减递减递加fgx以上规律可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”．可是要注意：单一区间一定注意定义域；要确立t＝g(x)(常称内层函数)的值域，不然没法确立f(t)(常称外层函数)的单一性．用定义证明函数单一性中的变形策略由定义证明函数f(x)在区间D上的单一性，其步骤为：取值→作差→变形→定号．此中变形是最重点的一步，合理变形是正确判断f(x1)－f(x2)的符号的重点所在．常有变形方法有因式分解、配方、同分、有理化等，下边举例说明.例1.求证：函数f(x)＝x2－4x在(－∞，2]上是减函数．证明：设x，x是(－∞，2]上的随意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x212121211222(x1－x2)(x1＋x2－4)．因为x1＜x2≤2，因此x1－x2＜0，x1＋x2－4＜0.因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x)在(－∞，2]上是减函数．评注因式分解是变形的常用策略，但一定注意，分解时必定要完全，这样才利于判断f(x1)－f(x2)的符号．1例2.求证：函数f(x)＝x3＋1在R上是增函数．证明：设x1，x2是R上的随意两个实数，且x1＜x2，3则f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2－13x1－x2(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＝(x1－x2)x2232.x1＋＋x224x2232因为x1＜x2，因此x1－x2＜0，x1＋2＋4x2＞0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函数f(x)在R上是增函数．评注此题极易在(x－x)(x22处“止步”而致误．而实质受骗我们不可以直接判1121222＋x1x2．断x12＋x2的符号，又不可以因式分解时，采纳配方则会“峰回路转”1例3.已知函数f(x)＝x＋x，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是减函数．证明：设x，x是区间(0,1]上的随意两个实数，且x＜x，则f(x)－f(x)＝x＋－x212121211x11－x2121－1＝(x12)x2－x1＝(x－x)＋x1x2－x＋x1x2112－1＝(x1－x2)1－＝(x1－x2)xx.x1x2x1x2因为x1＜x2，且x1，x2∈(0,1]，因此x1－x2＜0,0＜x1x2＜1.因此f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．故函数f(x)在(0,1]上是减函数．1评注相同，我们能够证明f(x)＝x＋x在区间[1，＋∞)上是增函数．例4.已知函数f(x)＝x－1，求证：函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数．证明：设x1，x2是区间[1，＋∞)上的随意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－1x2－1＝x1－x2.x1－1＋x2－1因为x＜x，且x，x∈[1，＋∞)，1212因此x1－x2＜0，x1－1＋x2－1＞0.2因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．评注关于根式函数常采纳分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x)－f(x)符号的目12的.1例5.求函数y＝x＋12的单一区间．解：函数y＝12的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，x＋121设t＝(x＋1)，则y＝t(t>0)．当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，因此(－∞，－1)是y＝12的递加区间；x＋1当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，因此(－1，＋∞)是y＝12的递减区间．x＋1综上知，函数1的递加区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．y＝21例6.求y＝x2－2x－3的单一区间．解：由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，21令t＝x－2x－3(t≠0)，则y＝t，1因为y＝t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，1在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，因此函数y＝x2－2x－3的递加区间为(－∞，－1)，(－1,1)，递减区间为(1,3)，(3，＋∞).【针对训练】1．以下四个函数中，在∞上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】3关于选项A,函数的图像的对称轴为张口向上，因此函数在∞上为减函数.因此选项A是正确的.关于选项B,在在∞上为增函数，因此选项B是错误的.关于选项C,在在∞上为增函数，因此选项C是错误的.关于选项D,,当x=0时，没存心义，因此选项D是错误的.故答案为：A.以下四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3x1C．f(x)＝－x＋1D．f(x)＝－|x|【答案】C32【分析】当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，时，f(x)＝x－3x为减函数；当2321x∈2，＋∞时，f(x)＝x－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．3．若函数yax与yb在0,上都是减函数，则fxax2bx在0,上x是（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增【答案】B【分析】由函数yax与yb在0,上都是减函数,可得a0,b0.则一元二次函数xfxax2bx在0,上为减函数.应选B.4.定义在R上的函数fxa，b，总有fafb对随意两个不相等实数a0建立，b则必有（）A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增添后减少D.函数f(x)是先减少后增添【答案】A【分析】若abfafbfafb建立，由增函数的定义知，则由题意ab0知，必定有该函数fx在R上是增函数；同理若ab，则必定有fafb建立，即该函数4fx在R上是增函数.因此函数fx在R上是增函数.故应选A.5.已知，那么()A.在区间上单一递加B.在上单一递加C.在上单一递加D.在上单一递加【答案】D【分析】，在记，则当时，单一递加，且）而在）不拥有单一性，故A错误；当时，不拥有单一性，故B错误；当时，单一递加，且）而在）不拥有单一性，故C错误；当，时，单一递减，且）而在）单一递减，依据“同增异减”知，D正确.应选：Dax试议论函数f(x)＝x－1(a≠0)在(－1,1)上的单一性．【答案】看法析【分析】设－1<x1<x2<1，x－1＋11f(x)＝ax－1＝a1＋x－1，11f(x1)－f(x2)＝a1＋1－a1＋2x－1x－1＝ax2－x1.因为－1<x1<x2<1，1－12xx－1因此x－x>0，x－1<0，x－1<0，2112故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递加．综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)上单一递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单一递加．a7.已知a>0，函数f(x)＝x＋x(x>0)，证明：函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数．【答案】看法析.5aaaa【分析】随意取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋x1－x2＋x2＝(x1－x2)＋x1－x2＝(x121aax－x＝(x1－x2)1－.－x2)＋12xx12a当a≥x1>x2>0时，x1－x2>0,1－x1x2<0，有f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，a此时，函数f(x)＝x＋x(a>0)在(0，a]上为减函数；a当x1>x2≥a时，x1－x2>0,1－x1x2>0，有f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，a此时，函数f(x)＝x＋x(a>0)在[a，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f(x)＝x＋a(a>0)在(0，a]上为减函数，在[a，＋∞)上为增函数．x8.已知函数的图象经过点（1，1），（，）．（1）求函数的分析式；（2）判断函数在（0，+∞）上的单一性并用定义证明；【答案】（1）.（2）看法析.【分析】（1）由f(x)的图象过A、B，则，解得．∴（x≠0）．（2）证明：设随意x1，x2∈，且x1<x2．（0，）∴.由x，x∈，得xx>0，xx+2>0．12（0，）1212由x1<x2，得．∴，即．6∴函数在上为减函数．（0，）9.已知函数在上知足，且，.（1）求，的值；（2）判断的单一性并证明；【答案】(1)；(2)单一递加，证明看法析；(3).【分析】（1）令，即可获得，再令，可得，令即可求得；（2）单一递加，证明：任取且，则，，因为，因此，因此在上单一递加.10.已知定义在区间∞上的函数知足，且当时，.1）求的值；2）证明：为单一增函数；（3）若，求在上的最值.【答案】（1）f（1）=0．（2）看法析（3）最小值为﹣2，最大值为3．【分析】试题剖析：（1）利用赋值法进行求（）的值；2）依据函数的单一性的定义判断（）在（，∞）上的单一性，并证明．3）依据函数单一性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题分析：（1）∵函数f（x）知足f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1，则f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．（2）证明：（2）设x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，∴f（）＞0