东北大学岩石力学讲义岩石破坏机制及强度理论

第二章岩石破坏机制及强度理论第一节岩石破坏的现象在不同的应力状态下，岩石的破坏机制不同，常见的岩石破坏形式有以下几种一、拉破坏：岩石试件单向抗压的纵向裂纹，矿柱，采面片帮。特点出现与最大应力方向平行的裂隙。二、剪切破坏：岩石试件单向抗压的X形破坏。从应力分析可知，单向压缩下某一剪切面上的切向应力达到最大引起的破坏。<a) ⑶图2-2剪切破坏(°)试件#(时巷逋

三、重剪破坏：即沿原有的结构面的滑动、重剪破坏主要的机制：岩体受剪切作用或者受拉应力的作用、三向受压情况下多数为剪切应力的作用，侧向压力较小时可能是拉神破坏，实际工程中可能是不同机制的组合，但侧向应力较大时，可以认为剪切应力是岩石重剪破坏的主要破坏机制。图2-3图2-3沿结构面滑移从岩石破坏的现象看，从小到几厘米的岩块到大的工程岩体，破坏形式雷同，并可归纳为两种，拉断与剪坏，因此有一定的规律可寻。对岩石破坏的研究：在单向条件下可以从实验得到破坏的经验关系。但是三向受力条件下，不同应力的组合有无穷多种，因此无法仅仅依靠实验得到破坏的经验关系，因此在一般应力状态，对岩石破坏的研究需要结合理论分析和试验研究两个方面。现代关于岩石破坏的理论分析一般归结为、寻求破坏时的主应力之间的关系◎二fQQ)123研究的方法有：理论分析；2、试验研究；3、理论研究结合试验研究。第二节岩石拉伸破坏的强度条件一、最大线应变理论该理论的主要观点是，岩石中某个面上的拉应变达到临界值时破坏，而与所处的应力状态无关。强度条件为(2-1)£—拉应变的极限值，£—拉应变。c(2-1)£—拉应变的极限值，£—拉应变。c£<£c图2-4拉伸敲坏若岩石在破坏之前可看作是弹性体，在受压条件下o/o2>o3下，£是最小主应力。TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 3按弹性力学有£=-匕(Q+Q)，即E£=Q-|!(G+G)。若£<0则产生拉应变。由于E>0，3EE1 2 3 3 1 2 3因此产生拉应变的条件是◎-((◎+Q)<0， ((◎+Q)〉◎\o"CurrentDocument"3 1 2 1 2 3◎若£=£<0则产生拉破坏，此时抗拉强度为£=—=◎=E£。3 0 0Et0按最大线应变理论£、£破坏，即30◎-卩(◎+◎)>◎(2-2)3 1 2t式中£是允许的拉应变。0表2-1几髀岩石的拉忡应变极限值启芯规格(mm)试件高与直栓比h/d扱限拉伸应变値石名称石英岩A41ZCL000120石英岩B4120*0001^9石英岩c2820*000081石英专D20-000130石英岩E412C.000152熔宕A412G.000133熔舛B4120,000138玄武占B4120.000175苏长岩540*000173砾岩A412C*000086砾猎R4120,000073砾岩C412(L0M083砂 券4120.000090岩A肌20-000116页岩B4120.000150页岩c2520,00UU95二、格里菲斯理论格里菲斯理论的主要观点是：材料内微小裂隙失稳扩展导致材料的宏观破坏。格里菲斯理论的主要依据是：1)、任何材料中总有各种微小微纹；2)、裂纹尖端的有严重的应力集中，即应力最大，并且有拉应力集中的现象；3)、当这种拉应力集中达到拉伸强度时微裂纹失稳扩展，导致材料的破坏。格里菲斯理论的来源：由玻璃破坏得到的启示。格里菲斯理论的基本假设为：1、 岩石的裂隙可视为极扁的扁椭圆裂隙；2、 裂隙失稳扩展可按平面应力问题处理；3、 裂隙之间互不影响。按格里菲斯理论，裂纹失稳扩展条件为1)、当◎+3q>0时，满足13(◎-◎)2+8q(◎+◎)=0 (2-2)1 3 t1 3

时发生破坏。2)、当o+3q<0时，满足(2-3)13(2-3)o=-8oc t时发生破坏。式中。 一单向抗压强度，t—单向抗拉强度。t°1图45°1图45裂隙边壁应力计算图按格氏理论，岩石的拉压强度是抗拉强度的8倍。按照格里菲斯理论，岩石破坏的微观机制是微裂隙的受拉破坏，宏观机制是微裂隙的失稳扩展并汇合成宏观裂隙。三、修正的格里菲斯理论格里菲斯理论没有考虑裂隙受压和裂隙面摩擦的情况，只能用于裂隙严格受拉的情况，因此Maclintock和Walsh考虑到裂隙在压应力作用下的混发生闭合的情况，对格里菲斯理论进行了修正，得到了修正的格里菲斯准则o= (2-4)1o o(l-r)(l+f2)-f(1+r)oo

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式中o—岩石的抗拉强度。由于抗拉强度测量比较困难。因此用抗压强度代替抗拉强度。t当o=0,o=o时从上式可求出4o3 1c4o(2-5)订+f2+f+1(2-6)订+f2+f+1(2-6)oo—1=―3Xoo

cc式中f是裂隙面的摩擦系数。研究裂纹的两种方法：1、椭圆坐标；2、数学裂纹。以上是二维理论，其进一步的假设为：1、 岩体内遍布微裂隙，且裂隙可理想化为格里菲斯裂纹2、 岩体内裂纹均匀分布，但裂纹之间没有相互作用。

第三节、岩石剪切破坏的强度条件一、莫尔强度理论莫尔强度理论的基本观点：莫尔强度理论认为，材料在压应力作用下的屈服和破坏，主要是在材料内部某一截面上的剪应力到达一定限度，但也和作用于该截面上的正应力有关莫尔强度理论的来源：最早起源于对金属摩擦的研究。对岩石力学而言，主要来源于土力学。根据对摩擦的研究，滑动面上的剪切位移既与剪应力有关，又与正应力有关，剪切破坏的一般示意图如下。翅2-6推动滑块的推力关系因此，强度准则的一般形式为t=f(Q) (2-6)上式一般是非线性关系，因此在T—O图上一般是曲线，直线是其特例，也是最简单的情况。下图是几种典型的剪切破坏T二f(Q)曲线二、绘制T=f(Q)的方法：按照莫尔理论测定岩石的强度，有以下几种方法：1、 由三轴压缩实验测定破坏时的O］和O3，由此绘制一系列极限应力图，这些圆的包络即是强度曲线工=f(Q)。2、 由剪切试验(斜剪或直剪)，得到破坏时的一系列T和O(方法见前一条)，由此拟合a a曲线。3、 按单向抗拉强度和单向抗压试验求强度曲线。<QQ Q-Q(2—7)cL(1+—c 厂(2—7)2 QQ以下讨论式（2－6）的导出过程。按图2-8，从抗压和抗拉两个实验绘制莫尔圆，可确定如下曲线设摩擦角为0，则单向受压时的剪应力和正应力为设摩擦角为0，则单向受压时的剪应力和正应力为T= -COS0，2单向受拉时的剪应力和正应力为Q=-c— -sin022T=T=tCOS0，t2QQ.,=-1+tsin022(Q—(Q—Q)COS0二=tg0nQ+Qt(Q+Q)—(Q—Q)sin0呎tt(Q—Q)cos20=(Q+Q)sin0一(Q+Q)sin20t t tQ—Q=(Q+Q)sin0tt纵坐标上的点C确定的方法sinQ=to+otoTC=—Tcos©+T,F=tg©2 0otT=QXtg©0tooT=(厂+022si©ntg)o—otoC=-2(t©t©gsin©+co©s由辅助三角形oo—o

tg©=~ 石,ooct4oo .,o—oTOC\o"1-5"\h\zcos©= ；sin©= 1o+o o+oct ct代入上式得到o o 2o2+2oot Ct22\：oo(o +o)CtC to {(o —o ), (o —o) (o —o) 4o o}—t{ C t c厂}2 J4oo 』4ooo+oo+o"ct Ctct ct小o (o —o )(o +o)+ (o —o )2+ 4o oC—tCtCt Ct CT2 J4oo(o+o)CtC too2因此ooo—o '、Qoo—o 、C厂co —C厂(1C tco)2 2“oo2 ooCt Ct然后根据图2－9可以得到各个量的几何关系，得出（2－7）式。三、库仑—莫尔理论按莫尔强度理论得到的岩石强度曲线一般是曲线，直线是其特例。在莫尔理论的基础上，库仑假设岩石的剪切强度曲线是直线，称为库仑—莫尔理论。按照库仑—莫尔理论，对于图2—7所示的岩石的直剪情况下的破坏，剪切强度e可按下式确定kI=C+Qtg© (2-8)或者kl=C+f (2-8a)上式中的绝对值表示剪切破坏与滑移方向无关。式中，b—作用在剪切面上的正应力，0—岩石的内摩擦角，f—岩石的内摩擦系数，C—岩石的纯剪切强度(即剪切滑移面上的正应力b=0时的剪切强度)，也称内聚力，粘结力。但工程岩体的应力状态比图(2-7)所示的更复杂，为了便于将莫尔—库仑理论推广到一般的应力状态，需要有比式(2-8)更方便的公式，为此首先介绍应力莫尔圆。应力莫尔圆简介考虑两种平面直角坐标Oxy和Ox'y'中应力分量的变换y图2-10如果坐标系Oxy中的应力分量b,b,k已知,xyy图2-10如果坐标系Oxy中的应力分量b,b,k已知,xy则对于图2-10的情况容易导出I,=_(b2=一(b2+b)+1(b

y2、I,+b)-(b

y2-b)cos2a+ksin2ay xy-b)cos2a+ksin2ay xykx'y'=1(b-b)sin2a-kcos2a' 2yx xy,k 是坐标系x'oy'坐标中应力分量。若在主应力空间，贝k =0，b=b，b=b，x' x'y' xy x1y2因此(a)t= (g(a)t= (g—g)sin2ax'y' 213G1G3G=—(G+G)+(G—G)COS2a

x'213213图2-11TOC\o"1-5"\h\zg和t也可看作是与g成a角的平面上的法向应力和剪应力，即可写为x' x'y' 1(2-9)(2-10)G=—(G+G)+(G—G)COS2aa2 1 3 2 1 3(2-9)(2-10)t=—(g—g)sin2aa2 1 3下面讨论g,t的几何表示。将(2-9)式改写为aa(G—G)COS2a=G一一(G+G)2 1 3 a2 1 3(g—g)sin2a=t2 1 3 a从(2-10)式可以求出，［G一丄(G+G)］2+T2=丄(G—G)2a21 2a41 3在T,G平面上，上式表示一个圆，圆心在G轴上［-(G+G),0］，半径为丄(G—G)，aa 2 1 3 2 1 3被称为莫尔应力圆，在不引起误解的情况下，用T,G表示与G［成a角的平面上的正应力和剪应力G,T。aa图2-12的应力莫尔圆，是公式(2-10)的几何表示。TOC\o"1-5"\h\z考虑下面的试验。试件受G和G的作用，G>G。试件中的某个面与G的夹角为a，1 3 1 3 1则在G,G作用下，该斜面上的法向应力G，和剪应力T就是应力莫尔圆上的P点的横i3 a a坐标和纵坐标。对比图2-10和2-11试件内与g成a角的面，就是莫尔应力圆上与g成2a角1的点。因此从圆心［丄(g+G),0］起做与g轴为2a角的射线，它与射线与g轴夹角为2a，2 1 3

应力莫尔圆的交点为P。从图2-11可以看出，P点的横坐标Q和纵坐标T分别为a aa=—(q+q)+(q-a)cos2aa=—(q+q)+(q-a)cos2a；a213213t= (a-a)sin2aa2 1 31图2-13如果将(2-11)式中的t,a理解为图2-13所示的a面上的剪应力和正应力，则(2-11)式可以推广到受压岩石的剪切破坏。将(2-11)代入(2-8)，得出丄9-a)sin2a=C+』(a+a)+^(a-a)cos2a]-f2 1 3 2 1 3 2 1 3整理上式可得^(a-a)(sin2a-f-cos2a)一—f-(a+a)=C (2-12)2 1 3 2 1 3式(2-12)中，a,a是作用在岩石上的载荷，其大小是已知的，而受压岩石的剪切破坏面无13法事先知道，即剪切破断角a是未知的。因此无法使用(2-8)式判断岩体的剪切破坏。显然破坏在C取最大值的面上发生。由于(2-12)式仅仅与角度a有关。这意味着只有当dC=0,即da(2-12)式取极值时才可能发生，将(2-12)式对剪切破断角a导，得到(2-12)式取极值时才可能发生，将(2-12)式对剪切破断角a导，得到0=(g—g)cos2a+f(g—g)sin2©13=tg2a=——13ga注意到f=tg©，则一cos2a=fsin2atg2a=tg^f(2-13)从上式可以求出或者要是上式满足，必然有-=—COs2a=sin©sin2a+cos2acos©=0cos© sin2或者要是上式满足，必然有cos(2a—©)=0©—2a=-2或者-©(2-14)+—(2-14)42式中a是破断角，即与最小主应力的夹角，卩是摩擦角。库仑一莫尔准则(2-13)式是T—g平面上的直线，应力莫尔圆是T—g图上的一个圆，应力莫尔圆上点的纵坐标横坐标分别表示和岩样内某一截面上的剪应力和法向应力。因此T—g面内强度曲线和应力莫尔图的交点是受压岩样剪切破坏时的剪应力和法向应力，a是破断角。用(2-12)式判断岩体的破坏也不是十分方便。在岩石的三轴抗压压缩实验中G和G是已知的，因此下面讨论用G和G表示的库仑一1 3 1 3摩尔准则。从下图可以看出：gg图2-14而因此AO=Cxctg而因此AO=CxctgQ,OB=(b)AB=Cxctg©+Q+Q1 32(c)将(b)、(c)代入(a),得到=(C=(Cxctg©+Q+Q—1 32)sin©或者Q-Q=(Q+Q)sin©+2Ccos©1 3 1 3整理上式，并令N=出泌,Q=2CC0S©，可以得到1-sin© c 1-sin©Q=NQ+Q (2-15)1 3c式中Q—单向抗压强度。(2-15)式是库仑一莫尔准则一种常用的形式，在粘聚力c和内摩擦c角已知的情况下使用。(2-16)q=qtan2a+q(2-16)1 3 c(2-16)式是库仑—莫尔准则的另一种形式。其导出过程如下：©-2a=中［(2-14)式］,因此1+sin©=1+sin(2a一中)=1一cos2a=2sin2a1一sin©=1一sin(2a一专)=1+cos2a=2cos2a这样n=1+sin©=2sin2a=tan2a，将它代入(2-15)式，得到(2-16)式。1一sin©2cos2a库仑—莫尔准则与单轴抗压强度和单轴抗拉强度的关系令(2-15)式中的侧向应力q=0，得到单向抗压强度32Ccos©Q=—

c1一sin©但是，另一方面，(2-15)式中的纵向应力Q=0，得到的3

QQ=—-c丰Q3Nt不是压应力作用下岩石的抗拉强度Q。分析如下：t由于岩石的摩擦系数大于零，即0<f5，贝y(2-13)式表明tg2a位于第二象限，因此做辅助三角型1

做辅助三角型1借助于辅助三角型，可以得到sin2a= ,cos2a=J1+f2 J1+f2将sin2a,cos2a和tg©借助于辅助三角型，可以得到sin2a= ,cos2a=J1+f2 J1+f2将sin2a,cos2a和tg©=f代入(2-15)式，得到2C= (b1-b3)(1+f2)12-(b1+b3)fQ1~3)(1+/2)12-化+Q3)/<2C时不破坏Q1~3)(1+/2)12-化+Q3)/〉2C时不破坏(b1-b3川+f2-(b1+b3)f=2C◎“1+^—f)—b3&T+K+f)=2C(2-17)处于极限状态。显然b—b b+bb—b—r rsin2a—(—r 3+—r 3cos2a)tg©<C222另一方面，从库仑准则的适用条件b>0，并利用应力的坐标变换公式(2-11a,

a到b)，得改写上式得到2b=(b+b)+(b-b)cos2a=b(1+cos2a)+b(1—cos2a)>0

3 1 3 1 3b(1— )+b(1+—1 1+f2 3 ■■)〉0V1+f2或者1市[bw+f2-f)+bw+f2+f)]>0(2-18a)由于1+f2>0，因此ba>0要求b1"+f2-f)+b3("+f2+f)>0联立(2-18)式和(2-18)式，得出2b3+f2-f)>2C或者b(耳1+f2—f)>C(2-18b)(2-19)注意到COS29f2=tan29=沁，1+f2=1+tan2―cos29+sin29cosCOS29因此

sineCOSesineCOSeC CcoseQTOC\o"1-5"\h\zQ> = =~c1 1 _sme1一sine2cose cose上式表明，按照库仑一莫尔准则，即Q1的最小值为予＞°。因此只有Q1&时,(2-20)(2-15)式q=Nq+q才成立。这样证明了不能令(2-15)式中的纵向应力q(2-20)(2-15)式Q=3—c丰Q=3—c丰QNt不是岩样的拉应力。不等式Q1汽也给出了库仑―莫尔准则的适用范围。Q _f)Q _f)_Q +f)=2CQ(Q1>适)Q=_QQ(Q1-空)将(2-15)式改写为~Q图上，(2-21)式是3Q=0~Q图上，(2-21)式是3Q=0时，3QQQ=—f3N条直线，斜率B=arctan.Qt/2—。当Q=0时,3(2-21)=Q；当c話。上图表明库仑一莫尔准则的有效范围为线段AP。库仑—莫尔准则不仅适合与土，还适合于完整岩石，它合理地给出了剪切破坏所需要的应力和剪切破坏方向。为了能得出发生剪切破坏时应力的大小，利用(2-18b)式给出发生时的应力状态O,O与岩石的抗拉、13抗压强度的关系。从（2-18b）式(O1—O3)(1+f2)12-(O1应力状态O,O与岩石的抗拉、13抗压强度的关系。从（2-18b）式(O1—O3)(1+f2)12-(O1+O3)f、2C(2-22)单向压缩时o=0,3O=01则（2-22）式变为O=2C(2-22)C (1+f2)12—f单向拉伸时O=0，1O =—O3。从（2-22）式得出2CS= 2Ct(2-23)(1+f2)12+f乞=(1+f2)1；+f=O (1+f2)12—f(2-24)在上述两种情况下，有0=01cO-3Ot合并两式得到OO(2-25a)ct=2OO+―—OO3(2-25b)这些关系已在实践中得到证实。库仑—莫尔准则小结1、 库仑—莫尔准则中包含的物理量、意义及相互关系粘结力C（也被称为内聚力或固有剪切强度）；摩擦角系数f（f=tan