第4章控制系统的频域分析

第4章

控制系统的频域分析频域分析方法的优点

(1)系统频率特性的物理意义明确。(2)可以通过实验方法得到频率特性。

(3)便于使用图形分析，直观，计算量小，信息量大。判稳定时能给出稳定裕量。只适合于线性定常系统，主要用于SISO系统。不容易得到精确的时域响应特性。

局限性4.1系统的频率特性

幅频特性

相频特性

频率特性可以由传递函数得到频率特性测试(ω从0→∞)4.2Nyquist稳定判据

Cauchy幅角原理

(零点个数考虑重根数，N>0顺时针，N<0逆时针。)对于复变函数F(s)

在s平面上封闭曲线C域内共有n个极点和m个零点，且封闭曲线C不穿过F(s)的任一个极点和零点。当s顺时针沿封闭曲线C变化一周时，在F(s)平面上对应的映射封闭曲线CF顺时针包围原点

N=m–n

周。

Cauchy幅角原理在s平面上封闭曲线C域内有3个零点1个极点，当s顺时针沿封闭曲线C变化一周时，封闭曲线CF按顺时针方向包围原点:

Cauchy幅角原理复变函数映射概念例：Nyquist围线和Nyquist图闭环传递函数

闭环传递函数分母

为闭环特征多项式。为开环特征多项式。

Nyquist围线和Nyquist图1，设s平面上有沿虚轴由—j∞到＋j∞方向的封闭曲线。称其为Nyquist围线。Nyquist围线和Nyquist图2，设映射函数为

Nyquist围线映射到F(s)平面上的有向闭曲线称为Nyquist图。

s平面上的当n>m时（多数情况），当s从0到＋

j∞变化时,G0(s)趋于0,F(s)=1+G0(s)趋于实轴上的1Nyquist围线和Nyquist图3，由关系式，称F(s)平面的虚轴向右移动单位距离后的平面为G0(s)平面。

Nyquist围线在G0(s)平面上的映射就是系统的开环幅相频率特性曲线G0(jω)

。F(s)平面的原点即G0(s)平面的点

(-1，j

0)。Nyquist围线和Nyquist图按Cauchy幅角原理的结论，对于复变函数，当s在s平面上沿Nyuist围线顺时针变化一周时，则在平面上映射的Nyuist图顺时针包围点N=m—n周。

n为在右半平面的极点数，G0(s)极点数。m为在右半平面的零点数，系统特征方程的根在右半s平面上的个数。

Nyquist稳定判据1，若系统开环稳定，则闭环系统稳定的充要条件是Nyquist图不包围(-1，j0)点。

2，闭环系统稳定的充要条件是Nyquist图包围周数为N=－n。

推论：若Nyquist图顺时针包围(-1，j0)点，则系统一定不稳定。

（N=m－n=0，n=0，故m=0)(N=m－n=－n所以m=0)(N=m－n,若N≥1，n不会为负值，则必有m≥1)绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.1(1)画系统的开环频率特性极坐标图。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例①特殊点②分析变化趋势

ω从0到∞变化

从k到0，单调递减。

从00到－1800，单调递减。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例(2)由Nyquist判据判断系统的稳定性(已知N,n求m)

N＝

0(由Nyquist图)n=0(由G0(s)表达式)

由N

＝

m

－

n，得m=0，故系统稳定。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例s=tf('s');g=10/((s+1)*(2*s+1));nyquist(g)用matlab绘制Nyquist图绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.2①特殊点

②变化趋势

单调递减变化

与实轴有交点，为－7.9(1)

开环频率特性极坐标图。

N＝2，n=0N=m－n，故m=2。有两个极点在右半平面，系统不稳定。绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例(2)判断系统的稳定性

Nyquist判据可能稳定不稳定绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.3T1>0、T2>0

(1)

特殊点

(2)

变化趋势

从1到

从1到

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.4(1)

开环频率特性极坐标图。

①特殊点

②趋势分析

从∞到0单调递减。从－900到－1800单调递减。

问题：N＝?n=?绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例(2)

改造后的Nyquist图。

在原点附近令当从时绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例S平面G0(s)平面①A对应A′②B对应B′

③C对应C′

N

＝0，n=0所以m=0系统稳定在无穷远处顺时针绕行1800绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.5积分环节r=2①特殊点

②趋势

从∞到0单调递减。从－1800到－2700单调递减。

在无穷远处顺时针绕行3600S平面上绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例N=2，n=0，所以m=2系统不稳定小结：积分环节数r=1在无穷远处顺时针绕行1800

r=2在无穷远处顺时针绕行3600

r=3在无穷远处顺时针绕行5400绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.6k、T1、T2

、T3>0①特殊点

②趋势分析

不一定是单调变化。绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例即相角为450前后变化最快。在时，绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例①T3<T1＋T2

系统不稳定。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例②T3>T1＋T2

ω较小时

ω较大时

故Nyquist图与负实轴有交点，其值需要计算确定。

除ω＝0外

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例系统稳定。系统不稳定。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例例4.7已知系统的开环频率特性极坐标图，开环极点数

n=0，积分环节数r=3，判断系统的稳定性。

绘制Nyquist图和应用稳定判据的示例N=2－2＝0由题意已知n=0，因为N=m–n=0，所以m=0系统稳定。4.3对数频率特性法

为什么要用对数频率特性?(1)相乘环节变为相加(2)典型环节可用直线或折线表示Bode图开环对数频率特性开环幅频特性开环相频特性对数幅频特性定义单位：分贝dB,1贝尔＝20分贝4.3对数频率特性法典型环节的Bode图1，比例环节若k=10G(s)=k,

（k>0）G(jω)=k

典型环节的Bode图2，积分环节

典型环节的Bode图3，惯性环节

讨论为转折频率典型环节的Bode图用渐近线表示典型环节的Bode图4，2阶振荡环节

平方项4次方项讨论典型环节的Bode图典型环节的Bode图典型环节的Bode图计算2阶环节的频率特性的峰值

典型环节的Bode图系统Bode图的合成

例4.8

(3)惯性环节

(4)比例微分环节

(5)2阶振荡环节

(2)积分环节

穿越0dB线

(1)比例环节

－20dB/dec+20dB/dec－40dB/dec系统Bode图的合成(3)惯性环节

(4)比例微分环节

(5)2阶振荡环节

(2)积分环节

穿越0dB线

(1)比例环节

－20dB/dec+20dB/dec－40dB/dec－20dB/dec幅频特性合成系统Bode图的合成幅频特性合成系统Bode图的合成相频特性合成对数幅频特性渐近线分段作图法

1，确定低频段Bode图位置。

斜率由积分环节决定r=00dB/decr=1-20dB/decr=2-40dB/dec2，依次绘制惯性环节、2阶振荡环节转折频率以后的Bode图的渐近线。根据每个环节转折频率后的斜率对各频段的斜率进行增减。对数幅频特性渐近线分段作图法例4.8

相频特性草图分段作图法

惯性环节的相频特性1，确定系统相频特性的渐近线。

2，根据相频特性的渐近线绘制相频特性曲线的草图。

相频特性草图分段作图法例4.8

最小相位系统

如果一个系统传递函数的全部零极点都位于s平面的左半平面或虚轴上，则称为最小相位系统。

最小相位幅频特性和相频特性一一对应。

例4.9

T2>T1>0最小相位系统4.4稳定裕量

幅值裕量和相角裕量

幅值穿越频率ωc

相位穿越频率ωg

幅值裕量和相角裕量相角裕量

幅值裕量

稳定不稳定为满足动态性能要求，相角裕量应在300～700。

为满足动态性能要求，幅值裕量应在5～15dB。

稳定不稳定稳定裕量与稳定性

Nyquist图上单位园对应Bode图幅频特性上0dB线；Nyquist图上负实轴对应Bode图相频特性上－1800线。

稳定不稳定稳定裕量与稳定性1，若L(ω)穿越0dB线时，Φ(ωc)>－1800，则闭环系统稳定，否则不稳定。稳定不稳定2，若Φ(ω)穿越－1800线时，L(ωg)<0，则闭环系统稳定，否则不稳定。稳定裕量与稳定性

最小相位系统开环传递函数，随频率增加相位角也增加，到－1800时就成为正反馈。幅值裕量和相角裕量计算示例例4.10k=5和k=20(1)绘制Bode图①低频段

ω＝1L(ω)=20lg5=14dBk=5k=20L(ω)=20lg20=26dB－20dB/dec②转折频率

ω1＝1－20dB/decω2＝10－20dB/dec幅值裕量和相角裕量计算示例(2)计算相角裕量①k=5系统稳定。

幅值裕量和相角裕量计算示例②k=20系统不稳定

幅值裕量和相角裕量计算示例(3)计算幅值裕量设ωg

＝3.2，Φ(3.2)=–180.40

设ωg＝3，Φ(3)=–1780设ωg＝3.3，Φ(3.3)=–181.40试探法

取

ωg

＝3.2（准确值为ωg

＝3.16）

幅值裕量和相角裕量计算示例幅值裕量和相角裕量计算示例例4.11①低频段

②转折频率

相频特性低频段为－1800，高频段为－2700。

幅值裕量和相角裕量计算示例计算相角裕量

系统不稳定

幅值裕量和相角裕量计算示例例4.12幅频特性

幅频特性

相角裕量

最小相位系统的幅频特性

1，最小相位系统的开环幅频特性L(ω)能唯一确定系统的开环传递函数。

例4.13(1)由幅频特性写传递函数。

(2)求时间常数。

(3)求k。

得

k=8最小相位系统的幅频特性最小相位系统的幅频特性

例4.14(1)写开环传递函数表达式。

(2)时间常数。

(3)