一元二次方程的认识及解法(含答案)

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐一元二次方程的认识及解法(含答案)一元二次方程的认识及解法

一．挑选题（共26小题）

1．对于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（）

A．a≠±1B．a=1C．a=﹣1D．a=±1

2．下列方程是对于x的一元二次方程的是（）

A．x2+=1B．ax2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

3．下列方程中是一元二次方程的是（）

A．xy+2=1B．C．x2=0D．ax2+bx+c=0

4．对于x的方程x2+5x+m=0的一具根为﹣2，则m的值为（）

A．6B．3C．﹣3D．﹣6

5．若对于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（）

A．2016B．2018C．2020D．2022

6．利用平方根去根号能够构造一具整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，因此x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造办法，当x=时，能够构造出一具整系数方程是（）

A．4x2+4x+5=0B．4x2+4x﹣5=0C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=0

7．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是对于x的一元二次方程，则（）

A．n≠1B．n≥0C．n≥0且n≠1D．n为任意实数

8．对于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（）

A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞2

9．下列方程是一元二次方程的是（）

A．ax2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0

10．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分不为（）

A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9

11．方程x2+6x﹣5=0的左边配成彻底平方后所得方程为（）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4

12．用配办法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（）

A．（3x+1）2=1B．C．D．

13．别论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）

A．非负数B．正数C．负数D．非正数

14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的事情是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个别相等的实数根

C．惟独一具实数根D．无实数根

15．一元二次方程x2+4=0的根的事情是（）

A．有两个别相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．无法确定

16．对于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）

A．m≥﹣1B．m＞﹣1C．m≤﹣1D．m＜﹣1

17．若对于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是（）

A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0

18．对于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（）

A．6B．7C．8D．9

19．若对于x的方程有实数根，则k的取值范围为（）

A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞

20．方程的根的事情是（）

A．有两个别等的有理数根B．有两个相等的有理数根

C．有两个别等的无理数根D．有两个相等的无理数根

21．对于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：

①存在实数a，使得方程恰有2个别同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个别同的实根；

③存在实数a，使得方程恰有4个别同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个别同的实根；

其中正确的结论个数是（）

A．1B．2C．3D．4

22．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的两根相等，则△ABC为（）

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形

23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列讲法：

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；

②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；

③若方程ax2+c=0有两个别相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个别相等的实根；

④若b=2a+c，则方程有两个别相等的实根．其中正确的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（）

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个别相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个别相等的实根．

A．1个B．2个C．3个D．0个

25．若对于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象别通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

26．已知向来角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，这么对于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的事情为（）

A．有两个相等的实数根B．有两个别相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

二．填空题（共1小题）

27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．

三．解答题（共13小题）

28．解下列方程

（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．

29．解方程4（x﹣1）2=9

30．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，依照那个规则：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．

33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．

34．用适当的办法解下面的方程：

（1）（x﹣5）2﹣9=0（2）3x2﹣1=6x．

35．已知对于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．

（1）求a的值；

（2）求方程的根．

36．对于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一具根，求m的值及另一具根．

（2）当m为何值时方程有两个别同的实数根．

37．已知对于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分不为△ABC三边的长．（1）假如x=﹣1是方程的根，试推断△ABC的形状，并讲明理由；

（2）假如方程有两个相等的实数根，试推断△ABC的形状，并讲明理由；

（3）假如△ABC是等边三角形，试求那个一元二次方程的根．

38．已知对于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．

（1）当m取何值时，方程有两个别相等的实数根；

（2）为m选取一具合适的整数，使方程有两个别相等的实数根，并求这两个根．

39．甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分不表示两人各投掷一次的点数．

（1）求满脚对于x的方程x2+px+q=0有实数解的概率；

（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率．

40．已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有两个别相等的实数根，同时这两个根又别互为相反数．

（1）求m的取值范围；

（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．

一．挑选题（共26小题）

1．对于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，则（C）

A．a≠±1B．a=1C．a=﹣1D．a=±1

2．下列方程是对于x的一元二次方程的是（C）

A．x2+=1B．ax2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

3．下列方程中是一元二次方程的是（C）

A．xy+2=1B．C．x2=0D．ax2+bx+c=0

4．对于x的方程x2+5x+m=0的一具根为﹣2，则m的值为（A）

A．6B．3C．﹣3D．﹣6

5．若对于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2020+2a﹣b的值是（B）

A．2016B．2018C．2020D．2022

6．利用平方根去根号能够构造一具整系数方程．例如：x=+1时，移项得x﹣1=，两边平方得（x﹣1）2=（）2，因此x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述构造办法，当x=时，能够构造出一具整系数方程是（B）

A．4x2+4x+5=0B．4x2+4x﹣5=0C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=0

7．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是对于x的一元二次方程，则（C）

A．n≠1B．n≥0C．n≥0且n≠1D．n为任意实数

8．对于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，则a的取值范围为（C）

A．a≠0B．a＞0C．a≠2D．a＞2

9．下列方程是一元二次方程的是（D）

A．ax2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0

10．方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分不为（C）

A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9

11．方程x2+6x﹣5=0的左边配成彻底平方后所得方程为（A）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4

12．用配办法解方程2x2+3x﹣1=0，则方程可变形为（B）

A．（3x+1）2=1B．C．D．

13．别论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（A）

A．非负数B．正数C．负数D．非正数

14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的事情是（D）

A．有两个相等的实数根B．有两个别相等的实数根C．惟独一具实数根D．无实数根15．一元二次方程x2+4=0的根的事情是（C）

A．有两个别相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定

16．对于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（A）

A．m≥﹣1B．m＞﹣1C．m≤﹣1D．m＜﹣1

17．若对于x的一元二次方程mx2﹣x=有实数根，则实数m的取值范围是（B）

A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0

18．对于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（C）

A．6B．7C．8D．9

19．若对于x的方程有实数根，则k的取值范围为（A）

A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞

20．方程的根的事情是（D）

A．有两个别等的有理数根B．有两个相等的有理数根

C．有两个别等的无理数根D．有两个相等的无理数根

21．对于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：

①存在实数a，使得方程恰有2个别同的实根；②存在实数a，使得方程恰有3个别同的实根；

③存在实数a，使得方程恰有4个别同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个别同的实根；

其中正确的结论个数是（C）

A．1B．2C．3D．4

解：∵|x2﹣x|﹣a=0，∴|x2﹣x|=a，∴a≥0，当a=0时，x2﹣x=0，方程有两个实数根，

若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此刻方程有两个别相等的实数根．

若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a=0，即则x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此刻方程有两个别相等的实数根，当﹣4a+1=0时，a=，此刻方程有两个相等的实数根，

当﹣4a+1＜0时，a＞，此刻方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个别同的实根，故③正确；当a=时，使得方程恰有3个别同的实根，故②正确；当a=0或a＞时，使得方程恰有2个别同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．

22．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的两根相等，则△ABC

为（C）

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．任意三角形

23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列讲法：

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac＞0；

②若方程两根为﹣1和2，则2a+c=0；

③若方程ax2+c=0有两个别相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个别相等的实根；

④若b=2a+c，则方程有两个别相等的实根．其中正确的有（C）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

解：①当x=1时，有若a+b+c=0，即方程有实数根了，∴△≥0，故错误；

②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0（1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0（2）

把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正确；

③方程ax2+c=0有两个别相等的实数根，则它的△=﹣4ac＞0，

∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有两个别相等的实数根．故正确；

④若b=2a+c则△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正确．

②③④都正确，故选C．

24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命题有（C）

①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个别相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个别相等的实根．

A．1个B．2个C．3个D．0个

解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根为1，又a≠0，则b2﹣4ac≥0，正确；

②由两根关系可知，﹣1×2=，整理得：2a+c=0，正确；

③若方程ax2+c=0有两个别相等的实根，则﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有两个别相等的实根，正确．

25．若对于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象别通过（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

26．已知向来角三角形的三边长为a，b，c，∠B=90°，这么对于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的事情为（D）

A．有两个相等的实数根B．有两个别相等的实数根C．没有实数根D．无法确定

二．填空题（共1小题）

27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．三．解答题（共13小题）

28．解下列方程

（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．

解：（1）原方程化为（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）=0解得x1=7，x2=﹣1；

（2）原方程整理，得x2﹣2x﹣1=0配方，得（x﹣1）2=2开平方，得．

29．解方程4（x﹣1）2=9解得x1=，x2=﹣．

30．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，依照那个规则：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；

（2）由题意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，（x+2）2=25，两边直截了当开平方得：x+2=±5，

x+2=5，x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．

31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．因此x1=，x2=﹣．

32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．解得：x1=，x2=．

33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．解得：，．

34．用适当的办法解下面的方程：

（1）（x﹣5）2﹣9=0（2）3x2﹣1=6x．

解得：x=8或x=2；x==．．

35．已知对于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．

（1）求a的值；（2）求方程的根．

解：（1）∵对于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的实数根．

∴a+3≠0，且△=a2﹣4（a+3）=（a﹣6）（a+2）=0，∴a=6或a=﹣2，

（2）由（1）知，a=6或a=﹣2，当a=6时，原方程可化为9x2﹣6x+1=0，

∴（4a﹣1）2=0，∴x1=x2=，当a=﹣2时，原方程可化为x2+2x+1=0，

∴（2a+1）2=0，∴x1=x2=﹣．

36．对于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一具根，求m的值及另一具根．

（2）当m为何值时方程有两个别同的实数根．

解：（1）将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2．

当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x1=﹣1，x2=2，∴方程的另一具根为2．（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0有两个别同的实数根，

∴，解得：m＞且m≠1，

∴当m＞且m≠1时，方程有两个别同的实数根．

37．已知对于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分不为△ABC三边的长．（1）假如x=﹣1是方程的根，试推断△ABC的形状，并讲明理由；

（2）假如方程有两个相等的实数根，试推断△ABC的形状，并讲明理由；

（3）假如△ABC是等边三角形，试求那个一元二次方程的根．

解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：当x=﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）=0，∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）=0，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等边