高数函数极限

高数函数极限第一页，共二十八页，2022年，8月28日使用数学语言进行描述,定义1.6可以写为：如果在定义1.6,

如果令

则有

设在点

的某个空心邻域内有定义,A为常数.存在点

的空心邻域第二页，共二十八页，2022年，8月28日的右极限与左极限.分别称为f(x)在点由定义1.6,

特别地,我们有下面两个简单的极限：第三页，共二十八页，2022年，8月28日例1证明不存在.左右极限存在但不相等,证所以,不存在.第四页，共二十八页，2022年，8月28日例2用定义验证:证因所以故而第五页，共二十八页，2022年，8月28日例3证明:当证因不妨设

由

所以

故

第六页，共二十八页，2022年，8月28日例4用定义验证:证因不妨设

于是故所以第七页，共二十八页，2022年，8月28日例5证明其中为常数.证即

当时,结论显然成立.令则

于是

所以

先证的情形.当时,令而同样有

第八页，共二十八页，2022年，8月28日

函数极限的性质与运算但所有的结果都可以平行推广到一般情况.

定理1.9(唯一性)本节主要针对的情形讨论极限的性质与运算,证反证法.若存在,则极限值是唯一的.于是为无穷小,与矛盾.则

都是无穷小.

第九页，共二十八页，2022年，8月28日定理1.10(局部有界性)

若存在,则在x0的某个空心邻域证设所以,在该空心邻域内有界.内有界.因为在点x0某空心邻域内有界,

第十页，共二十八页，2022年，8月28日定理1.11(局部保号性)

证只需证第一部分.

与A同号.不妨设1.设且因所以为无穷小.即于是第十一页，共二十八页，2022年，8月28日1.2.3极限的运算法则定理1.12(极限四则运算法则)

则有

证(1)则

设

第十二页，共二十八页，2022年，8月28日推论1如果即:常数因子可以提到极限记号外面.推论2如果所以(1)成立.于是第十三页，共二十八页，2022年，8月28日推论1.2(局部保序性)由定理1.11和定理1.12,立即有下面的推论

则在x0的某个空心邻域内有2.若在x0的某个空心邻域内有则则第十四页，共二十八页，2022年，8月28日有利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题：

对于的多项式函数第十五页，共二十八页，2022年，8月28日例6

求

解由函数商的极限法则,有第十六页，共二十八页，2022年，8月28日一般地,设

则商的法则不能使用.则当第十七页，共二十八页，2022年，8月28日解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例7

求

第十八页，共二十八页，2022年，8月28日解消去零因子法时,分子、分母的极限都是零.例8

求

第十九页，共二十八页，2022年，8月28日解时,分子、分母的极限都是无穷大,例9

求

分子、分母同时除以

x的最高次幂.第二十页，共二十八页，2022年，8月28日一般地,当第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日解先作恒等变形,使和式的项数固定,再求极限.和式的项数随着n在变化,原式不能用运算法则.方法:例10

求

第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日定理1.13(复合函数的极限运算法则)设且存在推论若则则复合函数时的极限也存在,且第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日证例11

证明:如果则由及复合函数的极限法则,有

有特别地,如果为多项式函数,且

第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日解原式例12

求

第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日

由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序,

在数列中任意得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列).

设在数列中,第一次抽取

第二次在后抽取抽取下去得到子数列

第三次在后抽取注意:

严格单调递增，显然有

无休止地第二十六页，共二十八页，2022年，8月28日如果数列收敛于A,

则它的任意子数列推论1.3(收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于A.证设是的任一子列.令显然有由定理1.13有第二十七页，共二十八页，2022年，8月28日如果推论1.4(函数极限与数列极限