《运动学和动力学》第八章 动能定理

第八章动能定理第八章动能定理【本章重点内容】动能、功和功率的概念;动能定理;动载荷问题;势力场的概念和机械能守恒定律.第八章动能定理§8-1力的功§8-2质点的动能定理§8-3质点系的动能定理§8-4功率和功率方程§8-5构件受冲击时的应力和变形计算§8-6势力场势能机械能守恒定律§8-1力的功第八章动能定理应用运动微分方程，是解决动力学问题的基本方法，但对于质点系要写出系统中每个质点的运动微分方程，再去积分，困难很大.动能定理，建立了物体动能的变化与作用于物体上力的功之间的关系，故又称功能法.§8-1

力的功§8-1

力的功功，表征力在一段路程上的累积效应，是能从一种形式转化为另一种形式的度量.1.常力的功设一物体在常力F作用下，沿直线运动，力F在运动方向的投影F·cosj与路程s的乘积，称为力F在路程s上所作的功，以W表示.即W=Fcosj

·s=Ft·s设有一物体M在变力作用下沿曲线运动，求此物体由点M1运动到点M2时变力F所作的功.2.变力的功将路程s分成无限多个微小段ds，ds近似地看作直线，其上的力近似看为常力，力在此微小段路程上所作的功称为元功，即dW=Fcosj

·ds=Ft·ds把所有的元功相加可得变力在路程中作的总功，即式中，j为力F与轨迹切线方向间的夹角.§8-1

力的功因此：变力在某一曲线路程上所作的功，等于这个力的切向分力沿这段曲线路程的积分.由于dr的大小等于ds，方向与曲线的切线一致，所以变力的元功又可写为

以矢量式表示这样，总功为§8-1

力的功

3.合力的功由合力投影定理，合力在切线方向的投影等于诸分力在同方向上投影的代数和.因此，合力的功为作用在物体上的诸力的合力在一段路程上所作的功，等于诸分力在同一段路程上所作的功的代数和.§8-1

力的功几种常见力的功（1）重力的功将P投影到各坐标轴上

Px=0，Py=0，Pz=－P重力功等于物体重量乘以初始位置和终了位置间的高度差，与运动轨迹形状和运动路程长短无关.重力功的表达式§8-1力的功重为P的物体，沿曲线从位置M1运动到位置M2，高度差为h，计算重力P在这段路程上所作的功.（2）弹性力的功弹簧一端固定，另一端与物体M相连，弹簧原长l0，刚度系数k（N/m）.计算物体从位置M1到M2弹性力对物体所作的功.取弹簧自然位置O为坐标原点，x轴和物体运动轨迹重合，x表示物体在任一位置M时的弹簧变形，则弹性力在x轴上的投影为

Fx=–kx§8-1

力的功O弹性力元功

dW=–kxdx弹性力所作的功弹性力的功等于弹簧始末位置变形量平方差与弹簧刚度系数乘积的一半.可以证明，物体作曲线运动时，弹性力的功也只决定于弹簧始末位置的变形量，而与物体运动轨迹无关.§8-1

力的功物体在力F的作用下，绕O轴转动，力F所作元功

dW=F·cosq

·ds=Ft·r·dj即dW=M·dj力矩的总功为当物体绕定轴转动时，作用在物体上的力所作的功等于该力对转轴之矩对物体转角的积分.

§8-1

力的功（3）力矩的功正负号规定：当力矩转向与物体转动方向相同时，此力矩功为正；反之为负.可以证明：绕定轴转动的物体，在多个力矩同时作用时，合力矩的功等于诸分力矩功的代数和.§8-1

力的功当力矩为常量时，则

W=±M·j例8-1一货箱质量m=300kg，沿斜板用力F向上拉到车厢上，货箱与斜板的摩擦因数f=0.5，斜板的倾角j=20o，汽车车厢高h=1.5m.问将货箱拉上车厢时，所消耗的功应为多少？解：（1）取货箱为研究对象，受重力mg，法向约束力FN，摩擦力Fs及绳索的拉力F

.§8-1

力的功摩擦力的功为消耗总功为§8-1

力的功（2）计算功重力功为

Wg=–mgh=–4415J§8-2质点的动能定理第八章动能定理§8-2

质点的动能定理质量为m的质点在力F（指合力）的作用下，沿曲线运动.根据动力学基本方程：两边投影于切线方向：或两边都乘以ds得因为，所以上式写成§8-2质点的动能定理但所以式中，称为质点的动能，它是一个恒正的标量.上式表明，质点动能的微分，等于作用在质点上的力的元功，这就是质点动能定理的微分形式.即在任一路程中质点动能的变化，等于作用在质点上所有的力在这段路程上所作的功.这就是质点动能定理的积分形式，又称功能法.

动能的单位与功的单位均为J.§8-2质点的动能定理得若点M在力F作用下，由M1运动至M2

，而速度由v0变为v，则积分上式例8-2在计算矿车的牵引力时，要考虑车轮轴承的摩擦力及车轮与轨道间的滚动摩擦所消耗的能量.

利用摩擦因数这一概念，即认为正压力FN与摩擦因数f的乘积等于所有摩擦阻力.为测定摩擦因数f，把矿车置于斜坡上的A点，让其无初速下滑，当它达到B点时，靠惯性又往前滑行一段路程而在C点停止.求摩擦因数f.已知s1，s2和h.§8-2质点的动能定理在AB段，重力的功为mg·h，因FN=mg·cosj，则

Fs=FN

·f=mg·f·cosj所以，摩擦阻力的功为–mg·f·cosj

·AB=–mgf·s1在BC段，重力不作功，FN=mg，则Fs=mg·f摩擦阻力的功为–mgf·s2

故总功为W=mgh–mgfs1–mgfs2§8-2质点的动能定理解：选矿车为研究对象，受力如图.根据动能定理得0–0=mgh–mgfs1–mgfs2故f·

(s1+s2)=h得§8-2质点的动能定理例8-3质量为m的物体以速度v0匀速下降，若钢绳上端突然被滑轮卡住，试求钢绳的最大拉力Fmax.设钢绳的刚度系数为k，钢绳的质量略去不计.解：（1）取物体为研究对象，受力如图所示（2）分析运动在钢绳未卡住之前，F=mg.

钢绳卡住后，钢绳变形增大，当物体的速度变为零时，钢绳获得最大变形.§8-2质点的动能定理（3）计算动能与功钢绳从卡住至最大变形，动能变化为重物匀速下降时，钢绳静变形l=mg/k.钢绳卡住后，用ld表示物体到达最低位置时钢绳增加的变形.弹性力功为重力功为

Wg=mg·ld=k·l·ld总功为§8-2质点的动能定理（4）根据动能定理所以钢绳最大变形式中，，称为动载荷系数.钢绳的最大拉力为Fmax=klmax=klKd=Kd·mg§8-2质点的动能定理§8-3质点系的动能定理第八章动能定理§8-3质点系的动能定理1.质点系的动能质点系内各质点动能的算术和，称为质点系的动能，以Ek表示.即

是一个恒正的标量.（1）平移刚体的动能刚体平移时，所有各点速度相等，则动能为可见：平移刚体的动能等于刚体的质量与其速度平方乘积的一半.即（2）绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动的刚体，任一质点速度vi=ri·w，动能为上式写成绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对转轴的转动惯量和角速度平方乘积的一半.§8-3质点系的动能定理由

例8-4链条传动机构如图所示.

大链轮的半径为R，对其转轴的转动惯量为J2，小链轮的半径为r，对其转动轴的转动惯量为J1，链条的质量为m，运动时链条的速度为v.试计算整个系统的动能.解：先求链条动能.

链条上各质点速度相等，故链条动能为§8-3质点系的动能定理大链轮的动能为小链轮的动能为§8-3质点系的动能定理整个系统的动能（3）平面运动刚体的动能刚体作平面运动时，可视为绕瞬心C'的转动，故式中，JC'是刚体对瞬时轴的转动惯量，是刚体的角速度.§8-3质点系的动能定理由于瞬心的位置不断变化，为了便于计算，取通过刚体的质心C并与瞬心轴平行的转轴，由平行轴定理

JC′

=JC＋md2代入上式，则得而d·w=vc，故有§8-3质点系的动能定理即平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.一车轮在地面上只滚动而不滑动.设质量分布在轮缘，则车轮动能为§8-3质点系的动能定理2.质点系动能定理一个由n个质点组成的质点系，对任一质点，根据质点动能定理对系内每一质点写出方程，并把这n个方程相加，得设有§8-3质点系的动能定理一般情况下，质点系内力作功总和不一定等于零.例如，两相互吸引的质点相向运动时，每个力的功都是正的，和不等于零.又如，汽车发动机汽缸中的气体的压力（对汽车来说是内力）、人骑自行车时脚对踏板的压力等.在任一过程中，质点系动能的变化，等于作用在质点系上所有的力在这个过程中所做的功的总和.这就是质点系动能定理.对于质点系来说，∑W12应是内力和外力作功的总和.§8-3质点系的动能定理对于刚体，由于任何两质点间的距离保持不变，所以刚体内力的功之和等于零；在许多情况下，约束力的功之和等于零.

合乎这个条件的约束称为理想约束.例如，光滑固定面，光滑圆柱铰链，不可伸长的绳索等；质点系动能定理又可表达为：在理想约束情况下，质点系在某一过程中动能的变化，等于作用于质点系上所有的主动力在这过程中作功的总和.

§8-3质点系的动能定理例8-5在卷扬机的主轴I上作用一不变力偶矩M，用以提升质量为m的重物，已知主动轴I和从动轴II的转动惯量分别为J1和J2（包括安装在轴上的齿轮和卷筒）；其传动比i=z2/z1

，卷筒半径为R.设轴承的摩擦及钢绳的质量略去不计.

求重物从静止开始上升一段距离h时的速度，并求其加速度.

§8-3质点系的动能定理（3）M为常量，功为Mj1，重力功为–mgh，轴承、钢绳等是理想约束，功之和等于零.因此，总功为解：（1）选整个系统为研究对象.

作用力有主动力偶矩M、重物的重力和轴承的约束力.（2）系统在初始位置的动能Ek1=0，上升h时动能为§8-3质点系的动能定理代入后有由§8-3质点系的动能定理（4）根据动能定理可得两边求导，注意到

得所以§8-3质点系的动能定理例8-6质量m=25kg，长l=2m的均质AB，一端铰接在支座A上，另一端与刚度系数k=200N/m的弹簧连接，弹簧上端与水平轨道上的小轮C铰接，它使弹簧保持铅直，杆在水平位置时有角速度w=3rad/s，弹簧未变形长度l0=0.6m，如图，求杆在停止转动前转过的角度q.

§8-3质点系的动能定理解：（1）选取杆AB为研究对象，杆AB作转动受到的主动力如图.

（2）杆在水平位置动能为

§8-3质点系的动能定理转过角q后动能Ek2=0.

（3）计算主动力作功重力功为总功为

W12=Wg+WF=5sinq

–400sin2q（4）根据动能定理

0–150=5sinq

–400sin2q解之得：q

=37.8°§8-3质点系的动能定理弹性力F的功为综上所述可知：动能定理建立了作用力的功和动能变化间的关系，适合解如下问题：已知作用力和系统的位置变化，求速度；或已知路程，速度变化，求主动力；也可求加速度；

约束力不作功，在约束力多的系统中用动能定理最方便；

动能定理是标量方程，不考虑方向，应用简便.

§8-3质点系的动能定理§8-4功率和功率方程第八章动能定理§8-4功率和功率方程1.功率功率就是在单位时间内力所作的功.由于元功可表示为dW=Ft·ds因此即力的功率等于力在作用点的轨迹的切线方向上的投影与作用点速度的乘积.

力矩元功为dW=M·dj

，因此即力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积.由此可知，功率一定时，如需要大的力和力矩，则需降低速度和转速.

功率的单位是J/s（焦耳/秒），称为瓦特，即1J/s=1W如果转速n的单位取r/min，转矩M的单位取N·m，功率P的单位取kW，则有或§8-4功率和功率方程例8-8一台10kw的电动机，转速为n=1440r/min，求它在额定功率时输出的转矩.

解：例8-7设提升重量2000kg的钢锭，提升速度v=0.166m/s.

问提升此钢锭所消耗的功率.

解：钢锭匀速上升，故提升钢锭所需的力为F=m·g=2000×9.8N=19600N

所需的功率为

P=F·v=3254W=3.25kW§8-4功率和功率方程

2.功率方程机器工作时，必须输入功；机器运转时，克服阻力要消耗功，以W入表示输入功，W有及W无表示有用阻力（如机床的切削阻力）及无用阻力（如摩擦力）所消耗的功，根据动能定理Ek2-Ek1=W入

-

W有

-

W无求导上式称功率方程.

当机器正常稳定运转时，通常为匀速，故此时，P入=P有+P无称为机器的功率平衡方程.

§8-4功率和功率方程P入-P有

-P无如果不考虑摩擦所消耗的功率，则P无=0.有P入=P有即M入·w入=M出·w出所以式中，i表示传动比（速比）.§8-4功率和功率方程3.效率有用功率对输入功率之比，称为机械效率.

以h

表示，.由于摩擦不可避免，故h

值总小于1.例8-9C618车床的主轴转速n=42r/min时，其切削力F=14.3kN，若工件直径d=115mm，电动机到主轴的机械效率h=0.76.

求此时电动机的功率为多少？解：切削力F的功率P切电动机的功率§8-4功率和功率方程P电例8-10图为一个两级圆柱齿轮减速箱的简图，由电动机带动.

电动机额定功率P=5.5kW，转速n入=720r/min.

已知z1=22，z2=77，z3=18，z4=81.现不考虑摩擦消耗的功率，求减速箱输出轴的转速n出和转矩M出.

§8-4功率和功率方程（2）机器等速运转，dEk/dt=0，忽略摩擦，所以P无=0，P入=P出.即而§8-4功率和功率方程解：（1）选减速箱为研究对象它所受的主动力矩为电动机驱动力矩M入和作用在III轴上的力矩M出.

其他力不作功.故§8-4功率和功率方程又故§8-5构件受冲击时的应力和变形计算第八章动能定理§8-5构件受冲击时的应力和变形计算例8-11物体从高度为h处自由落下，打在梁的中点，使梁受到冲击.

设物体的质量为m，梁的质量和物体质量相比很小，可忽略不计.

求物体对梁的冲击载荷Gd，梁在冲击过程中的最大变形ld与最大应力sd.

冲击现象在工程中是经常碰到的.

冲击载荷常常使物体产生很大的动应力.

举例说明.解：（1）选重物为研究对象它受重力和梁对重物的弹性力作用.

（2）分析运动重物在M1静止，在M1→M'匀加速运动，在M'→M2减速运动，在M2处速度为零.冲击过程极短，由加速度计算冲击力很困难.工程中通常采用能量法，本例采用动能定理.

§8-5构件受冲击时的应力和变形计算（3）根据动能定理公式有重物初瞬时v0和末瞬时v均为零，动能也等于零.

重力G的功为

Wg=G(h+ld)(a)§8-5构件受冲击时的应力和变形计算式中，k为梁的刚度系数.

简支梁中部在载荷G作用下产生的静挠度l为式中，E为弹性模量，I为截面的惯性矩，l为梁的长度.

因此和梁相当的弹簧刚度系数为弹性力F的功为(b)(c)§8-5构件受冲击时的应力和变形计算将功及动能代入式（a）中得故§8-5构件受冲击时的应力和变形计算由此求得即显然ld将大于静力作用下的变形，故应取正号，即则ld=Kd·l令式中，Kd称为动载荷系数，它说明冲击时产生的最大变形比静力作用下的变形增大的倍数.

(d)§8-5构件受冲击时的应力和变形计算弹性范围内，载荷与变形成正比，故可求得梁受的冲击载荷为

Gd=Kd·G冲击时梁的动应力为

sd=Kd·s式中，s为静应力.

（4）分析讨论当重物不是从某一高度降落到构件上，而是突然加在构件上，这种载荷称为突加载荷.

此时h=0，从式（d）中可以看出，Kd=2，梁内应力是静载应力的2倍.

从式（d）看出，静变形增大时，动载荷系数减小，工程中常用产生较大变形的弹簧来达到缓冲目的，如汽车大梁与车轴之间加上迭板弹簧.

§8-5构件受冲击时的应力和变形计算(d)§8-6势力场势能机械能守恒定律第八章动能定理§8-6势力场势能机械能守恒定律1.力场和势力场如果质点在某空间内的任一位置都受有一定大小和方向的力的作用，这样的空间称为力场.

质点在力场中所受的力称为场力.

如果质点在力场中运动时，场力所作的功只决定质点的起始和终了位置而与路径无关，则这种力场称为势力场.

例如重力场、万有引力场、弹性力场.

质点在势力场所受的力称为有势力或保守力.

例如重力、万有引力及弹性力.2.势能（位能）在势力场中，质点由某一位置M运动到选定的参考点M0的过程中，作用于质点上的有势力所作的功，称为质点在位置M相对于点M0的势能.

用Ep表示，有势能的物理意义：所谓质点具有势能，是说势力场中质点在势力作用下具有作功的潜在能力.

势能是相对的，它是相对参考点而言的.

一般情况下，参考点的势能设其等于零，通常称为势能零点.§8-6势力场势能机械能守恒定律几种常见的势力场势能（1）重力场势能在重力场的情形下，Gx=0，Gy=0，Gz=－G，因此将势能零点选在z0=0，上式写成§8-6势力场势能机械能守恒定律若质点系受到多个有势力作用，各有势力可有各自势能零点.

质点系从某位置到其各势能零点的运动过程中，各有势力作功的代数和称为该质点系在该位置的势能.

（2）弹性力场的势能选弹簧的自然位置O即x0=0为势能零点，质点在M位置时的势能为§8-6势力场势能机械能守恒定律3.机械能守恒定律设质点在势力场中从点M1运动到M2，由动能定理

Ek2–Ek1=W12因有势力作功与路径无关，可认为质点先从M1运动到势能零点M0，再运动到M2于是有W12=EP1–EP2即有势力所作的功等于质点在运动过程中的第一位置与第二位置的势能差.

还可得

Ek2–Ek1=

EP1–EP2或Ek1+EP1=

Ek2+EP2§8-6势力场势能机械能守恒定律

Ek2–Ek1=

EP1–EP2或Ek1+EP1=

Ek2+EP2质点的动能与势能之和称为机械能.

由上式可知：质点仅在有势力作用下运动时，其机械能保持不变.

这就是机械能守恒定律.

势力场又称为保守力场，有势力又称为保守力.

质点在非保守力作用下运动，机械能不再守恒.

例如摩擦力作功总是使机械能减少，但总能量仍然守恒，这是普遍形式的能量守恒定律.

机械能守恒定律是它的特殊情形.

以上所述，对质点系同样适用.

§8-6势力场势能机械能守恒定律例8-12均质杆AB的质量m=10kg，长l=0.4m，其两端铰接的滑块被分别限制在水平和铅直滑槽内运动，杆的B端与刚度系数k=800N/m的弹簧相连，当杆在水平位置时，弹簧为自然长度；当杆自q=30°的位置静止释放，求杆回到水平位置时的角速度.

滑块质量不计.

§8-6势力场势能机械能守恒定律（1）选杆为研究对象杆所受重力、弹性力均为有势力，槽是理想约束，约束力不作功.

可用机械能守恒定律.

（2）计算杆的动能设q=30°时为杆的起始位置.

当q=0°时，设杆角速度为w，此时杆上A点为瞬心，vC=(l/2)w

，动能为§8-6势力场势能机械能守恒定律解：（3）计算系统的势能取水平槽中心线为零势能线.弹簧伸长量l=l·sin30°，y=(l/2)·sin30°，在q

=30°，系统势能为在q

=0°，杆的势能EP2=0.（4）由机械能守恒定律Ek1+EP1=Ek2+EP2，得:w=4.82rad/s§8-6势力场势能机械能守恒定律第八章动能定理练8-1Yo-yo如图，质量为70g,角速度为100rad/s,惯性半径为rC

=

14mm，d=12mm.求Yo-yo能上升的高度.解：（1）取Yo-yo为研究对象（2）运动和力分析

Yo-yo作平面运动，设质心为C,A点为速度瞬心Yo-yo位置:此时为I位置；在最高处为II位置；重力mg,绳拉力FN第八章动能定理应用动能定理第八章动能定理取水平位置为零势能位置练8-2已知m，

JO，

k，水平位置平衡,OD=CD=b解:求若初速w0，任一瞬时摆的w与的关系.第八章动能定理