2022-2023学年广东省惠州市惠阳区凤凰山学校九年级（下）寒假收心数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠阳区凤凰山学校九年级（下）寒假收心数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．4．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（）A．开口方向不变 B．顶点不变 C．与x轴的交点不变 D．与y轴的交点不变5．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（）A．15 B．20 C．25 D．306．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+4407．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°8．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝09．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．10．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．如果抛物线y＝x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m＝．12．已知y＝（a﹣1）是反比例函数，则a＝．13．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为．14．设O为△ABC的内心，若∠A＝48°，则∠BOC＝°．15．如果同时掷两枚质地均匀的骰子，那么掷出两枚骰子的点数相同的概率是．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5），求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．17．如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．甲乙两人玩骰子，他们各自掷一枚骰子，对掷出的两个数进行某种运算，根据运算的结果来定胜负．但进行什么样的运算才公平，两人争论不休．后来他们提出了下面两个方案：①两数之和等于8时甲胜，两数之和等于9时乙胜；②两数之和大于8时甲胜，两数差的绝对值小于2时乙胜．请你用树形图分析这两个方案．这样的方案公平吗？如果不公平，试修改相应的规则，使游戏变得公平．19．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，6），B（﹣4，2），C（﹣1，2）（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请画出△A2BC2，并求出线段AB在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．20．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）连接AE，又知AC⊥ED，求证：AE2＝EF•ED．21．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．（1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？（3）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过5元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？22．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A点的坐标为（，0），点C、D分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于C、D两点，又OA＝OB＝AC＝BD．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）在y轴上是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的P点坐标（不用写出计算过程）；若不存在，请说明理由．23．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．25．如图，在扇形OAB中，OA的长为2，∠AOB＝90°，点C为弧AB的中点，点D、G分别在半径OA、OB上，点E、F在弧AB上，四边形DEFG为矩形，联结OE、OF．（1）求证：△GOF≌△DOE；（2）设DO＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域；（3）连接FD，当∠FDO的正切值为3时，求DO的长．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有C．故选：C．【点评】本题考查中心对称图形，正确记忆中心对称的概念是解题关键．2．若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，∴m＝2，m﹣n＝﹣3，解得：n＝5，则点M（m，n）即（2，5）在第一象限．故选：A．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【分析】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得到一个关于a的方程，求出方程的解即可．解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故选：C．【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能得到方程a2﹣1＝0是解此题的关键．4．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，下列结论中，正确的是（）A．开口方向不变 B．顶点不变 C．与x轴的交点不变 D．与y轴的交点不变【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确．B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，顶点的横坐标不变，纵坐标改变，故错误；C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，形状不变，顶点改变，与x轴的交点改变，故错误．D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移2个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．5．在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（）A．15 B．20 C．25 D．30【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：由题意可得，×100%＝25%，解得，a＝15，经检验：a＝15是原分式方程的解，所以a＝15，故选：A．【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．7．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出∠CAE，然后求出∠DAB＝∠CAE，从而得解．解：∵CE∥AB，∴∠ACB＝∠CAB＝75°，∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝180°﹣70°×2＝40°，∵∠CAE+∠CAD＝∠DAE，∠DAB+∠CAD＝∠BAC，∴∠DAB＝∠CAE＝40°．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出∠DAB＝∠CAE是解题的关键．8．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2﹣x﹣1＝0【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解：A、这里a＝1，b＝0，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a＝1，b＝1，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选：D．【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．9．已知反比例函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2﹣2x和一次函数y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】先根据抛物线y＝ax2﹣2x过原点排除A，再反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y＝bx+a的位置关系，进而得解．解：∵当x＝0时，y＝ax2﹣2x＝0，即抛物线y＝ax2﹣2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2x的对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＜0时，b＜0，直线y＝bx+a经过第二、三、四象限，故B错误，C正确．故选：C．【点评】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．10．如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1 B．π+2 C．π﹣1 D．π﹣2【分析】根据对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，求出圆内接正方形的边长，即可求解．解：连接AO，DO，∵ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，AD＝＝2，圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积＝[4π﹣（2）2]＝（π﹣2）cm2．故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的面积公式、扇形的面积公式等知识，解题的关键是利用对称性可知阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的，也可以用扇形的面积减去三角形的面积计算，属于中考常考题型．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．如果抛物线y＝x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，那么m＝﹣1．【分析】直接利用二次函数的性质得出m+1的值，进而得出答案．解：∵抛物线y＝x2+m+1的顶点是坐标轴的原点，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．12．已知y＝（a﹣1）是反比例函数，则a＝﹣1．【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解．解：根据题意，a2﹣2＝﹣1，a＝±1，又a≠1，所以a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了反比例函数的定义和解方程，涉及的知识面比较广．在反比例函数解析式的一般式（k≠0）中，特别注意不要忽略k≠0这个条件．13．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为13．【分析】利用因式分解法解方程得到x1＝4，x2＝9，再利用三角形三边的关系得到x＝4，然后计算三角形的周长．解：（x﹣4）（x﹣9）＝0，x﹣4＝0或x﹣9＝0，所以x1＝4，x2＝9，因为3+6＝9，所以第三边长为4，所以三角形的周长为3+6+4＝13．故答案为13．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．14．设O为△ABC的内心，若∠A＝48°，则∠BOC＝114°．【分析】利用内心的定义，OB，OC都是角平分线，因此可求出∠OBC与∠OCB的和，从而得到∠BOC的度数．解：∵O是△ABC的内心，∴OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝＝66°，∴∠BOC＝180°﹣66°＝114°．故答案为：114；【点评】此题主要考查了三角形的内心性质，理解三角形内心的定义，记住三角形内角和定理是解题的关键．15．如果同时掷两枚质地均匀的骰子，那么掷出两枚骰子的点数相同的概率是．【分析】列表可知，共有36种等可能的结果，两枚骰子的点数相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．解：列表如下：1234561（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由表知，共有36种等可能结果，其中两枚骰子的点数相同的有6种结果，所以两枚骰子的点数相同的概率为＝．故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5），求该二次函数的解析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标y＝x2+2x﹣3；对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【分析】根据待定系数法求抛物线代解析式即可．解：把点A（﹣3，0）、点B（0，﹣3）和点C（2，5）代入二次函数y＝ax2+bx+c中，得，解得∴抛物线代解析式为y＝x2+2x﹣3，化为顶点式为y＝（x+1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．故答案为：y＝x2+2x﹣3；对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了用待定系数法求抛物线代解析式，掌握待定系数法和顶点坐标的求法是解题的关键．17．如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为45°或135°．【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE＝EC，∵将边BC绕着点C旋转，∴BC＝CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝BC＝BE，∴∠AEB＝75°，∴∠AEC＝75°+60°＝135°；当点E'在BC的下方时，同理可得△BE'C是等边三角形，∴BC＝BE'，∠BE'C＝60°＝∠CBE'，∴∠ABE'＝150°，∵AB＝BC＝BE'，∴∠AE'B＝15°，∴∠AE'C＝45°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．三、解答题：第18，19，20小题6分，第21，22，23小题8分，第24，25小题10分。18．甲乙两人玩骰子，他们各自掷一枚骰子，对掷出的两个数进行某种运算，根据运算的结果来定胜负．但进行什么样的运算才公平，两人争论不休．后来他们提出了下面两个方案：①两数之和等于8时甲胜，两数之和等于9时乙胜；②两数之和大于8时甲胜，两数差的绝对值小于2时乙胜．请你用树形图分析这两个方案．这样的方案公平吗？如果不公平，试修改相应的规则，使游戏变得公平．【分析】分别求出方案①和方案②中甲、乙获胜的概率，即可求解．解：方案①不公平，方案②不公平，理由如下：由题意可得，树形图如下：掷两枚骰子共有36个等可能结果，“两数之和为8”有5种结果，（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）“两数之和为9”有4种结果，（4，5），（5，4），（3，6），（6，3）；“两数和大于8”有10种结果，（3，6），（6，3），（4，6），（6，4），（5，6），（6，5），（4，5），（5，4），（5，5），（6，6）“两数差的绝对值小于2”有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，3），（3，4），，（4，5），（5，6），（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（6，5）共16种结果．设事件A：“两数之和等于8”；事件B：“两数之和等于9”．，∵P（A）≠P（B），∴方案①不公平．设事件C：“两数之和大于8”；事件D：“两数差的绝对值小于2”．．∵P（C）≠P（D），∴方案②不公平．使得游戏公平，需要确保甲乙两人获胜的概率相等，两数之和为偶数的情况有18种，两数之和为奇数的情况也有18种，则两数之和为偶数，两数之和为奇数的概率都为，则可将规则改为：两数之和为偶数时甲胜，两数之和为奇数时乙胜．【点评】此题考查了树状图法求解概率，解题的关键是掌握树状图法求概率的方法．19．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣1，6），B（﹣4，2），C（﹣1，2）（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请画出△A2BC2，并求出线段AB在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．【分析】（1）分别画出A、B、C关于y轴对称点即可解决问题．（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，只要分别画出A2、C2即可，再根据线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝计算即可．解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1图象如图1所示．（2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2图象如图2所示，线段AB在旋转过程中扫过的图形面积＝＝•π•52＝．【点评】本题考查旋转变换、轴对称变换、扇形的面积等知识，解题的关键是正确画好图形，记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．20．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE与对角线AC交于点F，FG∥AD，且FG＝EF．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）连接AE，又知AC⊥ED，求证：AE2＝EF•ED．【分析】（1）先证明△CFG∽△CAD，得＝．同理：＝，则AD＝AB，可得结论；（2）证明△DHE∽△AFE，则，由EH＝AE代入可得结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∵FG∥AD，∴△CFG∽△CAD，∴＝．同理：＝，∴＝．∵FG＝EF，∴AD＝AB，∴四边形ABED是菱形．（2）连接BD，与AE交于点H，如图所示．∵四边形ABED是菱形，∴EH＝AE，BD⊥AE，∴∠DHE＝90°．同理：∠AFE＝90°，∴∠DHE＝∠AFE．又∵∠AED是公共角，∴△DHE∽△AFE，∴，∴＝EF•ED．【点评】本题考查了菱形的判定、三角形相似的性质与判定，熟练掌握有一组邻边相等的平行四边形是菱形是本题的关键．21．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆．市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆．（1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？（3）为了让利给顾客，该花店决定每盆花卉涨价不超过5元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？【分析】（1）利用题意得出关于x的分式方程，解得x的值并检验和作答即可；（2）设该花卉每盆售价是a元，由题意得关于a的一元二次方程，解得x的值并根据销量尽可能大得出答案即可；（3）设该花卉一天的利润是w元，每盆售价是a元，根据题意得出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质及问题的实际意义得出答案即可．解：（1）设该花卉每盆批发价是x元，由题意得：＝﹣20，解得：x＝20，经检验x＝20是原方程的解．答：该花卉每盆批发价是20元．（2）设该花卉每盆售价是a元，由题意得：（a﹣20）[25﹣（a﹣25）]＝200，化简得：a2﹣70a+1200＝0，解得：a1＝30，a2＝40，∵销量尽可能大，∴a＝30．答：该花卉每盆售价是30元．（3）设该花卉一天的利润是w元，每盆售价是a元，由题意得：w＝（a﹣20）[25﹣（a﹣25）]＝﹣a2+70a﹣1000＝﹣（a﹣35）2+225．∵每盆花卉涨价不超过5元，25≤a≤30．∵a≤35时，w随x的增大而增大，∴当a＝30时，w有最大值为200．答：该花卉一天最大的销售利润是200元．【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．22．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A点的坐标为（，0），点C、D分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于C、D两点，又OA＝OB＝AC＝BD．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）在y轴上是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的P点坐标（不用写出计算过程）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作CE⊥x轴于E，由OA＝OB可知△ACE是等腰直角三角形，OA＝OB，且A（，0），则B（0，﹣）代入一次函数的解析式为y＝kx+b可求直线AB的解析式，由AC＝，可求AE＝CE＝1，故C（1+，1），代入反比例函数的解析式为可求反比例函数的解析式；（2）过C点作CP⊥y轴，或过c点作CP⊥AC，交y轴于P′，根据等腰直角三角形的性质可求满足条件的P点坐标．解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为（m≠O），∵OA＝OB，A（，0），∴B（0，﹣），∴可得：，解得：，∴y＝x﹣，作CE⊥x轴于E，则△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝sin45°＝1，∴C（1+，1），∴，解得m＝1+，∴；（2）存在，P点坐标分别是（0，1）或（0，2+）．【点评】本题考查了点的坐标的求解与一次函数、反比例函数关系式的确定方法．运用待定系数法是解题的关键．23．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC＝AE，∴点A是△BCE的外心，∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，∴∠CBE＝30°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．（3）结论：EF＝AF+BF．理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFE＝60°，∵FT＝FC，∴△CFT是等边三角形，∴CF＝CT，∠FCT＝60°，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴EF＝FT+ET＝BF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；（2）先求出点M，点D坐标，由MD＝可列等式，可求a的值，即可求解；（3）通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO＝∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．解：（1）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），∴抛物线的的对称轴是直线x＝﹣＝，∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，∴点B（4，0）；（2）当x＝时，y＝a﹣a﹣4a＝﹣a，∴点M（，﹣a），∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），与y轴交于点C，∴点C（0，﹣4a），又∵点B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，∴点D（，﹣a），∵MD＝，∴＝﹣a+a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）如图，∵点B（4，0），点A（﹣1.0），点C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠CAO＝∠BCO，∵∠CFB＝∠BCO，∴∠CAO＝∠CFB，∴点A，点C，点B，点F四点共