2022-2023学年广东省东莞市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市九年级第一学期期末数学试卷一、解答题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（）A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝95．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60° B．50° C．80° D．100°7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（）A．34° B．36° C．44° D．70°8．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y39．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠110．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．8a+c＝0二、填空题（每小题3分，共15分）11．点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为．12．在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是个．13．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为．14．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝．15．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的和弦AB所围成的弓形面积等于．三、解答题（每小题8分，共24分）16．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．18．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．四、解答题（每小题9分，共27分）19．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．21．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．五、解答题（每小题12分，共24分）22．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线；（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△PAO＝2S△PCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．

参考答案一、解答题（每小题3分，共30分）1．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．解：A、是中心对称图形，故A不符合题意；B、是中心对称图形，故B不符合题意；C、不是中心对称图形，故C符合题意；D、是中心对称图形，故D不符合题意．故选：C．2．“小明经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯”，这个事件是（）A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．确定事件【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件．故选：A．3．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2是顶点式，∴顶点坐标是（1，2）．故选：C．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：C．5．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（）A．k＜2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＞﹣2【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限，得出k﹣2＜0，即可得出结果．解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k﹣2＜0，∴k＜2，故选：A．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60° B．50° C．80° D．100°【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝100°，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，故选：C．7．如图，△ABC中，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°，得到△AB′C′，则∠BAC′的度数为（）A．34° B．36° C．44° D．70°【分析】根据∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB计算即可解决问题．解：∵∠CAC′＝70°，∠CAB＝36°，∴∠BAC′＝∠CAC′﹣∠CAB＝70°﹣36°＝34°，故选：A．8．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝＝2，y2＝＝6，y3＝＝﹣3，∵﹣3＜2＜6，∴y3＜y1＜y2，故选：C．9．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k＞2 C．k＜2且k≠1 D．k＞2且k≠1【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴，解得：k＜2且k≠1．故选：C．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）A．abc＞0 B．b＝2a C．9a+3b+c＜0 D．8a+c＝0【分析】由抛物线的开口向下，对称轴﹣＝1，抛物线交y轴的正半轴，判断a，b、c与0的关系，得到b＝﹣2a，abc＜0，即可判断A、B；根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断C；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0）以及b＝﹣2a，得到4a+4a+c＝0，即可判断D．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为（1，﹣4）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．解：点A（﹣1，4）与点B关于原点对称，则B的坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．12．在一个不透明的袋子里装有红球6个，黄球若干个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中黄球的个数可能是14个．【分析】设袋子中黄球的个数可能有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．解：设袋子中黄球的个数可能有x个，根据题意得：＝0.3，解得：x＝14，经检验x＝14是原方程的解，答：袋子中黄球的个数可能是14个．故答案为：14．13．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为2023．【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2﹣m＝1，然后利用整体代入的方法计算．解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴m2﹣m+2022＝1+2022＝2023．故答案为：2023．14．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝6．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出结论即可．解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，故答案为：6．15．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的和弦AB所围成的弓形面积等于2π﹣4．【分析】直接利用阴影部分所在扇形减去所在三角形面积即可得出答案；解：由题意得，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×2×4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．三、解答题（每小题8分，共24分）16．解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．【分析】利用公式法求解即可．解：∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝25+12＝37＞0．∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，求点A到A2所经过的路径长．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．再利用弧长公式求解即可．解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求（2）如图所示△A2B2C2即为所求．点A到A2经过的路径长．18．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意，得3（1+x）2＝3.63，解一元二次方程即可；（2）假设保持相同的月平均增长率，求出2022年的销量，然后比较即可．解：（1）设月平均增长率为x，根据题意，得3（1+x）2＝3.63，解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．（2）假设保持相同的月平均增长率，那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：3.63×（1+10%）＝3.63×1.1＝3.993（万件），∵3.993＜4，∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．四、解答题（每小题9分，共27分）19．从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，5，5，6．（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是6的概率为；（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是6的概率为；故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种，则抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为65°；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°，故答案为：65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，∴AF＝＝4．21．已知：如图，两点A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式．（2）求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式kx+b≥的解集．【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m＝﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n＝2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）先求出直线y＝﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算；（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．解：（1）∵A（﹣4，2）在上，∴m＝﹣4×2＝﹣8．∴反比例函数的解析式为．∵B（n，﹣4）在上，∴n＝2，∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴，解之得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC＝2．∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝＝6；（3）由图可得，不等式kx+b≥的解集为x≤﹣4或0＜x≤2．五、解答题（每小题12分，共24分）22．如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，AD平分角∠BAC交⊙O于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD，CD．（1）求证：BD＝CD；（2）求证：直线DE是⊙O的切线；（3）若DE＝，AB＝4，求AD的长．【分析】（1）由角平分线定义得出∠CAD＝∠BAD，即可得出结论；（2）连接半径OD，则OD＝OA，得出∠OAD＝∠ODA，由∠EAD+∠ADE＝90°，∠EAD＝∠BAD，得出∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°，即可得出结论；（3）过点D作DF⊥AB于F，则DF＝DE＝，由勾股定理得出OF＝＝1，易证△OBD是等边三角形，得出OF＝FB＝1，AF＝AB﹣FB＝3，由勾股定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵在⊙O中，AD平分角∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴BD＝CD；（2）证明：连接半径OD，如图1所示：则OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，∴∠EAD+∠ADE＝90°，由（1）知∠EAD＝∠BAD，∴∠BAD+∠ADE＝90°，即∠ODA+∠ADE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）解：过点D作DF⊥AB于F，如图2所示：则DF＝DE＝，∵AB＝4，∴半径OD＝2，在Rt△OD