2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷（解析版）

2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．（3分）﹣2022的相反数是（）A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣2．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．5a3﹣4a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6 C．a9÷a3＝a3 D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠25．（3分）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣26．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（）A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm27．（3分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）A．﹣＝4 B．﹣＝4 C．﹣＝0 D．﹣＝48．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣39．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝．12．（3分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，其中“14.12亿”用科学记数法表示为．13．（3分）下列说法中：①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为；②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖；③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明甲同学的数学成绩比乙同学的数学成绩稳定；④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式；其中不正确的有（只填序号）．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是．16．（3分）如图，正方形ABCB，中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4……，依此规律，则线段A2021A2022＝．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）17．（9分）（1）计算：3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°；（2）化简求值：（1+）÷其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．18．（9分）今年2﹣4月某市出现了100名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为；（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位轻症重症危重症类型患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．19．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）20．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C（3，m）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，与Bx轴正半轴交于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．21．（9分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．22．（8分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销告该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？23．（10分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：①的值为；②直线AE与DF所夹锐角的度数为；（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为．24．（11分）如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．（3分）﹣2022的相反数是（）A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣【分析】根据相反数的定义直接求解．【解答】解：﹣2022的相反数是2022，故选：C．【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．2．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其左视图是（）A． B． C． D．【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．3．（3分）下列运算正确的是（）A．5a3﹣4a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6 C．a9÷a3＝a3 D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、5a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；B、（﹣a2b3）2＝a4b6，故B符合题意；C、a9÷a3＝a6，故C不符合题意；D、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0且x﹣2≠0，解得x≥﹣2且x≠2．故选：D．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．5．（3分）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由﹣2x﹣3≤1，得：x≥﹣2，由﹣1≤，得：x≤2a+2，∵不等式组无实数解，∴2a+2＜﹣2，解得a＜﹣2，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（）A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm2【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°．由AC＝10mm，得CD＝5mm．cos∠BCD＝＝，即，解得a＝10，这个正六边形的面积6××10×5＝150（mm2），故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，7．（3分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（）A．﹣＝4 B．﹣＝4 C．﹣＝0 D．﹣＝4【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，依题意得：﹣＝4．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．【解答】解：连接AD，OE，作OH⊥AE于H，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，在Rt△AOH中，OA＝2，∴OH＝×OA＝，AH＝cos30°×OA＝3，∴AE＝2AH＝6，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝−×6×＝4π﹣3．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．9．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（）A． B． C． D．【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝8，∴S△ADE＝16，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，∴•（AF+DF）•BF＝16，∴•（6+DF）×4＝16，∴DF＝2，∴DB＝＝＝2，设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，∴2h＝4×2，∴h＝，故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象．【解答】解：∵AD＝，∴AB＞AD，∴点P先到D，当0≤t＜13时，过点P作PH⊥AB于H，则，∴PH＝，∴，∴图象开口向上，∴A，C不符合题意，当18＜t＜31时，点P在BC上，∴，只有D选项符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查动点问题求面积，关键是要根据动点在不同的线段上分情况讨论，依次来确定对应的分段的函数的图象．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝xy（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），故答案为：xy（x+1）（x﹣1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．（3分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，其中“14.12亿”用科学记数法表示为1.412×109．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109．故答案为：1.412×109．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．13．（3分）下列说法中：①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为；②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖；③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明甲同学的数学成绩比乙同学的数学成绩稳定；④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式；其中不正确的有②③（只填序号）．【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，逐一判断即可解答．【解答】解：①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故①正确；②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次不一定有1次中奖，故②不正确；③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明乙同学的数学成绩比甲同学的数学成绩稳定，故③不正确；④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，故④正确；所以，上列说法中，其中不正确的有：②③，故答案为：②③．【点评】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为．【分析】连接CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝6，则利用勾股定理可计算出AD＝8，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△DEC中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：连接CE，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝6，在Rt△ACD中，AD＝＝＝8，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△DEC中，x2+62＝（8﹣x）2，解得x＝，即DE的长为．故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝12，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝12，∴AB＝BC＝AC＝12，∠ABD＝∠CBD，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠CBD＝30°，∵PE⊥BC，∴PE＝PB，∴MP+PB＝PM+PE，∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，∵AM＝4，∴MC＝8，∵sin∠ACB＝＝，∴ME＝4，∴MP+PB的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将MP+PB转化为PM+PE是解题的关键．16．（3分）如图，正方形ABCB，中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4……，依此规律，则线段A2021A2022＝2×．【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求出AA1＝2，A1A2＝2×，A2A3＝2×，从而发现规律解决问题．【解答】解：在Rt△AA1B1中，∵∠B1AA1＝30°，AB1＝，∴AA1＝2，A1B1＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠B2A1A2＝30°，A1B2＝1，∴A2B2＝，A1A2＝2×，同理，A2A3＝2×，依此，可得规律，A2021A2022＝2×．故答案为：2×．【点评】本题主要考查了规律型：图形变化类，含30°角的直角三角形的性质等知识，从特殊到一般寻找规律是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）17．（9分）（1）计算：3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°；（2）化简求值：（1+）÷其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（1）3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°＝+1+2﹣﹣3×＝1+2﹣＝1+；（2）（1+）÷＝•＝•＝•＝﹣4（a﹣3）＝﹣4a+12，∵a与2，3构成三角形的三边，∴1＜a＜5，∵a为整数，∴a＝2，3或4，∵a≠2，a≠3，∴当a＝4时，原式＝﹣4×4+12＝﹣16+12＝﹣4．【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（9分）今年2﹣4月某市出现了100名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为54°；（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位轻症重症危重症类型患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．【分析】（1）用360°乘以重症对应百分比即可；（2）先求出轻症患者、重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；（3）根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D患者概率的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为360°×15%＝54°，故答案为：54°；（2）轻症患者的人数为100×80%＝80（人），重症患者的人数为：100×15%＝15（人），危重症患者的人数为：100﹣80﹣15＝5（人），∴所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）．（3）列表得：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由列表格可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，∴P（恰好选中B、D）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．19．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）【分析】（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形cos∠BMH＝＝＝0.4，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．20．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C（3，m）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，与Bx轴正半轴交于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．【分析】（1）用待定系数法即可求解．（2）过C点作CE⊥x轴于E，过P点作PF⊥x轴于F，先证△DPF∽△DCE，可得，结合已知条件可求出PF的长，即P点纵坐标，代入反比例函数解析式，可得点P坐标，进而求出直线CD的解析式，从而求得点D的坐标，用△COD的面积减去△DOP的面积即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0），∴﹣3k1+6＝0，解得k1＝2，∴一次函数的解析式为y1＝2x+6．∵一次函数y1＝2x+6的图象过点C（3，m），∴m＝12，∴点C的坐标为（3，12）．∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C，∴k2＝36．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）过C点作CE⊥x轴于E，过P点作PF⊥x轴于F，∴CE∥PF，∴△DPF∽△DCE，∴，∵PD：CP＝1：2，即PD：CD＝1：3，∴CE＝3PF，∵CE＝12，∴PF＝4，∴P（9，4），设直线CD的解析式为y＝ax+b，把C（3，12），P（9，4）代入，得，解得．∴直线CD的解析式为y＝x+16．令y﹣0，得x＝12，∴D（12，0），即OD＝12，∴S△COP＝S△COD﹣S△DOP＝×12×12﹣×12×4＝48．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，要熟练掌握用待定系数法求解析式．21．（9分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．【分析】（1）连接OC，OD，由等腰三角形的性质证得∠COE＝∠DOE，根据全等三角形判定证得△COE≌△DOE，得到∠OCE＝∠ODE，即可证得CE为⊙O的切线；（2）过D作DF⊥CE于F，由（1）知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到OE＝＝＝5，根据三角形的面积公式得到CP＝，求得CD＝2CP＝，根据勾股定理得到PE＝＝＝，根据切线的性质得到DE＝CE＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）连接OC，OD，∵OC＝OD，AB⊥CD，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线；（2）解：过D作DF⊥CE于F，由（1）知，∠OCE＝90°，在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，∴OE＝＝＝5，∵AB⊥CD，∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，∴3×4＝5CP，∴CP＝，∵OC＝OD，AB⊥CD，∴CP＝DP，∴CD＝2CP＝，在Rt△CPE中，PE＝＝＝，∵CE，DE是⊙O的切线，∴DE＝CE＝4，∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，∴4DF＝×，∴DF＝，在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．22．（8分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销告该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（500﹣10x）＝8000，解得：x1＝10或x2＝30，∵要尽可能减少库存，∴x2＝30不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高10元，答：T恤的销售单价应提高10元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（500﹣10x），＝﹣10x2+400x+5000，＝﹣10（x﹣20）2+9000，∴当x＝20时，M最大值＝9000元，∴销售单价：40+20＝60（元），答：当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元．【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式．23．（10分）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：①的值为；②直线AE与DF所夹锐角的度数为30°；（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为或．【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．【解答】（1）解：如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，∴cos∠ABD＝，如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，∴∠DBF＝∠ABE＝90°，∴△FBD∽△EBA，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOB＝∠AOF，∴∠DBA＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，故答案为：，30°；（2）结论仍然成立，理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，∴∠ABE＝∠DBF，又∵，∴△ABE∽△DBF，∴，∠BDF＝∠BAE，又∵∠DOH＝∠AOB，∴∠ABD＝∠AHD＝30°，∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，∵AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，∴BE＝2，AD＝4，DB＝