2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省梅州市丰顺县潭江中学九年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．一元二次方程2x2﹣x＝1的一次项系数和常数项依次是（）A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和32．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜04．下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件6．若将抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）7．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．8．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣99．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A． B． C． D．以上答案均不正确10．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（）A．25° B．45° C．55° D．75°二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．方程x2＝1的解是．12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为．13．二次函数y＝3x2﹣6x﹣3图象的对称轴是．14．用配方法将方程x2﹣4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则＝．15．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．16．有5张正面分别写有数字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a．抽取后不放回，再从中抽取一张，记卡片上的数字为b，则抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的概率为．17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为．三、解答题：第18，19.20小题5分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．（1）（x﹣5）2﹣9＝0（2）x2+4x﹣2＝019．解方程：2x2﹣4x+1＝0．20．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．21．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．22．在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．（1）写出C点的坐标；（2）求△ABC的面积．23．如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，设∠ACB＝α．（1）用含α的代数式表示∠BFD．（2）如图2，若FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG，求证：△BDE≌△FDG．（3）在（2）的条件下，如图3，当AD为⊙O的直径，的长为2时，求的长．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．一元二次方程2x2﹣x＝1的一次项系数和常数项依次是（）A．﹣1和1 B．﹣1和﹣1 C．2和﹣1 D．﹣1和3【分析】首先把1从等号右边移到等号左边，再确定一次项系数和常数项．解：2x2﹣x＝1，移项得：2x2﹣x﹣1＝0，一次项系数是﹣1，常数项是﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．解：x2+bx﹣2＝0，Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，∵不论b为何值，b2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．解：∵a＝1，b＝p，c＝q，∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，故选：A．【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．4．下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据确定圆的条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；②圆中最长弦是直径，是真命题；③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；④三角形只有一个外接圆，是真命题；故选：C．【点评】此题考查了真命题与假命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件 C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．解：事件A、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．故选：D．【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．若将抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，2）【分析】先配方得到y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，则抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为（1，0），然后把点（1，0）沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位得到点（0，﹣2）．解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为（1，0），∵抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，∴平移后得抛物线的顶点坐标为（0，﹣2）．故选：B．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．7．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．【分析】由旋转的性质得出BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'＝60°，得出∠BEA＝90°，设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，求出，可求出答案．解：∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°，∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∴∠CBC'＝60°，∴∠ABA'＝60°，∴∠BEA＝90°，设CE＝a，则BE＝a，AE＝3a，∴，∴，∴△ABE与△ABC的面积之比为．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．8．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．若四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（）A． B． C． D．以上答案均不正确【分析】设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，分别表示出四个三角形的面积，再根据四边形两对角线分割成的四个三角形中相对的两个三角形面积之积相等列出方程，即可解出r．解：设△DOA的内切圆半径为r，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为L，则S△AOB＝L•3＝L，S△BOC＝L•4＝2L，S△COD＝L•6＝3L，S△DOA＝Lr，∵S△AOB•S△COD＝S△COB•S△DOA，∴L•3L＝2L•Lr，∴r＝．故选：A．【点评】本题主要考查了三角的内切圆与内心性质、四边形面积蝴蝶定理的应用．知道三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半、熟悉四边形蝴蝶定理是解答本题的关键．10．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝65°，则∠BCD的度数为（）A．25° B．45° C．55° D．75°【分析】首先连接AD，由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，继而求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得答案．解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝65°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝25°，∴∠BCD＝∠A＝25°．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．方程x2＝1的解是±1．【分析】因为x2＝1，从而把问题转化为求1的平方根．解：∵x2＝1∴x＝±1．【点评】解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．12．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为13．【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为6，然后计算三角形的周长．解：x2﹣8x+12＝0，（x﹣2）（x﹣6）＝0，x﹣2＝0或x﹣6＝0，所以x1＝2，x2＝6，而2+2＝4＜5，所以三角形第三边长为6，此时三角形的周长为2+5+6＝13．故答案为13．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．13．二次函数y＝3x2﹣6x﹣3图象的对称轴是直线x＝1．【分析】直接利用对称轴公式可求得对称轴．解：对称轴是直线x＝＝1，即直线x＝1．故答案为：直线x＝1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键．14．用配方法将方程x2﹣4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式（m、n为常数），则＝1．【分析】根据配方法即可求出答案．解：∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴m＝﹣2，n＝3，∴原式＝1，故答案为：1【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．15．一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．解：∵从袋中任意摸出一个球共有6种等可能结果，其中摸出的球是红球的有4种结果，∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．16．有5张正面分别写有数字﹣3、﹣1、2、3、4的卡片，5张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a．抽取后不放回，再从中抽取一张，记卡片上的数字为b，则抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的概率为．【分析】从这5个数中找到抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的结果数，再依据概率公式计算可得．解：如图所示：在这5张卡片中随机抽取一张，抽取后不放回，再从中抽取一张，共有20种等可能结果，其中抽取的数字a、b能使一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限的有6种情况，∴符合条件的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了一次函数图象与性质．17．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时，α的值为50°或65°或80°．【分析】分三种情形讨论①如图1中，当AC＝AP时，②如图2中，当PC＝PA时，③如图3中，当CA＝CP时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠OAC＝∠ACO＝25°，∠COB＝50°，∠AOC＝130°．①如图1中，当AC＝AP时，在△AOC和△AOP中，，∴△AOC≌△AOP（SSS），∴∠AOC＝∠AOP＝130°，∴α＝∠POB＝50°．②如图2中，当PC＝PA时，同理可证△OPA≌△OPC，∴∠POA＝∠POC＝（360°﹣∠AOC）＝115°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝65°．③如图3中，当CA＝CP时，同理可证△COA≌△COB，∴∠COP＝∠AOC＝130°，∴α＝∠POB＝∠POC﹣∠COB＝80°故答案为：50°或65°或80°．【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题：第18，19.20小题5分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．（1）（x﹣5）2﹣9＝0（2）x2+4x﹣2＝0【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案；解：（1）∵（x﹣5）2﹣9＝0，∴（x﹣5）2＝9，∴x﹣5＝±3，∴x1＝8，x2＝2．（2）∵x2+4x﹣2＝0，∴x2+4x+4＝6，∴（x+2）2＝6，∴x+2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．19．解方程：2x2﹣4x+1＝0．【分析】先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．解：由原方程，得x2﹣2x＝﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝，配方，得（x﹣1）2＝，直接开平方，得x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．20．红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB的结论；（2）连接AB，根据切线长定理求证PA＝PB，再三角形内角和定理求出∠PAB和∠PBA的度数，然后再利用BF为圆直径即可求出∠AFB的度数．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周长是8；（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF为圆直径∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．【点评】本题考查的是切线长定理，题图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．22．在直角坐标平面内，已知点A（3，0）、B（2，3），点B关于原点对称点为C．（1）写出C点的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案；（2）分别计算出△AOB和△AOC的面积，再求和即可．解：（1）B（2，3）关于原点对称点为C（﹣2，﹣3）；（2）∵S△AOB＝，S△AOC＝，∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC＝9．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及三角形的面积，关键是掌握掌握点的坐标的变化规律．23．如图，等边△ABC边长为4，E是边BC上动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．【分析】（1）根据三角形ABC是等边三角形和EF∥AC，可得等边三角形BEF，则可写出与EF相等的线段；（2）根据（1）可知EF＝BE＝4﹣x，要求平行四边形的面积，只需求得EF边上的高．作EH⊥AC于H，根据30度的直角三角形EHC进行表示EH的长，进一步求得平行四边形的面积；（3）根据二次函数的顶点式或顶点的公式法求得平行四边形的面积的最大值时x的值，分析平行四边形的位置和形状．然后根据公共点的个数分析圆和平行四边形的各边的位置关系，进一步根据圆和直线的位置关系求得r的取值范围．解：（1）BE、PE、BF三条线段中任选两条．（2）连接FP，作EQ∥FP交FE于E设EC为x∵EH⊥AC，∴∠EHC＝90°∴△CHE为直角三角形∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°在Rt△CHE中，∠CHE＝90°，∠C＝60°，∠HEC＝180°﹣∠C﹣∠EHC＝30°∴2HC＝EC∵HE2＝EC2﹣HC2∴EH＝x，∵EF∥AC，FP∥EQ∴四边形EFPQ为平行四边形∴PQ＝FE又∵PE＝BE∴PQ＝EF＝BE＝4﹣x∴S平行四边形EFPQ＝﹣x2+2x．（3）S平行四边形EFPQ＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，S平行四边形EFPQ有最大值．此时E、F、P分别为△ABC三边BC、AB、AC的中点，且点C、点Q重合∴平行四边形EFPQ是菱形．过E点作ED⊥FP于D，∴ED＝EH＝．∴当⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数是2个时，0＜r＜；当⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数是4个时，r＝；当⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数是6个时，＜r＜2；当⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数是3个时，r＝2；当⊙E与平行四边形EFPQ四条边交点的总个数是0个时，r＞2．【点评】综合运用了等边三角形的判定和性质、解直角三角形的知识、直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系．24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），利用三角形面积公式可得S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案；（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），分两种情况：①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，②当AP＝PF，∠APF＝90°时，分别讨论计算即可．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），∴，解得：，∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，设直线AF的解析式为y＝kx+d，∵A（3，0），F（0，﹣4），∴，解得：，∴直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7，∴S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，﹣1＜t＜3，∴当t＝时，△AFP面积的最大值为；（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，则∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，，∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，当m＝0时，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；当m＝2时，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵点F在y的负半轴上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四边形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，，∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，FG＝