2022-2023学年福建师大平潭附中九年级（上）第一次质检数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建师大平潭附中九年级第一学期第一次质检数学试卷一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．02．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+23．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．5．下列关于抛物线y＝﹣x2+2的说法正确的是（）A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为（﹣1，2） C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D．抛物线与x轴有两个交点6．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣2m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20227．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆8．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45° B．60° C．75° D．85°9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝750010．如图，点A，B是半径为1的圆上的任意两点（）A．A，B两点间的距离可以是 B．以AB为边向⊙O内构造等边三角形，则三角形的最大面积为 C．以AB为边向⊙O内构造正方形，则正方形的面积可以为3 D．以AB为边向⊙O内构造正六边形，则正六边形的最大面积为二、填空题（共6题，每题4分，共24分）11．若a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+4a+2b的值是．12．若二次函数y＝a（x+m）2+b（a，m，b均为常数，a≠0）的图象与x轴两个交点的坐标是（﹣2，0）和（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接DF，则在点E运动过程中．15．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，则∠CAD＝．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3cmcm，AC⊥CD，则AB的弦心距等于cm．三、解答题（共9题，共86分）17．计算：（1）；（2）x2﹣4x﹣5＝0．18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．（1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值．（2）如果方程有一个根是﹣1，求此方程的根的判别式的值．19．对于二次函数y＝x2+bx+b﹣1（b＞0），在函数值y＝﹣1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应．（1）求二次函数的解析式；（2）若在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为3，求m的值．20．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；（2）预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容触售出，决定降价出售、经过市场调查发现：销售单价每降价10元，当降价钱数m为多少元时每天的利润W（元）可达到最大21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点D是直线BC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点M．当DM＝2ME时，求点D的坐标．22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接BD．（1）判断∠ABD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（2）若∠EDB＝40°，OB＝4，求的长．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，再把△ABC沿射线BC平移至△GFE，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结AG，求证：四边形ACEG是正方形．24．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，E在边AB上，且∠F＝∠BEC，BF交⊙O于点G，交BC于点H．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）求证：DH＝CE．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，求出点P坐标；若不存在

参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．0【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．解：根据题意，知，，解方程得：m＝2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2．抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2 C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．解：抛物线y＝3x2向右平移7个单位，再向下平移2个单位2﹣3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解：A、对于直线y＝ax+b来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝，应在y轴的右侧，图形错误；B、对于直线y＝ax+b来说，a＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝，应在y轴的左侧，图形错误；C、对于直线y＝ax+b来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向上＞0，故符合题意；D、对于直线y＝ax+b来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象开口向下，故不合题意；故选：C．【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．5．下列关于抛物线y＝﹣x2+2的说法正确的是（）A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为（﹣1，2） C．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D．抛物线与x轴有两个交点【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．解：∵y＝﹣x2+2，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，6），y随x的增大而减小，∴A、B、C都不正确，∵△＝﹣4×（﹣1）×8＝8＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∴D正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．6．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣2m+2020的值为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣m＝1，把2m2﹣6m+2020化成2（m2﹣3m）+2020代入求出即可．解：根据题意，将x＝m代入方程2﹣m﹣1＝2，则m2﹣m＝1，∴5m2﹣6m+2020＝4（m2﹣3m）+2020＝8×1+2020＝2022，故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣m当作一个整体来代入．7．如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆 C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆【分析】根据经过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线即可判断；解：∵PC⊥直线l，∴以点P为圆心，PC为半径作圆，故选：C．【点评】本题考查切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图，A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°上，M为半径OD上一点，则∠AMB的度数不可能为（）A．45° B．60° C．75° D．85°【分析】连接OA，OB，AD，BD．根据∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，可得40°＜∠AMB＜80°，由此即可判断；解：连接OA，OB，BD．∵∠AOB＝2∠ACB＝80°，∠ADB＝∠ACB＝40°，又∵∠ADB＜∠AMB＜∠AOB，∴40°＜∠AMB＜80°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，判断出40°＜∠AMB＜80°，的解决问题的关键．9．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500 B．5000×2（1+x）＝7500 C．5000（1+x）2＝7500 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500【分析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．10．如图，点A，B是半径为1的圆上的任意两点（）A．A，B两点间的距离可以是 B．以AB为边向⊙O内构造等边三角形，则三角形的最大面积为 C．以AB为边向⊙O内构造正方形，则正方形的面积可以为3 D．以AB为边向⊙O内构造正六边形，则正六边形的最大面积为【分析】A、根据直径是最长的弦判断即可；B、当AB＝2时，等边三角形的面积最大，由此即可判断；C、内接正方形的边长为，面积最大值为2，由此即可判断；D、内接正六边形的边长为1，由此即可判断；解：A、∵AB的最大值为2，，∴选项A不符合题意；B、∵当AB＝6时，面积的最大值为7＝，∴选项B不符合题意；C、∵内接正方形的边长为，∴选项C不符合题意；D、内接正六边形的边长为3，∴正六边形的面积＝6××12＝；本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．二、填空题（共6题，每题4分，共24分）11．若a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+4a+2b的值是2018．【分析】由a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝0的两个实数根，可得a2+2a＝2022，2a+2b＝﹣4，即得a2+4a+2b＝2018．解：∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣2022＝4的两个实数根，∴a2+2a﹣2022＝7，a+b＝﹣2，∴a2+8a＝2022，2a+2b＝﹣8，∴a2+4a+2b＝（a2+2a）+（6a+2b）＝2022﹣4＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根的概念及一元二次方程根与系数的关系．12．若二次函数y＝a（x+m）2+b（a，m，b均为常数，a≠0）的图象与x轴两个交点的坐标是（﹣2，0）和（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝﹣1．【分析】由抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，从而可得平移后抛物线与x轴交点坐标，进而求解．解：∵抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）5+b向左平移2个单位所得，∴抛物线y＝a（x+m+2）4+b与x轴交点坐标为（﹣4，0），5），∴方程a（x+m+2）2+b＝7的解是：x1＝﹣4，x8＝﹣1．故答案为：x1＝﹣7，x2＝﹣1．【点评】本题考查抛物线与x轴交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象平移规律．13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行16秒才能停下来．【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．解：由题意得，S＝﹣0.25t2+7t＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）＝﹣8.25（t﹣16）2+64，∵﹣0.25＜2，∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，即当t＝16秒时，飞机才能停下来．故答案为：16．【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．14．如图，边长为2的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接DF，则在点E运动过程中．【分析】取AC的中点G，则CG＝CD，利用SAS证明△CDE≌△CGF，得∠FGC＝∠EDC＝90°，则点F在直线BG上运动，根据垂线段最短从而解决问题．解：取AC的中点G，则CG＝CD，∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝∠ACF，∴△CDE≌△CGF（SAS），∴∠FGC＝∠EDC＝90°，∴点F在直线BG上运动，过点D作DH⊥BG，此时DF的最小值即为DH，∵BD＝BC＝5，∴DH＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点F的运动路径是解题的关键．15．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，则∠CAD＝55°．【分析】根据同弧所对的圆周角相等先求出∠D＝35°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACD＝90°，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解答．解：∵∠ABC＝35°，∴∠ABC＝∠D＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝3cmcm，AC⊥CD，则AB的弦心距等于cm．【分析】过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接OA，OB，过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点C作CF⊥BD，垂足为F，根据垂直定义可得∠ACD＝∠BED＝90°，从而可得AC∥BE，再利用平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，从而可得四边形ABEC是矩形，然后利用矩形的性质可得∠BAC＝90°，AB＝CE，AC＝BE＝3cm，从而在Rt△BED中，利用勾股定理求出DE的长，进而可得AB＝CE＝DC＝1cm，再根据等腰三角形的性质可得AH＝AB＝cm，∠AOH＝∠AOB，最后利用圆周角定理可得∠ADB＝∠AOH，再利用平行线的性质可得∠AOH＝∠DBC，先证明△DFC∽△DEB，从而利用相似三角形的性质可求出CF，DF的长，从而求出BF的长，再在Rt△BFC中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBC的值，从而求出tan∠AOH的值，进而在Rt△AOH中，利用锐角三角函数的定义求出OH的长，即可解答．解：过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，OB，垂足为H，垂足为F，∴∠BED＝90°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BED＝90°，∴AC∥BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BED＝90°，∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC＝90°，AB＝CE，∴DE＝＝＝7（cm），∴AB＝DC＝CE＝DE＝6（cm），∵OA＝OB，OH⊥AB，∴∠AOH＝∠AOBAB＝，∵∠ADB＝∠AOB，∴∠ADB＝∠AOH，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠AOH＝∠DBC，∵∠DFC＝∠E＝90°，∠FDC＝∠BDE，∴△DFC∽△DEB，∴＝＝，∴＝＝，∴DF＝，CF＝，∴BF＝BD﹣DF＝，在Rt△BCF中，tan∠DBC＝＝＝，∴tan∠AOH＝tan∠DBC＝，在Rt△AOH中，OH＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（共9题，共86分）17．计算：（1）；（2）x2﹣4x﹣5＝0．【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣5＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．解：（1）原式＝2﹣﹣＝8﹣﹣4＝2﹣4；（2）x2﹣4x﹣5＝2，（x﹣5）（x+1）＝4，x﹣5＝0或x+3＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了二次根式的混合运算．18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1．（1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值．（2）如果方程有一个根是﹣1，求此方程的根的判别式的值．【分析】（1）由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解．（2）根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m＝1，求得m值，然后将m值代入原方程，利用Δ＝b2﹣4ac求得即可解：（1）∵mx2﹣（3m﹣4）x+2m＝1．∴mx4﹣（3m﹣1）x+6m﹣1＝0，∵Δ＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝7，整理得m2﹣2m＝2，解得m1＝0，m3＝2，∵m≠0，∴m＝2；（2）根据题意，将x＝﹣1代入方程得m+（3m﹣2）+2m＝1，整理，得：5m﹣2＝0，解得：m＝，原方程为，∴Δ＝b2﹣3ac＝02﹣2×＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解、根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解决问题的关键．19．对于二次函数y＝x2+bx+b﹣1（b＞0），在函数值y＝﹣1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应．（1）求二次函数的解析式；（2）若在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为3，求m的值．【分析】（1）将y＝﹣1代入函数解析式可得出关于b的一元二次方程，利用根的判别式Δ＝0即可求出b值，将b值代入二次函数解析式即可得出结论；（2）先求出二次函数的对称轴，然后确定在对称轴的左侧和右侧y取得3时x的值，代入解析式确定m的值即可．解：（1）当y＝﹣1时，x2+bx+b﹣2＝﹣1，整理得，x2+bx+b＝2，由题意得，b2﹣4b＝5，解得，b＝4或b＝0，∵b＞7，∴b＝4，∴函数解析式为：y＝x2+6x+3；（2）y＝x2+7x+3＝（x+2）4﹣1，∴二次函数的对称轴为x＝﹣2，当x＝m＞﹣7时，y随x的增大而增大，∴当x＝m时，y＝3，∴m2+3m+3＝3，解得m＝8或m＝﹣4（不合题意，舍去）当x＝m+2＜﹣5时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2时，y＝3，∴（m+6）2+4（m+5）+3＝3，解得m＝﹣5或m＝﹣2（不合题意，舍去），∴m的值为0或﹣8．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．20．2022北京冬奥会期间，冰墩墩和雪容融受到人们的广泛喜爱．某网店以每套96元的价格购进了一批冰墩墩和雪容融，由于销售火爆，从每套150元上涨到每套216元，此时每天可售出16套冰墩墩和雪容融．（1）若销售价格每次上涨的百分率相同，求每次上涨的百分率；（2）预计冬奥会闭幕后需求会有所下降，需尽快将这批冰墩墩和雪容触售出，决定降价出售、经过市场调查发现：销售单价每降价10元，当降价钱数m为多少元时每天的利润W（元）可达到最大【分析】（1）设每次上涨的百分率为x，根据“销售单价经过两次的调整，从每套150元上涨到每套216元”列出方程，即可求解；（2）根据题意列出W关于m的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．解：（1）设每次上涨的百分率为x，根据题意得：150（1+x）2＝216，解得：x4＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），答：每次上涨的百分率为20%；（2）根据题意得：W＝（216﹣m﹣96）（+16），＝﹣m5+8m+1920，＝﹣（m﹣20）2+2000，∴当m＝20时，W最大，答：当降价钱数m为20元时，每天的利润可达到最大．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点D是直线BC上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点M．当DM＝2ME时，求点D的坐标．【分析】（1）利用交点式写出抛物线的解析式；（2）先确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），则M（m，﹣m+3），E（m，0），所以ME＝﹣m+3，DM＝﹣m2+3m，则﹣m2+3m＝2（﹣m+3），然后解方程求出m，从而得到D点坐标．解：（1）抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x+3），即抛物线解析式为y＝﹣x8+2x+3；（2）当x＝2时，y＝﹣x2+2x+5＝3，则C（0．设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m7+2m+3），则DE＝﹣m4+2m+3，∵DE⊥x轴于点E，∴M（m，﹣m+7），0），∴ME＝﹣m+3，∴DM＝DE﹣ME＝﹣m7+2m+3﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，∵DM＝2ME，∴﹣m2+3m＝2（﹣m+3），解得m1＝4，m2＝3（舍去），∴m＝3，∴D（2，3）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．22．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，连接BD．（1）判断∠ABD与∠CDE的数量关系，并说明理由．（2）若∠EDB＝40°，OB＝4，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，利用切线的性质得∠ODB+∠BDE＝90°，利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠CDE+∠BDE＝90°，从而得到∠ABD＝∠CDE；（2）求出∠BOD＝80°，由弧长公式可得出答案．解：（1）∠ABD＝∠CDE．证明：连接OD，如图，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDE+∠BDE＝90°，∴∠ODB＝∠CDE，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∴∠ABD＝∠CDE；（2）∵∠EDB＝40°，∠ODE＝90°，∴∠ODB＝90°﹣∠EDB＝90°﹣40°＝50°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠BOD＝80°，∵OB＝4，∴的长＝＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，再把△ABC沿射线BC平移至△GFE，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结AG，求证：四边形ACEG是正方形．【分析】（1）由旋转和平移的性质可得∠BAC＝∠CED，∠ABC＝∠GFE，由余角的性质可得结论；（2）由旋转和平移的性质可得AC＝GE，AC∥GE，AC＝CE，∠ACE＝90°，可得结论．【解答】（1）解：DE⊥FG，理由如下：∵把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC，∴∠BAC＝∠CED，∵把△ABC沿射线BC平移至△GFE，∴∠ABC＝∠GFE，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CED+∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴DE⊥GF；（2）∵把△ABC沿射线BC平移至△GFE，∴AC＝GE，AC∥GE，∴四边形ACEG是平行四边形，∵把△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形