三次函数的零点问题

(,即(,即3三次函的点问题、(2006全卷)设实数函数

f)x

3

2

(求f)的极值(当在么范围内取值时曲线

f(与

轴仅有一个交点解：

f'()

=3

x

－x－若fx)

=0，则==－，x=1当

变化时，)，f)变化情况如下表：1(－，－)－(－，3－+0

10

(1，∞+极大值

极小值∴()

的极大值是

f()

，极小值是f函f()

x

(x由此可知，取足够大的正数时，有)

>0，取足够小的负数时有fx)

<0，所以曲线

=

fx)

与

x

轴至少有一个交点结合f(x)

的单调性可知：当f(x)

的极大值

55，()2727

时，它的极小值也小于，因此曲线f(x)

与仅有一个交点，它在(，+∞上当()

的极小值

－即

(1+∞，它的极大值也大于，此曲线

=

f)与

x

轴仅有一个交点，它(－∞，－)上∴当

a(

527

)

∪+∞时，曲线

=

f(x)

与x轴有一个交点2（西文（小满12分设函数

f()x

3

92

x

2

x

．（）于任意数

f

恒成立，求

的最大值；（）方程

f(x)

有且仅有一个实根，求a的值范围．解：(1)

f

(

xx1)(x

,因为

xf

x)

恒成立所以

)

,得

33，即的大值为441

(2)因当时f

()当1x时f

();当2,f

()

;所以当

x

时

f(x)

取极大值

f

52

;当2时fx)

取极小值

f(2)

;故当

f(

或

f(1)

时,方程

f(x)

仅有一个实根.解得

a

或5a.23、知函数

f(x)

11xx2ax3

，

其中a>0.（）函数

f(x

的单调区间；（）函

f(x)

在区间（，）内恰有两个零点，求的值范围；（）否存在常数，使得函数

f(x

在区间-2，）内恰有一个零点，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由；【答案】4（西文本小题满分12分已知函数

f)x

3

a

求

f(x)

的单调区间；x

处取得极值，直线与

y

f(x)

的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析）

f

)x2x2

当

时，对

x

，有

f'(x)0,当时f()

的单调增区间为

(当时由f

()解x或x

；由

f

()解ax

，当

a

时，

f)

的单调增区间为

(),(a,

；

fx

的单调减区间为(,)

。（）为

f(x)

在

x

处取得极大值，2

所以

f

(

aa所以

f()x

3

xf

(x

2

由

f')

解得

xx1

。由（）

f(x)

的单调性可知，

f(x

在

x

处取得极大值

f(

，在

x

处取得极小值

f(1)

。因为直线y与函数yf()f，

的图象有三个不同的交，

f(

，结合

f(x)

的单调性可知，

m

的取值范围是

(3,1)

。5【2102高福文12已知（=x³²+9x-abc＜＜，（（（=0.现给出如下结论：①（）（）0②0）（）；f（0（＞；④0）（）＜其中正确结论的序号是A.①③B.C.②③②12.【答案C．【解析】

(x)x

3

x

2

xabcf'(x

2

，令

f'(x

则

或x，时f'()；1时f'(x；当x时f'()

，所以

时

f(x)

有极大值，当

x

时

f()

有极小值，

函数

f()

有三个零点，(1)f(3)

，且

a

，54abc

，

，即，此(0)(a)，f(0)(1)0,f(0)f

.故选C.6（南21）知函数

f(x)

1x4x4

2

有三个极值点。（）明：

；（）存实数，使函数

f(x

在区间

，

a

的取值范围。解）因为函数

f(x)

1x4x24

有三个极值点,所以

f

3

x

2

x

有三个互异的实.设

)x

3x,则gx

xxx当

x时，

0,gx)在(

上为增函数3

当

x

时，

gx)

在

(

上为减函数当

x

时，

0,g()

在

(1,

上为增函数所以函数

()在

时取极大值在x时极小值.当

(

或

(1)

时

()

最多只有两个不同实.因为

()

有三个不同实根所

(

且

(1)

.即

27

,且

,解得

c且c故

.（）由（）的证明可知，当

时

f(x)

有三个极值.不妨设为

xx，x13

（

xxx123

fxx)(x).123所以

f(x)

的单调递减区间是

(],[xx]1若

f(x

在区间

，则

1

,或

x]23

,若

,则11

.由（I）知，

x于是1若

x]则a且a23

.由（I）知，

x2又

f

3x2

x,当时

x

;当

c

时，

f

2

.因此,当

时1x所且a3即

a

故

或

a

反,当

或

a

时，总可找到

c27,5),

使函数

f(x)

在区间

上单调递减综上所述a的值范围是

(

(3,1)

.7（国理）

已知函数()x

3

．（1）求曲线f(x)在(，())的切线方程；（2设，点(a，b作曲线yf()的线：4

a)解求函数(x的导数；f

x

2

．曲线yf()在(，(t处的切线方程为：yft)f

x)，即yt

2

t

3

．（2）如果有一条切线过(，b)，则存t，使(3t

2

at

3

．于是，若过(a，b作曲线f()的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记g(t)t，则

t

2

att(t)t变化时，g()，变化情况如下表：00极大值

0极小值f()由t)单调性，当极大值a或极小bf(a)时，方g(t最多有一个实数根；0时，解方