高考数学二轮专题复习8二项分布超几何分布和正态分布

PAGEPAGE12二项分布、超几何分布和正态分布1．正态分布1．已知随机变量，，且，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为随机变量，所以，因为，，所以，即，又，所以，即．2．（多选）已知三个正态分布密度函数(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，下列关于μ1，μ2，μ3，σ1，σ2，σ3的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】正态分布关于对称，且越大图象的对称轴越靠近右边，故第一个曲线的均值比第二和第三的均值小，且二，三两个的均值相等，故．越小，曲线越瘦高，则第二个图象要比第三个的要小，故．故选AB．3．某篮球队在某赛季已结束的场比赛中，队员甲得分分别为7，8，10，15，17，19，21，23．（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；（2）假设甲在每场比赛的得分服从正态分布，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数(结果保留整数)．参考数据：，，．正态总体在区间内取值的概率约为．【答案】（1）估计甲每场比赛中得分的均值为，标准差为；（2）估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数为．【解析】（1）由题意可得，，所以，所以估计甲每场比赛中得分的均值为，标准差为．（2）设甲每场比赛中的得分为随机变量，由（1）得甲在每场比赛中得分不低于分的概率，设在场比赛中，甲得分不低于分的次数为，则，的均值，由此估计甲在场比赛中得分在不低于分的平均场数为．4．5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开．A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：､､､…，，统计结果如图所示：（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得．若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为．每一轮抽奖，奖金为100元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束．现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望．参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，．【答案】（1）（人）；（2）（元）．【解析】（1）由题意知样本平均数为，∴，∵，所以，，而，故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）．（2）由题意可知X的可能取值有0､100､200､300，，，，，∴（元）．2．二项分布1．足球运动是一项在学校广泛开展､深受学生喜爱的体育项目，对提高学生的身心健康具有重要的作用．某中学为了推广足球运动，成立了足球社团，该社团中的成员分为A，B，C三个层次，其中A，B，C三个层次的球员在1次射门测试中踢进球的概率如表所示，A，B，C三个层次的球员所占比例如图所示．层次ABC概率（1）若从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，求该球员踢进球的概率；（2）若从该社团中随机选1名球员，连续进行5次射门测试，每次踢进球与否相互独立，记踢进球的次数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）从该社团随机选1人进行一次射门测试，选自层次A，B，C的成员踢进球的事件分别记为事件A，B，C，则．因为事件A，B，C为互斥事件，所以．故从该社团中随机选1名球员进行1次射门测试，球员踢进球的概率为．（2）由（1）可知从该社团中随机选择1人进行1次射门测试，球员踢进球的概率为，每次踢进球与否相互独立，所以X服从二项分布，即，，．X的分布列为X012345P故X的数学期望．2．某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．（注：收益率）等级一等品二等品三等品指标值产品收益率（1）求的值；（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．【答案】（1）；（2）①分布列见解析，；②投资产品的收益更大．【解析】（1）由题可得，解得．（2）①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，，，，则的分布列为：0123∴．②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，产品的收益：，产品的收益：，∴，因为，所以，即，故投资产品的收益更大．3．印刷行业的印刷任务是由印张数（单位：千张）来衡量的．某印刷企业有甲，乙两种印刷设备，每年的各单印刷任务在180~240千张；当一单任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷设备来完成，当一单任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷设备来完成．资料显示1000单印制任务的印张数的频率分布直方图如图所示，现有4单印刷任务，印张数未知，只知道印张数在180~240千张，以相关印张数的频率视为相应事件发生的概率．（1）求a的值，并求这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数；（2）用X､Y分别表示这4单印刷任务中由甲､乙两个印刷设备来完成的个数，记，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1），中位数为；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）由频率分布直方图知：，解得．设这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数为x，由，得，解得．（2）由频率分布直方图知，一个任务由甲种印刷机器来完成的概率为：，所以由乙种印刷机器来完成的概率为，由题意，则的可能取值为0，2，4；表示甲乙分别完成两个任务，概率为；表示甲完成1个任务而乙完成3个任务或甲完成3个任务而乙完成1个任务，概率为；表示任务全部由甲完成或乙完成，其概率，则随机变量的分布列为：024p所以随机变量的数学期望为．4．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p，，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合．（1）现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为，求出的最大值点；（2）若以作为p的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n个组合，记做对题的组数为随机变量X，当时，取得最大值，求相应的n和．【答案】（1）；（2）①；②答案见解析．【解析】（1）由题可知，，令，得．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以的最大值点．（2）①记事件A为一个互助组合做对题，事件B为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C为一个互助组合中乙档中的学生做对题，则，，．②由题意知随机变量，，因为最大，所以，解得，因为n是整数，所以或，当时，；当时，．3．超几何分布1．年月日，东京奥运会落下帷幕．多名中国奥运健儿在比赛中积极弘扬奥林匹克精神，敢于挑战极限、超越自我，展现了精湛的竞技水平和顽强的拼搏精神．为了鼓励更多的市民参与体育锻炼，某城市随机抽取了名市民对其每月（按天）的运动天数进行了统计：平均每月运动的天数人数我们把每月运动超过天称为热衷运动，不超过天称为一般运动，为了了解运动是否与性别有关，得到了以下列联表：一般运动热衷运动合计男性女性合计（1）完成列联表，并判断是否有的把握认为运动与性别有关？（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这个人中抽取个，再从抽取的个人中随机抽取个，用表示抽取的是“热衷运动”的人数，求的分布列及数学期望．附：，．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为运动与性别有关；（2）分布列见解析，数学期望．【解析】（1）完善列联表如下表所示：一般运动热衷运动合计男性女性合计，所以有的把握认为运动与性别有关．（2）根据分层抽样，个人中抽取的热衷运动的人数为人，一般运动的人数为人，从抽取的个人中随机抽取个，表示抽取的是“热衷运动”的人数，的可能取值为、、、，则，，，，所以的分布列为：所以的数学期望．2．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办．为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的学生中随机抽查了名，得到这名优秀学生的统计如下：高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）人数（1）从这名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛．（i）恰好这名学生都来自同一班级的概率是多少？（ii）设这名学生中来自高一（2）的人数为，求的分布列及数学期望；（2）如果该校高中生的优秀率为，从该校中随机抽取人，这两人中优秀的人数为，求的期望．【答案】（1）（i）；（ii）分布列见解析，；（2）0．2．【解析】（1）（）20名学生中随机抽取两名学生共有，设恰好2名学生都来自同一班级共有，．（）可取0，1，2，，，，的分布列为：012的期望．（2）可取0，1，2，，所以．3．为缓解城市垃圾带来的问题，许多城市实行了生活垃圾强制分类．为了加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成良好的垃圾分类的习惯，某学校团委组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别标有“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”；另有写有垃圾名称的卡片若干张．每位参赛选手从所有写有垃圾名称的卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．规定每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子得5分，放入其他箱子得0分．从所有参赛选手中随机抽取40人，将他们的得分分成以下5组：，，，，，绘成如下频率分布直方图：（1）求得分的平均数（每组数据以中点值代表）；（2）学校规定得分在80分以上的为“垃圾分类知识达人”．为促进社区的垃圾分类，学校决定从抽取的40人中的“知识达人”（其中含A，B两位同学）中选出两人利用节假日到社区进行垃圾分类知识宣讲，求A，B两人至少有1人被选中的概率；（3）从所抽取的40人中得分落在组的选手中随