第16章 数理统计

第16章数理统计数理统计的基本知识16.1常用统计量与抽样分布16.2参数估计16.3假设检验16.416.1数理统计的基本知识16.1.1总体及分布

在数理统计中,我们把所研究的对象的全体称为总体,而把组成总体的元素叫作个体,总体中所含的个体总数称为总体容量。

如果总体包含有限个个体,则称为有限总体(或具体总体),否则称为无限总体(或抽象总体)。

总体常用一个随机变量X

来表示,因此我们称随机变量X

为一个总体,而X

的分布为总体的分布。

例如,考察某大学一年级新生的体重和身高,则该校一年级的全体新生就构成了一个总体,每一名新生的体重和身高就是一个个体。

又如,研究某灯泡厂生产的一批灯泡的质量,则该批灯泡的全体构成了一个总体,其中每一个灯泡就是一个个体。16.1.2样本

为了对总体X

的分布规律或某些特征进行研究,就必须对总体进行抽样观察,根据抽样所得的数据来推断总体的性质,这种从总体X

中随机抽取若干个个体进行观察或实验的过程,称为随机抽样(或简称为抽样)。

定义设(X1,X2,…,Xn)是n

维随机变量,若X1,X2,…,Xn

相互独立且其中每个都与总体X

具有相同的分布,则称(X1,X2,…,Xn)是取自总体X

的容量为n的简单随机样本,简称样本。

显然,对总体X

的任何一个容量为n

的抽样结果“x1,x2,…,xn

”是n

个完全确定的数值,但由于抽样是一个随机试验,所以这n个观察值是随每次抽样而改变的,它具有随机性。

换句话说,对具体某次抽样来说,抽样结果是n个确定的数值:x1,x2,…,xn,我们称其为样本的一个观察值,简称样本值,有时也称为总体的一个实现。16.2常用统计量与抽样分布16.2.1常用统计量

定义1设(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本,h

(x1,x2,…,xn)是x1,x2,…,xn

的连续函数,若h

不

含任何未知参数,则称h(X1,X2,…,Xn)是统计量;

若(x1,x2,…,xn)是样本观察值,则称h(x1,x2,…,xn)

是该统计量的观察值。16.2.2来自正态总体的抽样分布1.χ2

分布

定义4设随机变量X1,X2,…,Xn

相互独立且均服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量2.t分布

定义5设X~N(0,1),Y~χ2(n),并且X

与Y

独立,则称随机变量图16-23.F

分布

定义6设X~χ2(n1),Y~χ2(n2),且X与Y

独立,则称随机变量图16-316.3参数估计16.3.1点估计1.矩估计法

例1设X1,X2,…,Xn

是取自于[a,b]区间上均匀分布总体X

的样本,a,b

未知,试求a,b

的矩估计。2.极大似然估计法16.3.2区间估计1.单个正态总体参数的区间估计2.两个正态总体的区间估计16.4假设检验16.4.1假设检验的基本概念

例1某车间用一台包装机包装某种饮料,包的饮料的重量是一个随机变量,它服从正态分布N(μ,0.0152)。

机器工作正常时,其均值为0.5kg,随机地抽取9瓶它包装的饮料,称得净重(单位:kg)分别为:0.4070.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512

问包装机工作是否正常?

在假设检验中,我们称类似上述的命题μ∈H0

或μ

∈H1

为一个假设。对假设成立与否做出判断称为检验,检验既指整个判断过程,也指具体的判断准则。

当根据某一准则认为假设H0

正确时,称为接受该假设;认为假设H0

不正确时,称为否定或拒绝该假设。我们常称假设H0

为原假设,假设H1

为备择假设,即否定H0

时,我们就可以认为假设H1

是成立的。

上例中,总体分布形式是已知的,我们是对总体中的未知参数做假设,这种假设称