第11讲高阶偏导数-极值的应用

第十一讲高阶偏导数 设uf

x

fC

,则,11

(D)

xf1

f2

2u

yf12

f2

uy 2u 2u1

2 2

PreviousNextzzxy)x

y

2所确定xyFxyzzeyzxz eyzzey x(1z

zeyeyzzey

12z

z(1z)z

1zz (1

x(1z)2

1 x(1PreviousNext求常数使方程6uxx5uxyuyy0xy,xy下,可化为新方程u解：uxuuuyuu u2uuxyu()u PreviousNext6uxx5uxyuyy(256)u(256)u令256 256由此解得2与 PreviousNextfxyx4y4xy)2的极值解：f[4x32(xy)]i[4y32(xy令f4x32(xy)y3

2(xy)解得驻点111,100H fxy

12x2 12y2PreviousNext

fxx(1,1100,H(0,0)f(0,00,设(01)f(0,)422(21)0,f(,24 PreviousNext

设zz(xy)x26xy10y22yzz2180所确定的函数,求函数zz(x,y)的极值点和极值.解：zx3y z3x10yz y y令z0,z0 x9y3z3PreviousNext2z(yz)2(x3y)2 (y2z(3x11z)(yz)(3x10yz)(3x11y) (y2z2z3(yz)2(x3y)(3x11y) (yH zyyPreviousNext在点93处H

2

1 6在点(9,3)处 2H

6

函数的极小值z(9,3)3,极大值z(9,3)PreviousNext (x,y)x2的距离平方和为最小55|x2y4| |x2y4| |x2|551令z1(x2y4)21(x2y4)2x PreviousNext

2(x2y4)2(x2yz z2(x2)z

4(x2y4)5

4(x2y5

4)得唯一驻点(207M207

PreviousNextx2

y2

xyz解：椭圆中心在点001d2x2y2z1)2x2y21xyz下的最大值与最小值令Lx2y2z1)2(x2y21(xyz则由Lx0Ly0Lz0L0L0PreviousNext22得点1122

2),( 1,1 2),223相应d 2232222得点(1,1 1,1,1)2222d由实际问题分析可知33

与PreviousNext在光滑曲面F(xyz0离原点距离最近点的法线必经过原点.解：点(x,y,z)到原点的距离平方d2x2y2z条件点(xyz)在曲面F(xyz0上令Lx2y2z2F(xyPreviousNext则由Lx0Ly0Lz0L0解得点Px0y0z0xF(P yF(P),zF(P) PreviousNextxx0yy0zz0Fx(P) Fy(P) xxF yF zFx

PreviousNext例：设函数uF(x,yz)在条件(x,yz)0和(x,yz)0下在点P(x0y0z0处取得极值m证明三曲面F(x,yz)m,(x,yz)0,(xyz0在点P处的三条法线共面其中F,,C1,且各自对三个自变量的偏导数证：令L(xyz)F(x,yz(x,yz(x,yPreviousNextFxx F

F 又三曲面F(xyzm,(x,yz0,(x,yznF,F,F ,, n,, PreviousNextn1n2n3故三曲面F(xyz)m,(x,yz)(xyz0在点P处的三条法线共面PreviousNext

所围成的四面体体积为最小(abc0)2x0

(xx0)

2y0

(yy0)

2z0

(z

)即 x y za2 PreviousNext

a2b2c2 求V

a2b2c2

z2令L(x,y,

则由Lx0Ly0Lz0LPreviousNext333解得x a,y b,z c333333(a,b,c)333PreviousNext

xyzxyz上点x0,y0z0处切平面 (xx) (yy) (zz)即

1

PreviousNext求V6

36V2xx

yzx令Lxyzyzx

yz则由Lx0Ly0Lz0L0yz解得xyz

3切平面3x3y3z1xyz3PreviousNext在半径为a的半球体内截一个长方体(使其体积最大,求长,宽,高 a2xa2x2y2卦限的交点为(x,y, 2x宽2yz

PreviousNext求V4xyzx2y2z2a2下的最大值L4xyz(x2y2z2a2Lx4yz2x3Ly 4xz2y 3Ly则由L4xy2z

得xyzx2y2z2a233所以应取长2aa33PreviousNext对任意正数a,bc,总成立abc327