高中数学第六章第六节《直接证明与间接证明》课件

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综

合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了

解反证法的思考过程、特点.

(2)分析法①定义：从

出发，逐步寻求使它成立的

直

至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的

条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明

方法叫做分析法.②框图表示：结论充分条件2.间接证明反证法：假设原命题

，经过正确的推理，最

后得出

，因此说明假设错误，从而证明了原命

题成立，这样的证明方法叫做反证法.不成立矛盾提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件.综合法是由因导果.因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程.[思考探究]综合法和分析法有什么区别和联系？2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、

b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(

)A.a、b都能被5整除

B.a、b都不能被5整除

C.a、b不都能被5整除

D.a不能被5整除解析：用反证法证明命题应先否定结论.答案：B3.设a，b∈R，已知p：a＝b；q：()2≤，则p是

q成立的(

)A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件解析：p：a＝b是q：()2≤等号成立的充分条件.答案：B4.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，

则x，y的大小关系是

.解析：∵y2＝()2＝a＋b＝＝x2.∴x<y.答案：x<y综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”.已知x＋y＋z＝1，求证：x2＋y2＋z2≥.[思路点拨]1.分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分

析，逐渐地靠近已知.2.用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有

……这只需证明命题P2为真，从而有………这只需证明命题P为真.而已知P为真，故Q必为真.[特别警示]

用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错.已知a>0，求证：－≥a＋－2.[思路点拨]从而只要证2≥(a＋)，只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.1.适宜用反证法证明的数学命题有：(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.2.用反证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否

定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，

导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理

及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”

的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.

(结论成立)已知a>0，b>0，且a＋b>2，求证：中至少有一个小于2.[思路点拨][课堂笔记]假设都不小于2，则≥2，≥2，∵a>0，b>0，∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴1＋1＋a＋b≥2(a＋b)，即2≥a＋b.这与已知a＋b>2矛盾，故假设不成立.即中至少有一个小于2.【解】

(1)取CD的中点G，连结MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.┄┄┄┄┄┄┄(4分)因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以MN＝.┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)(2)证明：假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.┄(8分)又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.┄┄┄(10分)又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立.所以ME与BN不共面，它们是异面直线.┄┄┄(12分)

[自主体验]已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数.(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列；(3)设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都是Sn>－12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有＝a1a3，即(λ－3)2＝λ(λ－4)⇔λ2－4λ＋9＝

λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，∴{an}不是等比数列.(2)证明：∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1

(an－2n＋14)＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.又λ≠－18∴b1＝－(λ＋18)≠0.由上式知bn≠0，∴＝－(n∈N*).故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列.(3)当λ≠－18时，由(2)得bn＝－(λ＋18)·(－)n－1，于是Sn＝－(λ＋18)·[1－(－)n].当λ＝－18时，bn＝0，从而Sn＝0，Sn>－12恒成立.当λ≠－18时，要使对任意正整数n，都有Sn>－12，即－(λ＋18)·[1－(－)n]>－12⇔λ<－18.令f(n)＝1－(－)n，则当n为正奇数时，1<f(n)≤；当n为正偶数时，≤f(n)<1.∴f(n)的最大值为f(1)＝.于是可得λ<20×－18＝－6.综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn>－12，λ的取值范围为(－∞，－6).

1.a，b，c为互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关

系中可能成立的是(

)A.a>b>c

B.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b解析：由a2＋c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a＝2，c＝1，可得b＝，可知C可能成立.答案：C2.用反证法证明“如果a>b，那么”假设内容应是

(

)A.B.C.且

D.或<解析：的否定形式为.答案：D3.要使成立，则a，b应满足(

)A.ab＜0且a＞bB.ab＞0且a＞bC.ab＜0且a＜bD.ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b解析：要使成立，只要成立，即a－b－3＋3＜a－b成立，只要成立，只要ab2＜a2b成立，即要ab(b－a)＜0成立，只要ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b成立.答案：D4.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在

平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”

为真命题的是

(填所有正确条件的代号).

①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为

直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z

为直线.解析：由空间位置关系的判定及性质可知①③④正确.答案：①③④5.方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝

有唯一

不动点，且x1＝1000，xn＋1＝(n∈N*)，

则x2010