高中数学第一轮总复习第十章105二项式定理教案新人教A版

10.5二项式定理稳固·夯实基础一、自主梳理二项式定理(a+b)n0n1n-12n-22rn-rrn-1n-1nn=Cna+Cnab+Cnab++Cnab++Cnab+Cnb.通项公式Trn-rr,n).r+1=Cnab(r=0,1,2,3.睁开式的特色:项数(共有n+1项);系数(第r+1项的二项式系数为Crn);指数(每一项a、b的指数之和都等于n;a的指数从n开始挨次减1,直到0为止;b的指数从0开始挨次加1,直到n为止).4.Crn-rmm-1m012nn024135n-1.n=Cn,Cn+Cn=Cn+1,Cn+Cn+Cn++Cn=2,Cn+Cn+Cn+=Cn+Cn+Cn+=25.若n是偶数,则中间项第n+1项的二项式系数最大;若n是奇数,则中间两项第n122项和第n1+1项的二项式系数最大.2二、点击双基1.(x+3x)12的睁开式中,含x的正整数次幂的项共有()A.4项B.3项C.2项D.1项分析:设第r+1项含x的正整数次幂,1161r1r为正整数,一定使r为6的倍∴Tr+1=Cr12(x2)12-r(x3要使6-)r=Cr12x6,此中0≤r≤12.6数.r=0,6,12.答案:B2.在(x-1)(x+1)8的睁开式中x5的系数是()A.-14B.14C.-28D.28分析:由题意知先求出(x+1)8睁开式中45的系数分别为453=56,注意第一个因x、xC8=70,C8=C8式为(x-1),则题中x5的系数为70-56=14.答案:B3.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的睁开式中,含x3的项的系数是()A.74B.121C.-74D.-121分析:x33333)=-121.项的系数为-(C+C+C7+C856答案:D4.(2x-1)6睁开式中的常数项是______________.(用数字作答)xr16-r-1rr6-r33r分析:设r+1项为常数项,则T(2×x2(-x)(-1)r2.6r+16令3-3r=0,r=2.2∴常数项为C2624(-1)2=240.答案:2405.在(1+x)+(1+x)2++(1+x)6睁开式中,x2项的系数是____________________.(用数字作答)分析:由题意知有22222322223765C2+C3+C4+C5+C6=C3+C3+C4+C5+C6=C7=2=35.31答案:35诱思·实例点拨【例1】在(x-1)8的睁开式中常数项是()23xD.28分析:利用二项睁开式的通项公式,令x的指数为0,求得r的值.x184rrr8-rrrrr解:T·x3·x3r+1=(-1)C()=(-1)C8·2-882

令8-4r=0,得r=6.366-82·2-2=7.76+188答案:C讲评:求指定项(常数项、中间项、最大项、有理项等)的重点在于通项变形,列出条件关系式,像本题在(x-31)8的睁开式中,a=x,b=-31,通项公式为2x2xTr+1=Cr8(x)8-r(-1)r,r=0,1,2,,8.对通项变形、整理为对于x的单项式,进而求解.23x【例2】在(x2+3x+2)5的睁开式中,x的系数是()A.160B.240C.360D.800分析:将三项式转变为二项式求解,有两条门路:(1)x2+3x+2=(x2+3x)+2;(2)(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5.解:(x2525k25-kk+3x+2)=［(x+3x)+2］,通项为C5(x+3x)2(0≤k≤5).该通项的通项为Ck52kCr5-k3rx10-2k-r(0≤r≤5-k).令10-2k-r=1,即2k+r=9.r=1,k=4.4x的系数为C52·3=240.答案:B讲评:此解法是把三项式转变为二项式求解,这是办理非二项式的一般方法.链接·提示本题也能够从以下两个角度来思虑:1.也可把三项式转变为两个二项式乘积来求解:(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,其x的系数为44555544C5·1·C5·2+C5·1·C5·2.2.(x2+3x+2)5是五个三项式相乘,从此中1个三项式中取3x,从此外4个三项式中取常数项,相乘即得x的一次项.【例3】设(2x-1)5012255=a+ax+ax++ax,求:(1)a0+a1+a2+a3+a4;(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;(3)a+a+a;135(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2.分析:(2x-1)5=a0+a1x+a2x2++a5x5为对于x的恒等式,求系数和的问题可用赋值法解决.解:设f(x)=(2x-1)5=a0+a1x+a2x2++a5x5,则f(1)=a0+a1+a2++a5=1,f(-1)=a0123455-a+a-a+a-a=(-3)=-243.∵a5=25=32,a0+a1+a2+a3+a4=f(1)-32=-31.(2)|a0|+|a|+|a|++|a|=-a+a-a2+a-a4+a=-f(-1)=243.1250135∵f(1)-f(-1)=2(a1+a3+a5),a1+a3+a5=244=122.2(4)(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2=(a0+