线段的定比分点问题解法探究

一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题， 已经形成一种习惯， 利用一元二次方程的判别式研究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系 ，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而求”也可能比“设而不求”更加简单， 避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题：例1、已知椭圆方程为x2y21，过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点2uuruurA、B（在A、P之间），且满足PBPA，求的取值范围.解析1：设AB的方程为 y kx 2，A(x1,y1),B(x2,y2)，则uuruuruuvuuvx2x1,PA(x1,y12)，PB(x2,y22)，由PBPA，得2(y12).y2x2y21,2k2264k224(12k2)00，得由2得(1)x8k60.又ykx2,k23.2由根与系数关系，xx28k，xx6.12k2122k211把x2x1代入xx8k有x(1)8k2，（1）112k2112k2把x2x1代入x1x216有x1216，（2）2k22k2由（1）、（2）可以消去 x1得到含有 ,k的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是32k2(1)2，或者变为313(12k2)(1)2，由k23，可3(12k2)32k21632k221以求得311，于是建立了关于的不等式(1)21，又01，解得32k2168811.3当AB没有斜率时，111.，所以33解析2：构造1x2x1(x1x2)2，如此可以直接把x1x28k，x1x2x1x212k2x1x26代入得到132k22322，由解法1知：12k3(12k2)213(k22)k23，可以求得2110，又01，解得11.当AB没有斜率时，233111.，所以33解析3：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则uuruuruuruurx2x1,PA(x1,y12)，PB(x2,y22)，由PBPA，得2(y12).y22x12y21,xy2121又A(x1,y1),B(x2,y2)在上，所以2x2221.2y2事实上仅用以上这四个等式就可以求出 与x1,y1,x2,y2中任意一个的关系 .2x221y11,(1)2(x1)2(y22)21.(2)21(1)2(2)得：(y1)2(y122)221，(22)(2y122)21，注意到01，所以4(y11)1，解得535311，y1，注意到1y11，所以11，解得3，又0443所以11.3解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中的根与系数的关系而没有用根的判别式， 但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3全面利用向量共线所得到两个关系式（横坐标与纵坐标的关系都利用了，而解法1、2实际上只用了横坐标的关系），通过巧妙的解方程，最终把看成常数，y1看成未知数，用表示y1，进一步利用y1的范围限定的范围.对于这个题目来说，解法3优于解法1、2，因为这种解法避开了分类讨论（这是共线向量的作用），避开了根的判别式（另用了变量的范围，范围，也是圆锥曲线中建立不等式的常用方法，在变量易用参数关系表示的情况下比用判别式简单）.解法3虽然没有用整体思想（这里指解法1、2中对x1x2与x1x2的整体代入变形），但是计算量并不大，比解法1、2还要小，而且由于没有新的参数k，使得字母较少，变形的目标更加明确 .因此我们解答直线与圆锥曲线的问题时，不要过分依赖一元二次方程根的判别式与根与系数的关系， 当解方程组比较简单时， 不妨直接求出有关未知数的解，然后利用未知数的取值范围建立不等式 .例2、如图1，已知椭圆长轴端点为 A、B，弦EF与AB交于点D，原点O为椭圆3中心，且uuur uuurOD 1，2DE DF 0， FDO .求椭圆长轴长的取值范围 .4解：设椭圆方程为x2y21（ab0），设E(x1,y1),F(x2,y2)，由a2b2uuuruuur2DEDF0得：2(x11,y1)+(x21,y2)=(0,0)，即2x1x230,2y1y20x12y121x22y221.，又2b2，2b2aa联立四个等式先消去x2,y2(2x13)4y121，有：b2a2再联立x12y121消去y1可以解得x1a23.a2b24又因为ax1a，于是aa23a，即a24a30，4解得1a3（1）又因为FDO，所以EF得方程为yx1，由x1a234，44a21x12y121得：得y1，把(x1,y1)代入a2b24a2321(a21211，()a2)b244(a23)2(a21)216，又a2b2，所以(a23)2(a21)216，a2b2a2a2去分母整理得：a46a250，解得1a25（2）由（1）（2）的1 a 5，所以2 2a 2 5，即椭圆长轴长的取值范围是 (2,2 5).此题有关资料多用根与系数的关系建立 a,b之间的一个