概率论与数理统计第三章课后习题答案

22322201322280302228X2C2/C4227352C2C2332C3573227C2C2332C357103227322733273270XY0123.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为其他.求二维随机变量(X，Y)在长方形域0xπ,πyπ内的概率.463463ππππππππππππ4346362ππππππππππππ4346364说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量(X，Y)的分布密度f(x，y)=〈l0,其他.(2)随机变量(X，Y)的分布函数；(3)P{0≤X<1，0≤Y<2}.-w-w0012得A=12(2)由定义，有-w-w(|jyjy12e-(3u+4v)dudv((1-e-3x)(1-e-4y)y>0,x>0,00=〈|l0,l0,其他005.设随机变量(X，Y)的概率密度为(k(6-x-y),0<x<2,2<y<4,l其他.f(xl其他.(1)确定常数k；求P{X＜1，Y＜3}；(3)求P{X<1.5}；(4)求P{X+Y≤4}.3-w-w021故故8PXYjjfxydydx-w-w8 (3)P{X<1.5}=jjf(x,y)dxdy如图ajjf(x,y)dxdy x<1.5D02832(4)P{X+Y不4}=jjf(x,y)dxdy如图jjf(x,y)dxdy0283fY(y)=〈【解】(1)因X在(0，0.2)上服从均匀分布，所以X的密度函数为(1而4Yl0,其他.f(x,y)X,Y独立f(x)f(y)XY=〈ll0,yxD0007.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为((1_e_4x)(1_e_2y),x>0,y>0,F(x，y)=〈l0,其他.求(X，Y)的联合分布密度.8.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(4.8y(2_x),f(x，y)=〈l0,求边缘概率密度.【解】f(x)=j+wf(x,y)dy_w_wll0,其他.f(y)ll0,其他._w_w(|j14.8y(2_x)dx(2.4y(3_4y+y2),y=〈其他.59.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(e-yf(x，y)=〈,l0,求边缘概率密度.【解】f(x)=j+wf(x,y)dy-w-wf(y)=j+wf(x,y)dx-w-w其他.10.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(cx2yf(x，y)=〈,l0,其他.(1)试确定常数c；(2)求边缘概率密度.-w-wD-1x2214(2)f(x)=j+wf(x,y)dy-w-w6f(y)=j+wf(x,y)dx-w-w11.设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=〈l0,其他.【解】f(x)=j+wf(x,y)dyX-wXf(y)j+wf(x,y)dx1-1以f(y|x)=Y|Xf(x,y)f(x)X7ll(1X|YfY(y)|其他.YYX123P{Y=y}i53=52=511=5642=51=50331=5001P{X=x}i63113.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为XXY528(1)求关于X和关于Y的边缘分布；XXYP{X=x}iP{Y=yi}2588(1)求X和Y的联合概率密度；Xl0,Xl0,y其他.Y故X2≥Y，002XY件的寿命(以小时计)，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为其他.9XXZYZzF(z)=jj106dxdy=j+wdyjyz106dxZx2y2103103x2y2xz103(y2zy3)2zZx2y2103103x2y2y>xz103(y2zy3)2z即故(1f(z)|(1|z2,34i1234234k=0以 =xip(k)q(i-k)i0YjYji=0i=0i=0Ynp19.设随机变量(X，Y)的分布律为XXY01235431200(2)求V=max(X，Y)的分布律；(3)求U=min(X，Y)的分布律；(4)求W=X+Y的分布律.======i0j=012123P55012012P3(4)类似上述过程，有P1P123588720.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点(X，Y)在屏幕上服从均匀分布.(2)设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.【解】因(X，Y)的联合概率密度为(1图y>0jπd9jR1rdr= π/40πR2=jπd9jR1rdr3/83yyy3/83yyy44DXYX的边缘概率密度在x=2处的值为多少？【解】区域D的面积为S=je21dx=lnxe2=2.(X,Y)的联合密度函数为01x1lx(X，Y)关于X的边缘密度函数为X422.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X，Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.Xx1P{X=xi}=pi1123【解】因P{Y=y}=P=x2P{X=x,Y=y},jjiji1121116824而X与Y独立，故P{X=x}P{Y=y}=P{X=x,Y=y},ijii112412464111121342481,3131222228j3623jYYXx1x2P{Y=y}=pjjP{X=x}=Pii14341y111816y311413y218381223.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率ppY表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；(2)二维随机变量(X，Y)的概率分布.nnn!(12)(12)≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有|||1|926.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为XXY01c000b(1)a,b,c的值；(2)Z的概率分布；(3)P{X=Z}.bc得ZPXY212ZPXP828428284412ppp2C2Cppp2C2C33C3C21054C4C155XPD(X)=x5[x_E(X)]2Piii0312XP123123311231323 P(A)全概率公式xNP{A|X=k}P{X=k} =xNkP{X=k}=1xNkP{X=k}NNEXn.NN||-w0101-w0166的数学期望.(1)U=2X+3Y+1；)V=YZ4-X.因Y,Z独立E(Y)E(Z)-4E(X) 8.设随机变量(X，Y)的概率密度为l其他.l其他.f(x，y)=〈-w-w002-w-w00YfX(x)fY(y)=35003XYl0,其他,50053X0-的0002-的Y04-的Y04282442881)系数c;(2)E(X);(3)D(X).xdxjcxekxdxcck-的02k2-的02k0k20k2π24π故D(X)E(X2)[E(X)]2π24πk22k4k2取出(取3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知P{X0}0.750,PXPX0.041,39P{X1}0.204,39P{X3}P{X3}0.005.22301XP13.一工厂生产某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布，概率密度为0,x0.14X1nX,S2，S2=1n(XX)2.nin1iii(1)验证E(X)=μ，D(X)=2；22i=1(3)验证E(S2)=σ2.ii=1i=1Xii=1i=1Xiii=1 (ni)n2iiii=1n2n因iiiiiii=1i=1i=1iii=1i=1n-1iiuiiiiinnii=1ii=1in-1L(n)」16.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为-的-的-的=1j2πj1rcos9rdrd9=0.π00-的-的ππ00下面讨论独立性，当|x|≤1时，f(x)j1-x21dy=21-x2.X1-1-x2ππ当|y|≤1时，f(y)j1-y21dx=21-y2.Y1-1-y2ππ显然f(x)f(y)丰f(x,y).XY17.设随机变量(X，Y)的分布律为XXY010分布律，其分布律如下表0,其他0,其他XP383828028028048138138128又P{X又P{X1}P{Y1}P{X1,Y1}88818.设二维随机变量(X，Y)在以(0，0)，