三角函数解三角形专题

3第3第#页(共22页)则：c=.?.(H)由于：sinC+sin(B-A)=2sin2A,贝，：sinC+sin(B-A)=sin(A+B)+sin(B-A),整理得：sinBcosA=2sinAcosA,所以：cosA=0，或sinB=2sinA.(1)当cosA=0时，A^_,c=22则：b二号,所以s△此c*落号•夕穿(2)sinB=2sinA,即：b=2a,9 7利用余弦定理得：词=笔解得:所以:所以:所以:所以:在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知一^二@垂±爭旦.b~aEinA+sinC求角B的大小；若a+c=2,求b的数值范围.解：(1)4AABC中，匸二药曲+寸配,b~asinA+sinC由正弦定理可得亠二功巨,b~aa+c艮卩为C2+a2-b2=-ac,可得cosB二圣直吳!二-丄，2ac2OVBVti,可得B二翌L；3(2)由余弦定理可得b2=a2+c2-2acco^IT3=(a+c)2-2ac+ac=4-ac=4-a(2-a)=(a-1)2+3,由0VaV2,可得b2e[3,4),可得b的范围是[.E，2).在^ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知cos2A=-丄，c二方,3sinA=.6sinC，角A为锐角.求sinA与a的值；求b的值及三角形面积.解：(1)•.•sinA=.&sinC,=6c=32.Vcos2A=l-2siri2A=-丄，3Z.sinA^^-.(2)'「A是锐角，・.・cosA=」l,3由余弦定理得：cosA共UL即近二些旦旦，2bc3 2V3b解得b=5.ASAABc=|bcsinA4X5X；3区予芸.在MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A亏，b2-“二扣(I)求tanC的值;(H)求tan(2C-■生)的值.4b2-a2=jbc-又b2-【解答】解：(I)*.*A=—, 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccos—,4 4.jb=-|-c.可得b=3jc,

32=b2--Lc2=-^jC2,艮卩a=J」。c.2 8 45宀宀J.2ab5VCe(Q,n),..tanC=(II)tan2C=..tanC=(II)tan2C=,.・.BV45°,由⑴可得：cosB,.・.BV45°,由⑴可得：cosB=ftan2C-tarr^£_]tan(2C-——)= ^―= =7.'l-l-tan2Ctair^-在^ABC中，角A,B,C为三个内角，已知A=45。，cosB=4.5(I)求sinC的值；(□)若BC=1Q,D为AB的中点，求CD的长及^ABC的面积.解：(I)VcosB^l,Be(Q°,18Q°),5.*.sinB=1-C0齐=言.*.sinB=.*.sinC=sin(B+45°)=sinBcos45°+cosBsin45°=旦x戒x笠■里如5 25 2_10(II)由正弦定理可得一匸sinBsin4(II)由正弦定理可得一匸sinBsin45・.・B+AV9Q°,・.・C>9Q°・.・C>9Q°,由由余弦定理可得：AB2=(6扼)2+102-2X^2X1QcosC=196，解得AB=14.在△▲(：[)中，CD2=(&厄)2+72-2X公互X7cos45°=37,・・.CD=..%.△ABC的面积S=^x挽xecx或吵14X1Qx-|=42第第6页（共22页）第第6页（共22页）已知a,b,c分别是^ABC的三个内角A,B,C的对边，亜工二£2匹acosA（I）求角A的大小；（H）若^ABC的面积S二.求^ABC周长的最小值.解：（I）AABC中，...州一匚二3藐,acosA由正弦定理，得：爵站"mi口C二sW,elhAcosA艮卩2sinBcosA二sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，,「sinB^O,「.cosA丄，A=2L.2 3（U）•.•A二^-，且号bcwi曲二^~bc：二3，,'・bc=4,由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bcN2bc-bc=bc=4，.•.aN2,又b+c涂2.一'宫三4，当且仅当b=c=2时，a的最小值为2，b+c的最小值为4,则周长a+b+c的最小值为6.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,已知3a2-钉當二3b2+3c2.（1）求A；（2）若a=3，求^ABC周长的取值范围.【解答】解：（【解答】解：（1）S=ybcsinA，・'・由已知得：3丄224扼 临、■hb+c-a二—气-S二—气-^bcsinA，.•.tanA=-V^,AE（0,兀）,A=-^2^3.••化简得：b.•.tanA=-V^,AE（0,兀）,A=-^2^32ab3_ _电 -9.R.sinBLi成_ _电 -9.R.sinBLi成_sinl20°'b=2/^sinB,c=2必sinC=2扼药口（匹_的，记^ABC周长为y, y=a+b+c=2\/f3sinB+2V3sin（2L-B）+3.3化解得：y=2必sinB+2必（匝賦曲」日inB）+3=2/jsin（B+匹）+3.2 2 3•.・BE（o,§），•.•周长y£（6・3+Z芸）综上所述：^ABC周长的取值范围（6,3+^3）.已知圆。的半径为2,它的内接三角形ABC满足C2-a2=4（扼c-b）sinB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边.（I）求角A；（口）求三角形ABC面积S的最大值.【解答】解：（I）：三角形ABC外接圖的半径是2,.••由正弦定理得，—一二4，则sinB上,TOC\o"1-5"\h\zsinB 4代入C2-32=4-b）sinB得，C2-a2=4 -b） -b2,即b2+c2-a2=T3bc,\o"CurrentDocument"2 2 2 /~由余弦定理得，cosA=b&-丄追,2bc2•「OVAVti,・・・A^1；6（H）V三角形ABC外接圆的半径是2