天津市2023届高三数学一轮复习-试题选编5-数列-理-新人教A版

天津市2023届高三理科数学一轮复习试题选编5：数列一、选择题AUTONUM\*Arabic．（天津市蓟县二中2023届高三第二次模拟考试数学（理）试题）在正项等比数列中,,,数列满足,则数列的前6项和是 （）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前项和,,则的值为 （）A．-110 B．-90 C．90 D．110【答案】【命题立意】本小题主要考查了等差数列的通项公式、前项和公式和等比中项等基础知识,熟练运用公式进行计算.D【解析】由已知得即解得,所以,所以AUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为 （）A．或5 B．或5 C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市六校2023届高三第二次联考数学理试题（WORD版））已知等差数列中,a7+a9=16,S11=,则a12的值是 （）A．15 B．30 C．31 D．64【答案】AAUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三第三次月考理科数学）已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 （）A．【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A．AUTONUM\*Arabic．（天津耀华中学2023届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{an}的首项为1,若成等差数列,则数列的前5项和为 （）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因为成等差数列,所以,即,所以,即,所以,所以,所以的前5项和,选 （）A．AUTONUM\*Arabic．（2023高考(天津理)）设若的最小值为 （）A．8 B．4 C．1 D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．（2023届天津市高考压轴卷理科数学）设是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于 （）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为成等比数列,所以,即,即,所以,选 C．AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三第三次月考理科数学）设是等差数列{an}的前n项和，，则的值为 （）A．【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市五区县2023届高三质量检查（一）数学（理）试题）在等比数列中,,则 （）A．±9 B．9 C．±3 D．3【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三上学期第二次月考理科数学）等差数列{a}中，如果，，数列{a}前9项的和为 （）A．297 B．144 C．99 D．66【答案】C【解析】由，得。由，德。所以，选 C．AUTONUM\*Arabic．（天津市十二区县重点中学2023届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知函数数列满足,且是单调递增数列,则实数的取值范围是 （）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023届高三上学期第二次月考数学理试题）若∆ABC的三个内角成等差数列,三边成等比数列,则∆ABC是 （）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】C解:设三个内角为等差数列,则,所以.又为等比数列,所以,即,即,所以,所以三角形为等边三角形,选 C．AUTONUM\*Arabic．（天津南开中学2023届高三第四次月考数学理试卷）数列的前n项和为,则数列的前50项的和为 （）A．49 B．50 C．99 D．100【答案】AAUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{a}满足：，若存在两项使得，则的最小值为 （）A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选 （）A．AUTONUM\*Arabic．（天津市十二校2023届高三第二次模拟联考数学（理）试题）已知等差数列的公差,且成等比数列,若是数列的前项的和,则的最小值为 （）A．4 B．3 C． D．【答案】A二、填空题AUTONUM\*Arabic．（天津市蓟县二中2023届高三第六次月考数学（理）试题）正项等比数列中，若，则等于______.【答案】16【解析】在等比数列中，，所以由，得，即。AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个花盆(如图).设第层共有花盆的个数为,则的表达式为_____________________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三第三次月考理科数学）在数列中，，则数列中的最大项是第项。【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三第三次月考理科数学）若，则.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津耀华中学2023届高三年级第三次月考理科数学试卷）对于各数互不相等的整数数组(n是不小于3的正整数),若对任意的p,,当时有,则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.若数组的逆序数为n,则数组的逆序数为_________;【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023届高三上学期第二次月考数学理试题）等差数列{an}中,,在等比数列{bn}中,则满足的最小正整数n是____.【答案】6解:在等差数列中,,所以,.所以在等比数列中,即.所以,.则由,得,即,所以的最小值为6.AUTONUM\*Arabic．（天津市红桥区2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案））等比数列中,,前三项和,则公比的值为_________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津耀华中学2023届高三年级第三次月考理科数学试卷）设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和.记,,设为数列{Tn}的最大项,则n0=__________;【答案】4【解析】设首项为,则,,,所以,因为,当且仅当,即,时取等号,此时,有最大值,所以.AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三第三次月考理科数学）设数列满足，(n∈N﹡)，且，则数列的通项公式为.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三上学期第二次月考理科数学）数列{a}中，若a=1，（n≥1），则该数列的通项a=________。【答案】【解析】因为，所以，即数列是以为首项，公比的等比数列，所以数列的通项。所以三、解答题AUTONUM\*Arabic．（天津市红桥区2023届高三第二次模拟考试数学理试题（word版））已知等比数列{an}的公比q≠1,a1=3,且3a2、2a3、a4成等差数列.(I)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn},b1=q,bn=3an-1+rbn-1(n≥2,n∈N*)(r为常数,且qr≠0,r≠3).①写出b2,b3,b4;②试推测出bn用q,r,n表示的公式,并用数学归纳法证明你推测的结论.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津南开中学2023届高三第四次月考数学理试卷）已知数列满足,(1)证明:数列是等比数列,并求出的通项公式(2)设数列的前n项和为,且对任意,有成立,求【答案】解:(1)由可得,是以2为首项,3为公比的等比数列(2)时,时,设则综上,AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知数列的前项和(为正整数)(Ⅰ)令,求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)令,试比较与的大小,并予以证明【答案】解:(I)在中,令n=1,可得,即当时,,..又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由(I)得,所以①②由①-②得于是确定的大小关系等价于比较的大小由可猜想当证明如下:证法1:(1)当n=3时,由上述验算显示成立.(2)假设时所以当时猜想也成立综合(1)(2)可知,对一切的正整数,都有证法2:当时,综上所述,当,当时AUTONUM\*Arabic．（天津市新华中学2023届高三上学期第二次月考理科数学）设数列{a}的前n项和为S，且满足S=2-a，n=1，2，3，…（1）求数列{a}的通项公式；（4分）（2）若数列{b}满足b=1，且b=b+a，求数列{b}的通项公式；（6分）（3）设C=n（3-b），求数列{C}的前n项和T。（6分）【答案】（1）a=S=1 1分n≥2时，S=2-a 1分S=2-a 1分a=a+a2a=a∵a=1= 1分∴a=() 1分（2）b-b=（) 1分 1分∴b-b=()+……+（)= 1分=2-∴b=3- 1分∵b=1 成立 1分∴b=3-（)（3）C=n（) 1分T=1×（)+2（)+……+n（)T=1×（)+……+(n-1)（)+n（)=2+-n（)=2+2-（)-n（)∴T=8--=8-AUTONUM\*Arabic．（天津市蓟县二中2023届高三第六次月考数学（理）试题）已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在

直线上，且.

（1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求；

（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，

使得不等式成立，求和的值.

【答案】解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.

又＝，即，，

∴+=1.

①当=时，=，+=；

②当时，，

+=+===

综合①②得，+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时,+∴，k=.

n≥2时，+++，①，②①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.

当n=1时，=0满足=1-n.∴=1-n.

（Ⅲ）==，=1++=.

.

=2-，=-2+=2-，

∴，、m为正整数，∴c=1，

当c=1时，，

∴1<<3，

∴m=1.AUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））在数列中,,且对任意.,,成等差数列,其公差为｡(Ⅰ)若=,证明,,成等比数列()(Ⅱ)若对任意,,,成等比数列,其公比为｡(i)设1.证明是等差数列;(ii)若,证明【答案】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法｡(Ⅰ)证明:由题设,可得｡所以==2k(k+1)由=0,得于是｡所以成等比数列｡(Ⅱ)证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得当≠1时,可知≠1,k从而所以是等差数列,公差为1｡(Ⅱ)证明:,,可得,从而=1.由(Ⅰ)有所以因此,以下分两种情况进行讨论:当n为偶数时,设n=2m()若m=1,则.若m≥2,则+所以(2)当n为奇数时,设n=2m+1()所以从而···综合(1)(2)可知,对任意,,有证法二:(i)证明:由题设,可得所以由可知｡可得,所以是等差数列,公差为1｡(ii)证明:因为所以｡所以,从而,｡于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列｡由等差数列的通项公式可得=,故｡从而｡所以,由,可得｡于是,由(i)可知以下同证法一｡AUTONUM\*Arabic．（天津市宝坻区2023届高三综合模拟数学（理）试题）设是各项都为正数的等比数列,是等差数列,且,(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,求数列的前项和.【答案】解:(Ⅰ)设数列的公比为数列的公差为依题意得:∵∴,将代入得∴(Ⅱ)由题意得令①则②①-②得:∴又∴AUTONUM\*Arabic．（2023届天津市高考压轴卷理科数学）已知数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,,点在直线上.(Ⅰ)求数列的通项公式和;(Ⅱ)设,求数列的前n项和.【答案】解:(Ⅰ)∵是与2的等差中项,∴①∴②由①-②得再由得∴.∴(Ⅱ)①.②①-②得:,即:,∴AUTONUM\*Arabic．（天津市六校2023届高三第二次联考数学理试题（WORD版））已知数列{an}中,a1=1,若2an+1-an=,bn=an-(1)求证:{bn}为等比数列,并求出{an}的通项公式;(2)若Cn=nbn+,且其前n项和为Tn,求证:Tn<3.【答案】解:(1)----6{bn}为等比数列,又b1=,q=---------------------7(2)由(1)可知------------------------13AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023届高三上学期第二次月考数学理试题）数列{an}满足4a1=1,an-1=[(-1)nan-1-2]an(n≥2),(1)试判断数列{1/an+(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设an2∙bn=1,求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】解:(1)由即另:是首项为3公比为-2的等比数列(2)由=AUTONUM\*Arabic．（天津市蓟县二中2023届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列的前项和为,通项满足(是常数,且).(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)当时,证明;(Ⅲ)设函数,是否存在正整数,使对都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】所以所以AUTONUM\*Arabic．（天津市十二区县重点中学2023届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设等比数列的前项和为,已知.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,设数列的前项和,证明:.【答案】设等比数列的前项和为,已知.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)在与之间插入个数,使这个数组成公差为的等差数列,设数列的前项和,证明:.【D】18．解(Ⅰ)由N*)得N*,),两式相减得:,即N*,),∵是等比数列,所以,又则,∴,∴(Ⅱ)由(1)知,∵,∴,令,则+①②①-②得AUTONUM\*Arabic．（2023年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）已知数列的前项和为,且,数列满足,且点在直线上.(Ⅰ)求数列、的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和;(Ⅲ)设,求数列的前项和.【答案】【解】(Ⅰ)当,当时,∴,∴是等比数列,公比为2,首项∴又点在直线上,∴,∴是等差数列,公差为2,首项,∴(Ⅱ)∴∴①②①—②得(Ⅲ)AUTONUM\*Arabic．（天津市五区县2023届高三质量检查（一）数学（理）试题）已知数列中,数列中.其中.(I)求证:数列是等差数列:(Ⅱ)设最是数列的前n项和,求;(Ⅲ)设是数列的前n项和,求证:.【答案】(Ⅰ),而,∴.∴{}是首项为,公差为1的等差数列(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,于是=故有=6Ⅲ证明:由(Ⅰ)可知则则++,∴AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023届高三上学期第二次月考数学理试题）对n∈N∗不等式所表示的平面区域为Dn,把Dn内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排成点列(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn),求xn,yn;(2)数列{an}满足a1=x1,且n≥2时an=yn2证明:当n≥2时,;(3)在(2)的条件下,试比较与4的大小关系.【答案】解:(1)当n=1时,(x1,y1)=(1,1)n=2时,(x2,y2)=(1,2)(x3,y3)=(1,3)n=3时,(x4,y4)=(1,4)n时(xn,yn)=(1,n)(2)由(3)当n=1时,时,成立由(2)知当n≥3时,即====得证AUTONUM\*Arabic．（天津市红桥区2023届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案））(本小题满分l3分)已知数列{}的前n项为和,点()在直线上.数列{}满足,且b1=5,{}前10项和为185.(I)求数列{}、{}的通项公式;(II)设,数列的前n和为Tn,求证:.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市河北区2023届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）若数列{An}满足,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在二次函数的图像上,其中.(I)证明数列{2an+l}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+l)}为等比数列;(Ⅱ)设(I)中“平方递推数列”{2an+l}的前n项之积为Tn,即,求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式;(Ⅲ)记,求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2023-2023-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））设数列的前项和为.已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记为数列的前项和，求．【答案】解：（Ⅰ）由题意，，则当时，.两式相减，得（）.……………2分又因为，，，……………4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，……5分所以数列的通项公式是（）.………………6分（Ⅱ）因为，所以，……8分两式相减得，，………11分整理得，().………………13分AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023届高三上学期第三次月考数学理试题）已知,点在函数的图象上,其中(1)证明数列是等比数列;(2)设,求及数列的通项;(3)记,求数列的前项和.【答案】(Ⅰ)由已知, ,两边取对数得,即是公比为2的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知(*)=由(*)式得(Ⅲ)又.AUTONUM\*Arabic．（天津耀华中学2023届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分14分）已知数列{an}的前n项和，数列{bn}满足.（1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，证明：且时，；（3）设数列{cn}满足（为非零常数，），问是否存在整数，使得对任意，都有.【答案】解：（1）在中，令n=1，可得，即当时，，∴，∴，即.∵，∴，即当时，.又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.于是，∴.（2）由（1）得，所以①②由①－②得∴于是确定Tn与的大小关系等价于比较与2n+1的大小由可猜想当时，.证明如下：证法1：①当n=3时，由上验算显示成立.②假设n=k+1时所以当n=k+1时猜想也成立综合①②可知，对一切的正整数，都有.证法2：当时综上所述，当n=1,2时，当时（3）∵∴∴①当n=2k－1，k=1,2,3,……时，①式即为②依题意，②式对k=1,2,3……都成立，∴当n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为③依题意，③式对k=1,2,3……都成立，∴∴，又∴存在整数，使得对任意有.AUTONUM\*Arabic．（2023天津高考数学（理））已知首项为的等比数列不是递减数列,其前n项和为,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的最大项的值与最小项的值.【答案】本题考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前项和公式,数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.(Ⅰ)解:设等比数列的公比为,因为成等差数列,所以,即,于是.又不是递减数列且,所以.故等比数列的通项公式为.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)