高中数学第5章三角函数551两角和与差正弦余弦和正切公式两角和与差正切公式第一册数学教案

第3课时两角和与差的正切公式学习目标核心修养能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.1.经过利用公式进行化简、证明等问题，培能利用两角和与差的正切公式进行化简、养逻辑推理修养.求值、证明．(要点)2.借助公式进行求值，提高数学运算修养.熟习两角和与差的正切公式的常有变形，并能灵巧应用．(难点)两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和tan(α＋β)＝πα，β，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)(α＋β)tanα＋tanβ的正切T1－tanαtanβ且tanα·tanβ≠1两角差tan(α－β)＝，，－≠π＋π∈Z)β(T(α－β)tanα－tanβαβαk2k的正切1＋tanαtanβ且tanα·tanβ≠－11．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于()A．2B．11D．4C.2tanα＋tanβC[∵tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝4，且tanα＋tanβ＝2，211－tanαtanβ＝4，解得tanαtanβ＝2.]11π2．求值：tan12＝________.－2＋311ππππ[tan＝－tan＝－tan－121246ππ3tan4－tan61－3＝－πtanπ＝－31＋tan61＋34＝－2＋3.]3．已知tanα＝2，则tanπ＝________.α＋4ππtanα＋tan42＋1－3[tanα＋＝π＝1－2×1＝－3.]41－tanαtan4tan75°－tan15°4.1＋tan75°tan15°＝________.3[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.]两角和与差的正切公式的正用【例1】(1)已知α，β均为锐角，tan11α＝，tanβ＝，则α＋β23________.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外面，且BD∶CD∶AD2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[思路点拨](1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依照tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．π111(1)4(2)7[(1)∵tanα＝2，tanβ＝3，11tanα＋tanβ2＋31＝1.∴tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝11－2×3α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，πα＋β＝.4∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠＝BD1＝，BADAD3CD1tan∠CAD＝＝，AD2tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)tan∠CAD－tan∠BAD＝1＋tan∠CADtan∠BAD12－3＝111＋2×31.]71．公式Tα±β)的构造特点和符号规律：((1)构造特点：公式T(α±β)的右边为分式形式，此中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：计算待求角的正切值．减小待求角的范围，特别注意隐含的信息．依据角的范围及三角函数值确立角．1．(1)已知tanα5π1α＝________.－＝，则tan4531(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝5，tan(α－β)＝－3，则tanβ＝________.(1)3(2)3[(1)5π12由于tanα－＝，45因此tanα＝tan5π5πα－4＋4α5π5π1tan－4＋tan45＋13＝α5π5π＝1＝2.1－tan－4tan41－5×1(2)由于cosα＝3，α为锐角，因此sinα＝4，tanα＝4，5531tanα－tanα－β4－－331＝3.]因此tanβ＝tan[α－(α－β)]＝1＋tanαtanα－β＝41＋×－33两角和与差的正切公式的逆用1＋tan15°【例2】(1)1－tan15°＝________.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝________.[思路点拨]注意特别角的正切值和公式T的构造，适合变形后逆用公式求值．(α±β)(1)3(2)－1[(1)原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.33－tan75°(2)原式＝31＋3tan75°tan30°－tan75°1＋tan30°tan75°＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的构造，另一方面要注意常值代换.ππ3π如tan4＝1，tan6＝3，tan3＝3等.π1＋tanαπ1－tanα要特别注意tan4＋α＝1－tanα，tan4－α＝1＋tanα.2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则()A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A[∵sin2α＝2sin2β，sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(

α＋β)＝3tan(

α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[研究问题

]1．两角和与差的正切公式揭露了

tan

αtan

β

与哪些式子的关系？提示：揭露了

tan

αtan

β

与

tan

α＋tan

β，tan

αtan

β

与

tan

α－tan

β之间的关系．2．若tanα、tanβ是对于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则怎样用a、b、c表示tan(α＋β)?btanα＋tanβ－ab提示：tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝c＝－a－c.1－a【例

3】

(1)tan67°－tan22

°－tan67

°tan22

°＝

________.(2)已知△

ABC中，tan

B＋tan

C＋

3tan

Btan

C＝

3，且

3tan

A＋

3tan

B＝tan

AtanB－1，试判断△ABC的形状．[思路点拨](1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)睁开变形，找寻解题思路．先由对于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，而后求角C并代入对于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1[∵tan67°－tan22°tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)tan45°(1＋tan67°tan22°)1＋tan67°tan22°，tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解]∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，tanA＋tanB331－tanAtanB＝－3，∴tan(A＋B)＝－3.5ππ又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝6，∴C＝6.∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tan＋3＋tan＝3，tan＝3，B3BB3π2π∴B＝6，∴A＝3，∴△ABC为等腰钝角三角形．1．将例3(1)中的角同时增添1°结果又怎样？tan68°－tan23°[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝1＋tan68°tan23°，1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．可否为例3(1)和研究1概括出一个一般结论？若能，试证明．[解]一般结论：若α－β＝45°(，β≠×180°＋90°，k∈Z)，则tanα－tanαkβ－tanαtanβ＝1.tanα－tanβ证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝1＋tanαtanβ，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常有四种变形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ；tanα＋β(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tantanα＋tanβ.β＝1－tanα＋β提示：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．1．公式T与S、C的一个重要差别，就是前者角α、β、α±β都不可以(α±β)(α±β)(α±β)π取kπ＋2(k∈Z)，尔后二者α、β∈R，应用时要特别注意这一点．2．注意公式的变形应用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1－tanαtanβ＝tanα＋tanβα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，1＋tanαtanβ＝tanα＋β，tantanα－tanβtanα－β等.1．思虑辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ建立．()tanα＋tanβ(2)对随意α，β∈R，tan(α＋β)＝1－tanαtanβ都建立．()tanα＋tanβ(3)tan(α＋β)＝1－tanαtanβ等价于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()πππ[提示](1)√.当α＝0，β＝3时，tan(α＋β)＝tan0＋3＝tan0＋tan3，但一般状况下不建立．(2)×.两角和的正切公式的合用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π(k∈Z)．2πππ√.当α≠kπ＋2(k∈Z)，β≠kπ＋2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋2(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以

1－tan

αtan

β

可得后一个式子．[答案]

(1)√

(2)×

(3)√2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，则tanα＝()11A.7B．－7C．1D．－1A[tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ－2＋311－tanα－βtan＝＝.]β1－－2×373．若tanπα的值为________．－α＝3，则tan36－53[tanα＝tanππ133