新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用4二面角训练含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE11二面角基础达标练1.若平面α的一个法向量为n1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n2=(-3,1,3),则平面A.30∘B.45∘C.60答案：D2.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上（异于点A,B）,点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则()A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角答案：B3.在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=12aA.30∘B.45∘C.60答案：C4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90∘,2AC=AA1A.2B.3C.2D.2答案：A5.（多选）在正方体ABCD-AA.AB.B1C与BDC.二面角A1-BC-DD.AC1与平面ABCD答案：A;B;C解析：5.如图,对于A,连接AC,则AC⊥BD,∵A对于B,连接A1D,∵B1△A1DB为等边三角形,∴B1对于C,∵BC⊥平面A1AB∵AB⊥BC,平面A1BC∩平面BCD=BC,A1B⊂平面∴∠ABA1是二面角∵△A1AB对于D,∵C1C⊥平面∴∠C1AC是AC∴∠C6.一圆柱形容器,底面半径为1,高为3,里面装有一个小球,小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一平面α,使得α与小球恰好相切,则α与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为()A.55B.C.22D.答案：D7.如图,在正四棱锥P-ABCD中,若△PAC的面积与正四棱锥的侧面积的比为6:8答案：π解析：7.设正四棱锥的底面边长为a,侧面与底面所成的二面角为θ,△PAC的高为h,侧面的高为h'则12×28.如图,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=2,则二面角A-PB-C答案：39.长方体ABCD-A1B（1）二面角B1（2）△AB答案：（1）如图所示,过点B作BO⊥AC,O为垂足,连接OB由三垂线定理知,AC⊥OB1,∴∠在Rt△ABC中,AB=∴OB=AB×BC又在Rt△B1BO中,OB=BB（2）易知cos∠B∴S10.（2021辽宁朝阳高二月考）如图,四棱锥P-BCDE中,BC∥DE,BC=2CD=2DE=2PE=2,CE=2,O是BE的中点,PO⊥平面BCDE.（1）求证：平面PBE⊥平面PCE;（2）求二面角B-PC-D的正弦值.答案：（1）证明：∵CD=DE=1,CE=2∴∠CDE=∵BC∥DE,∴∠BCE=∠CED=由余弦定理得B∴CE⊥BE,∵PO⊥平面BCDE,∴PO⊥CE,∵PO∩BE=O,PO,BE⊂平面PBE,∴CE⊥平面PBE,∵CE⊂平面PCE,∴平面PBE⊥平面PCE.（2）以O为坐标原点,过点O且平行于CD的直线为x轴,]过点O且平行于BC的直线为y轴,PO所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由PE=1,OE=12BE=22则B(12设平面PCD的一个法向量为n1=(x1令z1=2设平面PBC的一个法向量为n2则n2⋅PB令z2=∴则二面角B-PC-D的正弦值为222素养提升练11.（2021北京四中高二期中）E、F分别是正三角形ABC的边AB、AC的中点,沿EF把正三角形折成60∘的二面角（如图）,则∠ABCA.33B.C.23答案：11.B解析：11.如图所示,取BC的中点M,连接A'M,交EF于点N,连接AN,AM,AC.因为三角形A'BC为正三角形,所以A'所以MN⊥EF,A'N⊥EF因为MN∩AN=N,MN,AN⊂平面AMN,所以EF⊥平面AMN,则EF⊥AM,所以AM⊥BC.所以二面角A-EF-B的平面角为∠ANM=60又A'N=MN=AN,所以设正三角形A'BC的边长为2a,则AM=AN=112.（多选）（2020山东德州第一中学高二月考）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=2,BC=4,BB1=5,D是AA.BE=2B.DE=C.SD.二面角A1-答案：B;D解析：12.依题意可知BA⊥BC,BB1⊥BA,BB1⊥BC,所以以设AE=t,52A1所以CE因为CE⊥B1E,所以解得t=4或t=1（舍去）,所以E(2,0,4),则BE=(2-0DE=(1-2因为AC=所以S△ACE易知平面A1B1设平面DB1E的一个法向量为则B1D取y=1,则x=-2,z=-4,所以n=(-2,1,-4)显然二面角A1所以二面角A1-B13.正三角形ABC与正三角形BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的余弦值为.答案：5解析：13.设O是BC的中点,连接OA,OD,根据面面垂直的性质定理可知AO⊥平面BCD,DO⊥平面ABC,所以OA,OC,OD两两垂直.以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设两个正三角形的边长为2,则A(0,0,3),B(0,-1,0),D(3,0,0).所以AB=(0,-1,-3),AD=(3,0,-3).设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则n⋅AB→=-y-3z=0,n⋅14.如图,在四面体DABC中,AD=BD=AC=BC=5,AB=DC=6.若M为线段AB上的动点（不包含端点）,则二面角D-MC-B的余弦值的取值范围是．答案：(-解析：14.以AB的中点O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=DC=6,∴AO=3,又∵BC=AD=5,∴CO=DO=4,∴cos∴sin设点D到平面ABC的距离为d,则d=DC⋅sin又∵D∴D(0,-12,易知平面MBC的一个法向量为n1设平面DMC的一个法向量为n2∵C(0,4,0),∴DC=(0,9则n令z=9,则x=463a,y=63∵-3＜a＜3,∴a∴|cos⟨n1,15.（2020江西景德镇一中高二期中）已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中,四边形ABCD为边长等于2的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥P-ABC中:（1）证明：平面PAC⊥平面ABC;（2）若点M在棱PA上运动,当直线BM与平面PAC所成的角最大时,求二面角P-BC-M的余弦值.答案：（1）证明：设AC的中点为O,连接BO,PO.如图.由题意,得PA=PB=PC=2,则PO=1,AO=BO=CO=1.因为在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,所以PO⊥AC,因为在△POB中,PO=1,OB=1,PB=2,PO2+O因为AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC,因为PO⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC.（2）连接MO,由（1）知,BO⊥PO,BO⊥AC,又PO∩AC=O,PO,AC⊂平面PAC,所以BO⊥平面PAC,所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角,且tan∠BMO=所以当OM最短,即M是PA的中点时,∠BMO最大,因为PO⊥平面ABC,所以PO⊥OB,PO⊥OC,又OB⊥OC,于是以O为原点,OC,OB,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),A(-1,0,0),P(0,0,1),M(-1所以BC=(1,-1,0),设平面MBC的一个法向量为m=(由m⋅BC令x1=1,得y1设平面PBC的一个法向量为n=(由n⋅BC令x2=1,得y2则cos⟨由图可知,二面角P-BC-M为锐角,故余弦值为533创新拓展练16.（2020江苏扬州大学附属中学高二月考）如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=12（1）当λ=12时,求证：BM∥平面ADEF;（2）若平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为3838,求λ解析：命题分析本题以不规则几何体为载体,考查线面平行的证明和根据二面角的大小求参数值,同时考查学生运算能力和分析问题、解决问题的能力.答题要领（1）取DE的中点N,连接MN、AN,证明出四边形ABMN为平行四边形,可得出BM∥AN,利用线面平行的判定定理可得出BM∥平面ADEF.（2）证明DE⊥平面ABCD,然后以点D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,分别求出平面BDM、平面ABF的一个法向量,利用空间向量法可得出关于实数λ的等式,由此可解得实数λ的值.答案：详细解析（1）证明：取DE的中点N,连接MN、AN,如图.当λ=12时,M为EC的中点,又N是DE的中点,∴MN∥CD且MN=1∵AB∥CD且AB=1∴MN∥AB且MN=AB,∴四边形ABMN是平行四边形,∴BM∥AN,∵AN⊂平面ADEF,BM⊈平面ADEF,∴BM∥平面ADEF.（2）∵四边形ADEF为正方形,∴DE⊥AD,∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE平面ADEF,∴DE⊥平面ABCD,∴DE⊥CD,又∵AD⊥CD,∴以点D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),B(2,2,0),E(0,0,2),C(0,4,0),∴EC∴EM则DM=设平面BDM的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅DB令y=λ-1,可得x=1-λ,z=2λ,∴平面BDM的一个法向量为n=(1-λ,λ-1,2λ)易知m=(1,0,0)为平面ABF由题意可得|cos即8λ即(2λ-3)(4λ-3)=0