线代ch5矩阵的相似与相合

第五章矩阵的相似与相合2§1.矩阵的特征值与特征向量3说明一、特征值与特征向量的概念5矩阵A矩阵----------树干特征值-------树枝特征向量----树叶一个矩阵可以有多个特征值；每个特征向量只能对应于一个特征值。67解:8910解:1112得基础解系为：线性代数13二、特征值与特征向量的性质14A的主对角元的和称为A的迹，记tr(A)15证1618注意

1.

属于不同特征值的特征向量是线性无关的.

2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．矩阵A19§2.矩阵的对角化20一、相似矩阵与相似变换的概念21证明证毕注:这里A,B的特征向量未必相同.22注2324而相似矩阵有相同的特征值,因为相似矩阵有相同的特征值,2526证:必要性。二、方阵可对角化的条件2728得证293031解之得基础解系所以

A

可对角化.32注意

即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．线性代数34定理1对称矩阵的特征值为实数.三、实对称矩阵的对角化定理1的意义线性代数35线性代数36

利用正交矩阵将对称矩阵A化为对角矩阵,五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法(3)将特征向量正交化,单位化;(4)将第(3)步所得的向量构成正交阵P,即有

其具体步骤为:线性代数37(1)

第一步求A的特征值线性代数38解得基础解系

解得基础解系解得基础解系线性代数39(3)第三步将特征向量正交化,单位化线性代数40(4)第四步将上述向量构成正交阵注意次序!!!例3教材P141例5.2.4线性代数41§3.二次型及其标准型线性代数42一、二次型及其标准形的概念称为二次型.线性代数43只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).例如都为二次型；为二次型的标准形.线性代数441.

用和号表示对二次型二、二次型的表示方法线性代数452.

用矩阵表示线性代数46线性代数47三、二次型的矩阵及秩

在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.线性代数48四、化二次型为标准形引例：双曲线？刻划坐标系变换的矩阵为可逆矩阵曲线为双曲线！刻划坐标系变换的矩阵为正交矩阵线性代数50设四、化二次型为标准形

对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变换,将二次型化为标准形.线性代数51说明线性代数52线性代数53用正交变换化二次型为标准形的具体步骤线性代数541.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值从而得特征值线性代数55从而得特征值2.求特征向量线性代数563.将特征向量正交化特征向量已是正交向量组,4.将正交向量组单位化,

得正交矩阵线性代数574.将正交向量组单位化,

得正交矩阵线性代数584.将正交向量组单位化,

得正交矩阵得正交矩阵线性代数59于是所求正交变换为即线性代数60注意:若取正交矩阵线性代数61则所求正交变换为即注：二次型的标准形不唯一，如线性代数63

尽管一个实二次型的标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含有的项数是确定的,项数等于二次型的秩.

下面我们限定所用的变换为实变换,来研究二次型的标准形所具有的性质.五、正定二次型惯性定理线性代数64线性代数65为正定二次型为负定二次型例如正（负）定二次型的概念线性代数66证充分性必要性故正（负）定二次型的判定线性代数67推论

对称矩阵为正定的充分必要条件是:

的特征值全为正.线性代数68这个定理称为霍尔维茨定理.对称矩阵为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即定理3

对称矩阵

为正定的充分必要条件是:

的各阶主子式为正,

即线性代数69例1.

判别二次型是否正定.它的顺序主子式故上述二次型是正定的.线性代数70例2.

判别二次型是否正定.二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知

A

是正定矩阵,线性代数71例3.

判别二次型的正定性.线性代数722.

正定二次型(正定矩阵)的判别方法:(1)定义法;(2)顺次主子式判别法;(3)特征值判别法.小结

1.

正定二次型的概念,正定二次型与正定矩阵