数学物理方程经典教案分离变量法(研究生,高校本科生)

数学物理方程经典教案分离变量法(研究生,高校本科生)第一页，共97页。§2.1分离变量法—概述求解数学物理方程定解问题的主要方法有：分离变量法(也叫驻波法、富氏级数法)、行波法(达朗贝尔法)、积分变换法、Green函数法(镜象法)等等。其中分离变量法是最常用、最基本和最重要的方法。分离变量法的物理背景是波动现象，它的结构特点是时间和空间函数的乘积形式。于是这给我们一个启示：波动方程的解是否可以具有变量分离形式的解（即时间空间分离）？第二页，共97页。§2.1分离变量法—概述一、基本思想：1、利用变量分离形式的解，把求解偏微分方程定解问题化为常微分方程的定解问题；2、先寻找方程满足齐次边界条件的特解，然后利用解的叠加原理求出偏微分方程定解问题的形式解；3、分离变量法属于直接求方程特解的方法。第三页，共97页。§2.1分离变量法—概述分离变量法解题的难易程度与选择的坐标系有关。常用的坐标系有：直角坐标系(笛卡尔坐标系)：适合于求解区域为矩形域；极坐标系：适合于求解区域为圆形或扇形域；柱坐标系：适合于求解区域为圆柱形域；球坐标系：适合于求解区域为球形域。因此，当偏微分方程的研究区域为矩形、圆形、扇形、圆柱形、球面等区域时，特别适合使用分离变量法求解。第四页，共97页。§2.1分离变量法—概述分离变量法解题的求解步骤---五步：(1)分离变量；(2)求解常微分方程的本征值问题(Eigenvalueproblem);(3)决定解的基本结构(本征解)；(4)解的叠加；(5)确定方程中的叠加系数。第五页，共97页。§2.1分离变量法—概述掌握直角坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的思路和步骤；掌握直角坐标系下齐次方程、齐次边界条件下分离变量法的求解方法;掌握求解非齐次方程的固有函数法和冲量定理法；掌握非齐次边界条件齐次化的方法；学习其它坐标系下使用分离变量法求解偏微分方程的方法。本章主要内容第六页，共97页。讲解内容安排§2.1分离变量法—概述§2.2直角坐标系下的分离变量法§2.2.1齐次方程定解问题的解法§2.2.2非齐次方程定解问题的解法§2.2.3非齐次边界条件的齐次化§2.2.4高维定解问题的解法§2.3极坐标系下的分离变量法§2.4Sturm-Liouville问题§2.1分离变量法—概述第七页，共97页。§2.2直角坐标系下的分离变量法§2.2.1齐次方程定解问题的解法第八页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第九页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十一页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十二页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十三页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十四页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十五页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法end第十六页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十七页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十八页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第十九页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第二十页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第二十一页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法n=1n=2n=3x=0x=lfundamentalfirstovertonesecondovertoneFig1.Normalmodesofvibrationforastandingwaveonastringfixedatbothends第二十二页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第二十三页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第二十四页，共97页。第二十五页，共97页。第二十六页，共97页。第二十七页，共97页。第二十八页，共97页。第二十九页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十一页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十二页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十三页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十四页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十五页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十六页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十七页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法end第三十八页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第三十九页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十一页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十二页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十三页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十四页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十五页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第四十六页，共97页。§2.2.1非齐次方程定解问题的解法T(t)X(x)第四十七页，共97页。§2.2.1非齐次方程定解问题的解法第四十八页，共97页。§2.2.1非齐次方程定解问题的解法第四十九页，共97页。§2.2.1非齐次方程定解问题的解法第五十页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十一页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十二页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十三页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十四页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十五页，共97页。§2.2.1齐次方程定解问题的解法第五十六页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法对于非齐次方程的定解问题，不能直接使用分离变量法，可以采用下列几种办法求解这种问题：(一)、固有函数法(二)、冲量定理法(三)、积分变换法（第四章讲）第五十七页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法热源初始温度第五十八页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第五十九页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十一页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十二页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十三页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法此两行对应即可第六十四页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十五页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十六页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十七页，共97页。§2.2.2非齐次方程定解问题的解法第六十八页，共97页。小结

方法定解条件分离变量法

固有函数法冲量定理法齐次方程

齐次边界条件

§2.2.2非齐次方程定解问题的解法如果边界条件为非齐次的，怎么办？注：Laplace方程除外，边界条件非齐次，仍然可以用分离变量法求之(见下节)。第六十九页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十一页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十二页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十三页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十四页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十五页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化utwt第七十六页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化边界条件已经齐次化第七十七页，共97页。§2.2.3非齐次边界条件的齐次化第七十八页，共97页。目前，数学物理方程中一般都仅给出了一维空间的波动方程或热传导方程的分离变量法的解，很少见到如何用分离变量法求解高维空间的边值或混合问题，本节讨论高维空间下求解偏微分方程的分离变量法的技巧。§2.2.4高维定解问题的解法第七十九页，共97页。§2.2.4高维定解问题的解法第八十页，共97页。§2.2.4高维定解问题的解法第八十一页，共97页。§2.2.4高维定解问题的解法第八十二页，共97页。§2.2.4高维定解问题的解法第八十三页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十四页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十五页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十六页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十七页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十八页，共97页。§2.3极坐标下的分离变量法第八十九页，共97页。§2.4Sturm-Liouville问题第九十页，共97页。§2.4Sturm-Liouville问题第九十一页，共97页。§2.4分离变量法总结固有值问题