工程弹塑性力学教学课件第二章应力状态理论

第二章应力状态理论

2.1体力和面力

2.2应力和一点的应力状态

2.3与坐标倾斜的微分面上的应力

2.4平衡微分方程应力边界条件

2.5转轴时应力分量的变换

2.6主应力应力张量不变量＊2.7应力二次曲面

2.8最大切应力第二章应力状态理论弹性力学所研究的都是超静定问题。要解决超静定问题，必须考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，缺一不可。本章的任务是要从静力学观点出发，分析一点的应力状态，并建立连续介质力学普遍适用的平衡微分方程和应力边界条件。在本章的推导中，将忽略物体的变形，显然这对小变形物体来说是不会引起明显误差的。2.1体力和面力

作用在物体上的外力有两种类型，即体力和面力。

1、体力：分布在物体内所有质点上的力（重力、惯性力和电磁力等）

2、面力：作用在物体表面上的力（风力、液体压力、物体间接触压力等）体力分量投影于坐标轴M体力和体力矢量投影于坐标轴面力矢量面力和面力矢量面力分量内力内力和应力2.2应力和一点应力状态1、内力：物体受外界作用，在物体内部不同部分之间产生的相互作用力正应力切应力投影于法线和平面投影于坐标轴内力和应力凡提到应力，应同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面来说的。因为，通过物体内同一点可以作无数个方位不同的微分面。显然，各微分面上的应力一般说是不同的。物体内同点各微分面上的应力情况，称为一点的应力状态。为了表示一点的应力状态，过物体内某一点M分别作3个彼此垂直的微分面，使之与坐标平面平行此3个微分面分别把物体在M点的微分邻域分割成前后、左右以及上下两部分（假定取x轴垂直纸面而指向读者，z轴垂直向上）我们只保留其表面外法线方向和坐标轴正方向一致的那一部分（下图）三个特殊面上上的应力应力张量为了表示一点点的应力状态态，过该点M作三个与坐标标平面平行的的三个特殊微微分面。分别别将物体分成成前后、上下下、左右两个个部分，保留留外法线方向向与坐标轴正正方向一致的的部分，称为为M点的三个特特殊微分面面上的9个应力分量量，即应力张量。正负号的规规定：当微分面外外法线指向向与坐标轴轴正方向一一致时，应应力分量沿沿正方向为为正；当微微分外法线线指向与坐坐标轴负方方向一致，，则应力分分量以沿坐坐标轴负方方向为正。。正应力的下下标表示作作用面的方方位和它的的方向切应力的下下标第一个个表示作用用面的方位位，第二个个下标表示示它的方向向下标的含义义：物体的受力内力外力集度应力体力面力正应力剪应力集度体力矢量集度面力矢量2.3与坐标倾斜斜的微分面面上的应力力abcMxyz由平衡条件，得同理2.4平衡微分方方程应应力边界条条件如果一物体体在外力（（包括体力力和面力））作用下处处于平衡状状态，则将将其分割成成若干个任任意形状的的单元体以以后，每一一个单元体体仍然是平平衡的；反反之，分割割后每一个个单元体的的平衡，也也保证了整整个物体的的平衡。基于这样的的理由，假假想穿过物物体作三组组分别与3个坐标平面面平行的截截面，在物物体内部，，它们把物物体分割成成无数个微微分平行六六面体；在在靠近物体体的表面处处，只要这这三组平面面取得足够够密，则不不失一般性性地被切割割成微分四四面体（见见下图）。。如果我们分分别考虑物物体内部任任意一个微微分平行六六面体和表表面处任意意一个微分分四面体的的平衡，可可以导得平平衡微分方方程和应力力边界条件件。AABB物体受外力力作用处于于平衡状态态也保证了了单元体的的平衡分别在物体体内取任意意一个平行行六面体和和表面处一一个四面体体分析其平平衡应满足平衡方程：考虑，有同理考虑，得平衡微分方程，又称纳维方程考虑切应力互等等定理应力边界条条件：表示物体体在边界上上应力与面面力之间的平衡关关系。2.5转轴时应力力分量的变变换当坐标系改改变时,同一点的各各应力分量量应作如何何改变易证明,如坐标系作作平移变换换,同一点的各各应力分量量是不会改改变的,因此只考虑虑转轴的情情形§2-6主应力应应力张量量不变量既然物体内内任一确定定点的9个应力分量量要随着坐坐标系的旋旋转而分别别改变，于于是就产生生了一个问问题：对于于这任一确确定的点，，能否找到到这样一个个坐标系，，在这个坐坐标系下，，该点只有有正应力分分量，而切切应力分量量为零；也也就是说，，通过该点点，能否找找到这样3个互相垂直直的微分面面，其上只只有正应力力而无切应应力。回答是肯定定的。我们们把这样的的微分面称称为主平面面，其法线线方向称为为应力主方方向，而其其上的应力力称为主应应力。根据主应力力和应力主主方向的定定义去建立立它们所满满足的方程程。设通过M点（设坐标标原点O与其重合））的与坐标标倾斜的微微分面abc为主微分平平面其法线方向向（即主方方向）v的三个方向向余弦为l，m，n，而其上的的应力矢量量f­v（即主应力力）的三个个分量为fvx，fvy，fvz。2.6主应力应应力张量量不变量通过一点M，可以找到到3个互相垂直直的微分面面，其上只只有正应力力而无切应应力。这样样的