高数下册第七章微分方程一、二、三节课件

第七章—积分问题—微分方程问题

推广

1微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章2引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.3常微分方程偏微分方程含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或5引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常数的解,定解条件

其图形称为积分曲线.0422-=dtsd6例1.

验证函数是微分方程的解,的特解.解:

这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件7例3.

已知函数是微分方程的解,则解:

，故将代入微分方程，得的表达式为（）(A);(B);(C);(D).从而9转化可分离变量微分方程

第二节解分离变量方程可分离变量方程第七章10分离变量方程的解法:设y＝(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.

则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.当G(y)与F(x)可微且

(y)＝g(y)≠0时,同样,当(x)11例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为练习：已知曲线过点，且其上任一点处切线斜率为，则13例3.

求下述微分方程的通解:解:令则故有即解得(C为任意常数)所求通解:14练习:解法1

分离变量即(C<0

)解法2故有积分(C为任意常数)所求通解:15例4.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:

根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原17例5.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t

足够大时18例6.

有高1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度h随时间t的变解:由水力学知,水从孔口流出的流量为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由h降到19两端积分,得利用初始条件,得因此容器内水面高度h与时间t有下列关系:21内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解y=–x

及

y=C

22找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P263,5(2))

2)根据物理规律列方程(如:例4,例5)3)根据微量分析平衡关系列方程(如:例6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤23备用题

已知曲线积分与路径无关,其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有25齐次方程

第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程第七章26例2.

解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然

x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.29可得OMA=OAM=例3.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:30利用曲线的对称性,不妨设y>0,积分得故有得

(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)

31顶到底的距离为

h,说明:则将这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得32(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k

(齐次方程)定常数),33求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程34例4.求解解:令得再令Y＝X

u,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:35得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:36练习1.求微分方程的通解。2.求微分方程的特解。满足条件3.求初值问题的特解。3.求初值问题的特解。(93,Ⅰ,Ⅱ)(96,Ⅳ)(91,Ⅳ)(99,Ⅱ)37(2003,Ⅱ)设位于第一象限的曲线过点其上任一点处的法线与轴的交点为，且线段被轴评分。(1)求曲线的方程；(2)求曲线在上的弧长为，试用表示曲线