数据包络分析DEA和层次分析法AHPexcel课件

管理信息系统EXCEL评估作业第二小组

方法：数据包络分析DEA

层次分析法AHP

数据包络分析（DEA）

DataEnvelopmentAnalysis

目录：

一、DEA方法简介

二、DEA基本原理和模型

三、DEA应用案例

四、DEA软件介绍

五、DEA主要应用领域

六、其他模型

七、DEA主要参考文献

数据包络分析DEA是什么是一个对多投入\多产出的多个决策单元的效率评价方法；它是1986年由CHARNES和COOPER创建的；通过明确地考虑多种投入（即资源）的运用和多种产出（即服务）的产生，它能够用来比较提供相似服务的多个服务单位之间的效率，用DEA衡量效率可以清晰地说明投入和产出的组合，DEA是一个线形规划模型，表示为产出对投入的比率可广泛使用于业绩评价.

DEA方法的特点：适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）

DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性DEA方法的特点：

譬如在评价某城市的高等学校时输入：学校的全年的资金、教职员工的总人数、教学用房的总面积、各类职称的教师人数等等；输出：培养博士研究生的人数，硕士研究生的人数，大学生的人数，学生的质量（德，智，体），教师的教学工作量，学校的科研成果（数量与质量)等等．根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门（或单位）间的相对有效性．

定义：

123…j…nv11x11x12x13…x1j…x1nv22x21x22x23…x2j…x2n......….vi.....Xij….......….vmmxm1xm2xm3…xmj…xmn

y11y12y13…y1j…y1n1u1

y21y22y23…y2j…y2n2u2.....…......yrj…..ur.....…..ys1ys2ys3…ysj…ysnsusm种输入n个决策单元（DMU）s种输出二、DEA基本原理和模型权系数权系数

各字母定义如下：xij--------第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0yrj--------第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0vi--------对第i种类型输入的一种度量，权系数ur--------对第r种类型输出的一种度量，权系数i----------1,2,…,mr----------1,2,…,sj----------1,2,…,n

对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时，hj0的最大值究竟是多少。

如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：

上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变化，令：可变成如下的线性规划模型P：（P）

规划P的对偶规划为规划D/：（D/）

为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划

几个定理和定义：定理1

线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解，所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝θ*

定义1若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为弱DEA有效定义2若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ*

＞0，并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的定理2DMUj0

为弱DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1；DMUj0为DEA有效的充要条件是线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*，都有s*＋＝0，s*-＝0

DEA有效性的定义：还可以用CCR模型中的λj判断DMU的规模收益情况：（1）如果存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，则DMU为规模收益不变（2）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＜1，则DMU为规模收益递增（3）如果不存在λj*（j＝1，2，…，n）使得∑λj*＝1，若∑λj*＞1，则DMU为规模收益递减

三、DEA应用案例1.对生产水平的相对有效性分析

--梁敏.边馥萍.生产水平的相对有效性分析.

数量经济技术经济研究[J]2003.9：91-94

同样建立其他三个直辖市的模型，求得的解如下：

由定理3可知，对于非DEA有效的DMU，可将其投影到DEA有效面，即把非DEA有效的DMU变成有效的DMU以天津为例，为得到同样的总产值和财政收入，输入可减少到：

CCR模型的解

CCR模型的解

根据上述的DEA有效性的判别定理,可知:(1)达到DEA有效的DMU分别为：

DMU1,DMU2,DMU4,DMU7,DMU9,DMU11(2)非DEA有效的DMU分别为：

DMU3,DMU5,DMU6,DMU8,DMU10(3)非DEA有效的DMU按定理3进行投影计算结果如后

投影分析结果:

四、DEA软件介绍1.DEAP-Version2.1（Win4deap1.1.2）http://2.FRONTIER-Version4.1Chttp://3.EfficiencyMeasurementSystem-Version1.3.0

http://4.LINDO软件

执行程序说明文档输出文档程序参数设定输入文档

1个产出2个投入2个投入价格1年资料5个DMU1个产出2个投入1年资料5个DMU1个产出1个投入1个产出1个投入3年资料

程序参数设定，用“记事本”打开设定后，以“另存新档”方式存档，扩展名为“ins”

5个DMU1年资料1个产出2个投入

程序参数设置文件名.ins

五、DEA主要应用领域1.经济体效率评价：企业效率，银行效率,铁路运营地区FDI引进效率,投资基金业绩中国各地区健康生产效率2.运行过程评价:并购效率,电力改革绩效，钢铁行业3.规模效率:中国轿车企业规模经济效率，科研机构规模效益,寿险公司规模效率4.技术进步:江淮汽车,中国全要素生产率估算与分析农业创新系统,各省劳动生产率5.其他方面:衰退产业识别,物流园区投资规划,方案评价北京市可持续发展能力，作业分析

数据分析的各类模型CCHW模型

CCW

CCR模型

CCGSS窗口分析”方法

BCC模型

CCR模型

CRR:研究具有多个输入、特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效BCC的模型、CCGSS模型：来研究生产部门的间的“技术有效”性CCW模型：研究具有无穷多个决策单元的情况CCWH模型：可以用来处理具有过多的输入及输出的情况，而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”窗口分析”方法：使DEA的应用范围拓广到动态情形；将DEA应用于决策单元为私人部门（商业公司）时，各决策单元之间存在着激烈的相互竞争作用等情况．

七、DEA主要参考文献1.魏权龄.数据包络分析.[M]北京：科学出版社，20062.盛昭翰.DEA理论、方法与应用.[M]北京：科学出版社，

1996年3.江兵,张承谦.企业技术进步的DEA分析与实证研究.系统工程理论与实践[J]2002.14.韩松,魏权龄.资源配置的非参数DEA模型.系统工程理论与实践[J]2002.75.孙巍,杨庆芳,杨树绘.产出资源配置效率的参数测度与非参数测度及其比较分析.系统工程理论与实践[J]2002.76.张涛,孙林岩,孙海虹.偏好约束锥DEA模型在供应商选择中的应用.系统工程理论与实践[J]2003.3

7.官建成,马宁.DEA控制投影模型及其应用.中国管理科学[J]2003.28.张建华.我国商业银行效率研究的DEA方法及1997-2001效率的实证分析.金融研究[J]2003.39.李心丹，朱洪亮，张兵，罗浩.基于DEA的上市公司并购效率研究.经济研究[J]2003.1010.易容华，达庆利.封闭型基金绩效评估与相对投资价值评价.南开管理评论[J]2004.711.刘英平,林志贵,沈祖诒.有效区分决策单元的数据包络分析方法.系统工程理论与实践[J]2006.312.王三喜,屈洋,黄建明,孙文纪.基于DEA模型的部队编制方案评价.系统工程理论与实践[J]2006.4

层次分析法（AHP）层次分析法（AHP）美国运筹学家A.L.Saaty于本世纪70年代提出的层次分析法（AnalyticalHierar-chyProcess，简称AHP方法)，是一种定性与定量相结合的决策分析方法。它是一种将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化的过程。

层次分析法（AHP）应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。

层次分析法（AHP）基本原理：

AHP法首先把问题层次化，按问题性质和总目标将此问题分解成不同层次，构成一个多层次的分析结构模型，分为最低层（供决策的方案、措施等），相对于最高层（总目标）的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。

层次分析法（AHP）特点：分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化和模型化；分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其关系具体而明确；

层次分析法（AHP）特点：这种方法适用于多准则、多目标的复杂问题的决策分析，广泛用于地区经济发展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析以及企业人员素质测评。

层次分析法（AHP）具体步骤：明确问题递阶层次结构的建立建立两两比较的判断矩阵层次单排序层次综合排序

层次分析法（AHP）具体步骤：明确问题在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关联关系和隶属关系。

层次分析法（AHP）具体步骤：递阶层次结构的建立根据对问题分析和了解，将问题所包含的因素，按照是否共有某些特征进行归纳成组，并把它们之间的共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素，而这些因素本身也按照另外的特性组合起来，形成

层次分析法（AHP）具体步骤：更高层次的因素，直到最终形成单一的最高层次因素。最高层是目标层中间层是准则层……..最低层是方案层或措施层

层次分析法（AHP）具体步骤：建立两两比较的判断矩阵判断矩阵表示针对上一层次某单元（元素），本层次与它有关单元之间相对重要性的比较。一般取如下形式：

Cs

p1p2……pnp1b11b12……b1np2b21b22……b2n………………………………pnbn1bn2……bnn判断矩阵

在层次分析法中，为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说，两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采用1-9标度方法，对不同情况的评比给出数量标度。

标度定义与说明1两个元素对某个属性具有同样重要性3两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要5两个元素比较，一元素比另一元素明显重要7两个元素比较，一元素比另一元素重要得多9两个元素比较，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度1/bij两个元素的反比较

判断矩阵B具有如下特征：

bii

=1

bji

=1/bij

bij

=bik/bjk(i,j,k=1,2,….n)

判断矩阵中的bij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的bij满足上述三条关系式时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。

判断矩阵一致性指标C.I.(ConsistencyIndex)C.I.=max-nn-1

一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小，人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。

对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标R.I.(RandomIndex),下表给出了1-15阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标。

n12345678RI000.580.9021.41n9101112131415RI1.461.491.521.541.561.581.59

当n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵一致性指标C.I.与同阶平均随机一致性指标R.I.之比称为随机一致性比率C.R.(ConsistencyRatio)。C.R.=C.IR.I.

当C.R.<0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致性。当C.R.≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满足C.R.<0.10，从而具有满意的一致性。

层次分析法（AHP）具体步骤：层次单排序层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比顺序，这就要计算判断矩阵的最大特征向量，最常用的方法是和积法和方根法。

和积法具体计算步骤：将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：bij=bij1nbij(i,j=1,2,….n)

将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：Wi=1nbij(i=1,2,….n)

对向量W=（W1，

W2……

Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即为所求的特征向量的近似解。

计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi

方根法具体计算步骤：将判断矩阵的每一行元素相乘Mij

Mij=1nbij(i=1,2,….n)

计算Mi

的n次方根WiWi=nMi(i=1,2,….n)

对向量W=（W1，

W2……

Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即为所求的特征向量的近似解。

计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi

层次分析法（AHP）具体步骤：层次总排序利用层次单排序的计算结果，进一步综合出对更上一层次的优劣顺序，就是层次总排序的任务。

层次分析法实例某单位拟从三名干部中提拔一人担任领导工作，干部的优劣（由上级人事部门提出），用六个属性来衡量：健康状况、业务知识、写作水平、口才、政策水平、工作作风，分别用p1、

p2、

p3、

p4、

p5、

p6来表示。判断矩阵如下B。

B

p1健康p2业务p3写作p4口才p5政策p6作风p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B1甲乙丙甲11/41/2乙413丙21/31健康状况p1

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B2甲乙丙甲11/41/5乙411/2丙521业务水平p2

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B3甲乙丙甲131/5乙1/311丙511写作水平p3

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B4甲乙丙甲11/35乙317丙1/51/71口才p4

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B5甲乙丙甲117乙117丙1/71/71政策水平p5

组织部门给三个人，甲、乙、丙对每个目标的层性打分。B6甲乙丙甲179乙1/715丙1/91/51工作作风p6

解：1画出层次分析图

提拔一位干部担任领导工作健康状况业务水平写作水平口才政策水平工作作风甲乙丙w1w2w3w4w5w6总目标方案层子目标

B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311判断矩阵

求出目标层的权数估计用和积法计算其最大特征向量

和积法具体计算步骤：将判断矩阵的每一列元素作归一化处理，其元素的一般项为：bij=bij1nbij(i,j=1,2,….n)

B

p1p2p3p4p5p6p1111411/2p2112411/2p311/21531/2p41/41/41/511/31/3p5111/3311p6222311

6.255.756.53207.333.83

B

p1p2p3p4p5p6p3p03p30.160.020.13p40.040.040.030.050.050.09p6p60.320.340.306

6.255.756.53207.333.83

将每一列经归一化处理后的判断矩阵按行相加为：Wi=1nbij(i=1,2,….n)

B

p1p2p3p4p5p6p3p03p30.160.020.13p40.040.040.030.050.050.09p6p60.320.340.3060.900.931.51

对向量W=（W1，

W2……

Wn)t归一化处理:Wi=(i=1,2,….n)Wi1nWjW=（W1，

W2……

Wn)t即为所求的特征向量的近似解。

B

p1p2p3p4p5p6p3p03p30.160.020.13p40.040.040.030.050.050.09p6p60.320.340.3060.900.931.515.99

B

p1p2p3p4p5p6p3p03p30.160.020.13p40.040.040.030.050.050.09p6p60.320.340.3000.050.160.25W

用和积法计算其最大特征向量为：W=（W1，

W2……

Wn)t=（0.16,0.18,0.20,0.05,0.16,0.25)t即为所求的特征向量的近似解。

计算判断矩阵最大特征根maxmax=1n(BW)inWi

(BW)=111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/331