矩阵初等变换与初等矩阵

矩阵初等变换与初等矩阵第一页，共23页。5.1初等变换

交换第i行与第j行记为rirj

.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页第二页，共23页。-113-1

交换第i列与第j列记为cicj

.15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页5.1初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第三页，共23页。

用数k乘以第i行记为kri

.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页5.1初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第四页，共23页。

用数k乘以第i列记为kci

.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页5.1初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第五页，共23页。

第i行的k倍加到第j行记为rj+kri

.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页5.1初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第六页，共23页。

第i列的k倍加到第j列记为cj+kci

.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页5.1初等变换

定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第七页，共23页。定理3

任意一个矩阵都可以经过一系列的初等变换化成下述形式它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.

下页第八页，共23页。下页2101000041-16r2↔r12101100-1—0046r2-2r10103—100-100461/4c3004—010100306006010100004—c4+c1c4-3c2例如：000010100001—c4-6c3第九页，共23页。

定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

=E(2,4)

例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4———=E(2,4)

1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下页5.2初等矩阵第十页，共23页。=E(3(4))

1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))

1000010000100001E=00401000100000014c3———下页

定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：第十一页，共23页。=E(2,4(k))

1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=ET(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下页

定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：第十二页，共23页。

初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).

E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；

这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k))|=1

.

|E(i(k))|=k(k≠0)

；|E(i,j)|=-

1；第十三页，共23页。E(1,2)A==与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==

例如，设下页

定理1

设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n

阶初等矩阵的转置矩阵.第十四页，共23页。=与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.=例如，设E(1,3(2))A=

AET(1,3(2))=下页

定理1

设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n

阶初等矩阵的转置矩阵.第十五页，共23页。练习：下页第十六页，共23页。练习：下页第十七页，共23页。5.3求逆矩阵的初等变换方法定理2若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵.

证：

因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11≠0.将A的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:由定理1知，

其中Fi是对应初等矩阵.

一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.

同理可得B2:

下页

即B2的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零.第十八页，共23页。

推论

方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.下页

证（必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E,即存在初等矩阵

使

而

是初等矩阵.

（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.

第十九页，共23页。就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)

构造一个n×2n矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即下页即若,则而由,即第二十页，共23页。例1(法2)．求矩阵A=的逆矩阵.12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-11