理论力学09八刚体的平面运动

1第八章刚体的平面运动理论力学2

前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而工程中除了这两种简单的运动外，刚体的平面运动也是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动。本章将分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的速度和加速度。运动学第八章刚体的平面运动31.平面运动的定义在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。例如§8-1刚体平面运动的概述和运动分解运动学第八章刚体的平面运动4运动学第八章刚体的平面运动5

2．平面运动的简化用一个平行于固定平面S1的平面S2来截平面运动刚体，得截面S，它是一个平面图形。过平面图形上任意一点A作垂直于图形的直线A1A2，显然直线A1A2作平移，因此A点的运动完全可以代表直线A1A2的运动；平面图形S的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。运动学第八章刚体的平面运动6刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。运动学第八章刚体的平面运动73．平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置．

任意线段OM的位置可用O点的坐标和AB与x轴夹角表示．因此图形S的位置决定于三个独立的参变量。点O的坐标和角都是时间的函数，即运动学第八章刚体的平面运动8

4．平面运动分解为平移和转动当图形S上O点不动时，则刚体作定轴转动当图形S上

角不变时，则刚体作平动。如果在平面图形上任取一点O定义为基点，假想在基点上固结一随基点O平移的动系Oxyz，那么刚体平面运动可以看成是随基点O的平移和绕基点O的转动这两部分运动的合成。平面运动方程对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的，平面图形S在该瞬时的位置也就确定了。运动学第八章刚体的平面运动9平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动运动学第八章刚体的平面运动10由于基点是任取的，自然就会提出这样的问题：如果基点的选择不同，随基点的平动和绕基点的转动会有什么异同呢？运动学第八章刚体的平面运动11

如右下图所示，平面图形S在t时间内从位置I运动到位置II以A为基点:

随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:

随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA'B''A''B'，于是有SABABBA12SIII显然基点不同，轨迹也不同，因此随基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。运动学第八章刚体的平面运动12

由上可得，平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。即、与基点选取无关运动学第八章刚体的平面运动13§8-2求平面图形内各点速度的基点法

由上节的分析可知，任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点O的平移（牵连运动）和绕基点O的转动（相对运动）。于是，平面图形内任意一点M的运动也是这两种运动的合成。而相对轨迹总是以基点O为圆心，以OM为半径的圆弧。因而可用上一章点的速度合成定理来计算M点的速度。这一方法称为基点法。OvOvOvMOvMxyM运动学第八章刚体的平面运动14根据速度合成定理则M点速度为：又由下面对应关系即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。OvOvOvMOvMxyM运动学第八章刚体的平面运动15

如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BD∥AE杆AB的角速度为ω=5rad·s－1。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。ωABCDE例题8-1运动学第八章刚体的平面运动16运动演示例题8-1运动学第八章刚体的平面运动17vB

解：1.求杆DE的角速度。其中，D点绕B的转动速度vDB

的方向与BD垂直，D点的速度vD与DE垂直。以B点为基点，应用速度合成定理，D点的速度可表示为

杆BD作平面运动，vB大小为方向与AB垂直。ωABCDEvDvDBvB例题8-1运动学第八章刚体的平面运动18由速度合成矢量图可得于是可得此瞬时杆BD的角速度为

vDB

为D点绕B的转动速度，应有转向为逆时针vBωABCDEvDvDBvBωBD例题8-1运动学第八章刚体的平面运动192.求杆BD中点C的速度。仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点的速度可表示为vBωABCDEvBvCvCB其中vB大小和方向均为已知，vCB方向与BD杆垂直，大小为由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆BD，大小为例题8-1运动学第八章刚体的平面运动20

由于平面图形上任意两点A和B的距离是不变的，因此点A和B的速度vA和vB之间必存在某种关系。如取点A为基点，B为动点，则由基点法即平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，这就是速度投影定理。该方法在已知其中一点速度的大小和方向，同时又已知另一点速度的方向，仅求其大小的情况下使用较方便。但该方法不能计算平面图形的角速度AvAvAvBAvBxyB由于故运动学第八章刚体的平面运动21

曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA以匀角速度ω转动。已知曲柄OA长为R，连杆AB长为l。当曲柄在任意位置j

=ωt

时，求滑块B的速度。BωAψOxy例题8-2运动学第八章刚体的平面运动22BωAψOxy解：vAvAvBvBA因为A点速度vA已知，故选A为基点。应用速度合成定理，B点的速度可表示为

其中vA的大小

vA=Rω

。vB=vA+vBA基点法例题8-2运动学第八章刚体的平面运动由速度合成矢量图可得23所以其中可求得连杆AB的角速度顺时针转向。vAvBvBABxyBωAψOxyvAvAvBvBA例题8-2运动学第八章刚体的平面运动24应用速度投影定理，有这里vA=rω

，θ

＝90o-ψ-j

，β

＝ψ代入上式有AvABωψOxyvB90o-ψ-j速度投影法求得例题8-2运动学第八章刚体的平面运动25

1．速度瞬心的概念一般情况下，在每一瞬时，平面图形S及其延伸扩展部分上都唯一地存在一个速度为零的点，该点称为速度瞬心。§8-3求平面图形内各点速度的瞬心法下面介绍在计算平面图形的角速度和各点速度中应用最广，较为方便和形象的瞬心法。

如图所示，已知点A的速度为vA，图形角速度大小为，转向如图所示。运动学第八章刚体的平面运动26如以点A为基点，则在vA的垂线AN上（由vA到AN的转向与角速度的转向一致）任意一点M的速度vM的大小为随着点M在垂线上的位置的变化，vM的大小也随之变化，因此总可以在AN上找到一点C（该点是唯一的），使得该瞬时的vC为零。显然，只要令则点C称为瞬时速度中心，简称速度瞬心运动学第八章刚体的平面运动27CDABvDvAvBC(a)(b)2.平面图形内各点的速度及其分布如果以速度瞬心C为基点，图（a)中各点的速度可以写成大小为这样，平面图形上各点的速度在某瞬时的分布情况，与图形绕定轴转动时各点的速度分布情况类似（图b)。因此，平面图形的运动可看成为绕速度瞬心的瞬时转动。运动学第八章刚体的平面运动28需要强调的是，速度瞬心在平面图形及扩展部分上的位置是随时间变化的。运动学第八章刚体的平面运动29３．几种确定速度瞬心位置的方法（1）已知图形上一点的速度和图形角速度可以确定速度瞬心的位置。（C点）且C在绕A点顺转向转90º的方向一侧．

(2)已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向，且，过A,B两点分别作速度的垂线,交点C即为该瞬间的速度瞬心.C运动学第八章刚体的平面运动30

（3）

已知某瞬时图形上A,B两点速度的大小,且CC运动学第八章刚体的平面运动31

（5）已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直。此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)

（4）已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点C为速度瞬心．运动学第八章刚体的平面运动32例题8-3

如图所示，半径为R的车轮，沿直线轨道作无滑动的滚动，已知轮心O以匀速vO前进。求轮缘上A，B，C和D各点的速度。CABDOvO运动学第八章刚体的平面运动33CABDOvO解：

注意，为求车轮的角速度，可利用车轮作无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C的速度为零，即因为轮心O点速度已知，故选O为基点。vOvCOvC=0ω其中vCO的方向已知，其大小vCO=Rω

。基点法因此（顺时针）例题8-3应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可表示为

运动学第八章刚体的平面运动34CABDOvOvOvCOvC=0ω求得ω之后，应用基点法各点的速度就很容易求得如下：vOvAOvAvOvBOvBvOvDOvDA点：B点：D点：其中，i

，j

为x，y

轴的单位矢量。例题8-3运动学第八章刚体的平面运动35CABDOxyvOω

车轮上与地面相接触的C点的速度为零即为车轮的瞬心。利用已知速度vO，可求得车轮的角速度为此ω与以O点为基点求出的角速度ω完全相同，说明图形的角速度与基点选择无关。

车轮上点B的速度方向垂直于连线CB，大小为vB同理，可求得轮缘上其它各点的速度，结果同前。瞬心法（顺时针）例题8-3运动学第八章刚体的平面运动36

在图中，杆AB长l，滑倒时B端靠着铅垂墙壁。已知A点以速度v沿水平轴线运动，试求图示位置杆端B点的速度及杆的角速度。ABψvO例题8-4运动学第八章刚体的平面运动37运动演示例题8-4运动学第八章刚体的平面运动38

解：解法一、选A点为基点，A点的速度vA=v，则B点的速度可表示为式中vB方向沿OB向下，vBA方向垂直于杆AB，由速度合成矢量图可得ABψvOvA=vvBvBAωAB基点法所以(逆时针)例题8-4运动学第八章刚体的平面运动39解法二、也可以选B点为基点，则A点的速度可表示为式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆AB，且vBA=ωAB·AB，但ωAB未知，而vA=v。由速度合成矢量图可得ABψOvA=vvBvABωABvB例题8-4所以(逆时针)运动学第八章刚体的平面运动40

因为杆AB上A点的速度已知，B点的速度方向也已知，故可求出杆AB的速度瞬心在C

点。所得结果自然与前相同，但求解步骤却简单得多。注意到vA=v

，所以可以求得ABψOωABvCvB瞬心法(逆时针)例题8-4运动学第八章刚体的平面运动41

如图所示，节圆半径为r的行星齿轮II由曲柄OA带动在节圆半径为R的固定齿轮I上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度ωO转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。ωOOAM2M4M1ωM3CRrⅡⅠ例题8-5运动学第八章刚体的平面运动42运动演示例题8-5运动学第八章刚体的平面运动43解:所以轮II上M1，M2，M3和M4各点的速度分别为：各点的速度方向如图所示。因为A点的速度

行星齿轮II上与固定齿轮I的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮II上各点的速度。为此先求轮II的角速度。因此轮II的角速度（逆时针）ωOOAM2M4M1ωM3CRrⅡⅠv2v3v4vA例题8-5运动学第八章刚体的平面运动44

图所示平面机构中，曲柄OA=100mm，以角速度ω=2rad·s－1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=2CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED，试求此瞬时E点的速度。ABCODEω例题8-630º60º运动学第八章刚体的平面运动45运动演示例题8-6运动学第八章刚体的平面运动46解：由速度投影定理，杆AB上A，B点的速度在AB线上投影相等，即摇杆

CD绕C点作定轴转动轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E两点的速度关系为ABCODEωvAvBvDvE速度投影法求得例题8-630º60º运动学第八章刚体的平面运动47

图示机构中，曲柄OA以角速度ω0顺钟向转动。设OA=AB=r，BD=r

，在图示瞬时，O，B，C在同一铅直线上，试求此瞬时点B和C的速度。ω0ODCAB例题8-7运动学第八章刚体的平面运动48运动演示例题8-7运动学第八章刚体的平面运动49ω0ODCAB1.分析作平面运动的连杆AB。

已知杆上A，B两点速度的方向。由A和B分别作出vA和vB的垂线，所得交点Cv1

就是杆AB的速度瞬心。并且所以，杆AB的角速度（逆时针转向）vBvAωABCv1解：

速度瞬心法连杆AB和BC均作平面运动。例题8-7运动学第八章刚体的平面运动50此后就可以用瞬心法求B点的速度。因为所以，B点的速度大小等于方向如图。ω0ODCABvBvAωABC1例题8-7运动学第八章刚体的平面运动51ω0ODCABvBvAωABC1

已知杆上B，C两点速度的方向。得交点C2

就是杆BC的瞬心。点C的速度大小方向如图。（顺时针转向）vCωBCC2杆BC的角速度2.分析作平面运动的连杆BC。例题8-7运动学第八章刚体的平面运动52

如图平面铰链机构。已知杆O1A的角速度是ω1

，杆O2B的角速度是ω2，转向如图，且在图示瞬时，杆O1A铅直，杆AC和O2B水平，而杆BC对铅直线的偏角；又O2B=b，O1A=b。试求在这瞬时C点的速度。O1AO2BCω1ω2xy例题8-8运动学第八章刚体的平面运动53运动演示例题8-8运动学第八章刚体的平面运动54O1AO2BCω1ω2xy解：先求出A点和B点的速度。有vAvBvA和vB的方向如图。以A点为基点分析C点的速度，有另外，又以B作为基点分析C点的速度，有比较以上两式，有vAvCAvC（1）（2）vCBvB例题8-8运动学第八章刚体的平面运动55上式投影到x轴得方向如图所以把式分别投影到x，y轴上O1AO2BCω1ω2xyvAvBvAvCAvCvCBvB例题8-8运动学第八章刚体的平面运动56例题9-8于是得运动学第八章刚体的平面运动57

图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40r﹒min－1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄AB的角速度ωAB和构件BCE上点E的速度vE。ADCBEω0φ120501005060例题9-9运动学第八章刚体的平面运动58例题9-9运动学第八章刚体的平面运动59ADCBEω0φ120501005060ωABvCvB根据已知数据，得到：故曲柄AB的角速度解：C点速度已知，，B点速度垂直于曲柄AB。根据速度投影定理得1.求曲柄AB的角速度ωAB

。例题9-9运动学第八章刚体的平面运动60ADCBEω0j120501005060ωABvBωABvC

由于构件BCE上C点的速度vC垂直于CE，根据速度投影定理可知E点的速度vE也应垂直于CE。应用速度投影定理，vB与vE在BE连线上的投影相等，即式中所以vEqα2.求E点的速度。例题9-9运动学第八章刚体的平面运动61§8-4用基点法求平面图形卡内各点的加速度

如图所示，由§8-1的分析可知，任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。于是，平面图形内任意一点B的运动也是这两种运动的合成。而相对轨迹总是以基点A为圆心，以AB为半径的圆弧。因而可用上一章点的加速度合成定理来计算M点的速度。由于动系作平移，故科氏加速度恒为零。运动学第八章刚体的平面运动62由以及对应关系可得即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。其中运动学第八章刚体的平面运动63

曲柄滑块机构如图所示，曲柄OA长R，连杆AB长l。设曲柄以匀角速度ω沿逆钟向绕定轴O转动。试求当曲柄转角为j时滑块B的加速度和连杆AB的角加速度。OABφω例题9-10运动学第八章刚体的平面运动64OABφω例题9-10解：vA因为A点速度vA已知，故选A为基点。应用速度合成定理，B点的速度可表示为

其中vA的大小

vA=Rω

。vB=vA+vBAvAvBvBA先求连杆AB的角速度由速度合成矢量图可得运动学第八章刚体的平面运动65OABφωvA所以其中可求得连杆AB的角速度顺时针转向。vAvBvBABxyvAvBvBA例题9-10运动学第八章刚体的平面运动66选点A为基点，则滑块B的加速度为其中，基点A加速度的大小为方向沿AO；动点B绕基点A相对转动的切向加速度的大小为连杆的角加速度αAB尚属未知。暂时假定αAB沿逆钟向，故如图所示。求滑块B的加速度。例题9-10OABφωaAaAatBAanBAaB运动学第八章刚体的平面运动67

求的大小时，为了消去未知量，把式投影到与相垂直的方向BA上得从而求得滑块B的加速度相对转动法向加速度的大小为滑块B的加速度aB的方向为水平并假定向左，大小待求。OABφωaAaAatBAanBAaB例题9-10运动学第八章刚体的平面运动68转向为逆钟向。

同样，把投影到铅直轴y上，有连杆AB的角加速度从而求得求连杆AB的角加速度。yOABφωaAaAatBAaBanBA例题9-10运动学第八章刚体的平面运动69

曲柄滑块连杆机构如图所示，曲柄OA长R，连杆AB长l。曲柄以匀角速ω0转动。求图示位置时连杆AB中心点M的加速度。Bω0AψOxyMφ例题9-11运动学第八章刚体的平面运动702.加速度分析因A点作匀速圆周运动，则M点相对基点A的法向加速度M点相对基点A的切向加速度解：选A点为基点，则M点的加速度为1.速度分析首先求得连杆AB的瞬心C如图所示，利用瞬心法分析，可得连杆的角速度为例题9-11Bω0AψOxyMφaAaAvAvBC运动学第八章刚体的平面运动71为求连杆的角加速度α，应先求出B点的加速度，选A点为基点，则B点的加速度投影到ξ轴上得因得到Bω0AψOxyMφCωaAaAvAξηaAaB例题9-11运动学第八章刚体的平面运动72投影到η轴上求得连杆AB的角加速度α大小为逆时针转向例题9-11Bω0AψOxyMφCωaAaAvAξηaAaB运动学第八章刚体的平面运动73分别投影到ξ，η

轴上得由于所以由此即可求得M点加速度的大小和方向。对Bω0AψOxyMφCωaAaAvAξηaAaB例题9-11运动学第八章刚体的平面运动74

如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。yOBAxωφD例题9-12运动学第八章刚体的平面运动75运动演示例题9-12运动学第八章刚体的平面运动76

曲柄OD绕O轴转动，规尺AB作平面运动。AB上的D点加速度，设规尺AB的角速度为ωAB

，可由基点法或瞬心法求得解：其中的大小，方向沿AB。

atAD大小未知，垂直于AD，其方向暂设如图。因为A点作直线运动，可设aA的方向如图所示。取AB上的D点为基点，A点的加速度则例题9-12运动学第八章刚体的平面运动77取η和ξ轴如图所示，将上式分别在η和ξ轴上投影，得由上式解得ηξ规尺AB角加速度故aA的实际方向与原假设的方向相反。对式例题9-12运动学第八章刚体的平面运动78

如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆O1O=l，以匀角速度ω1绕O1轴转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上只滚不滑。设A和B是轮缘上的两点，A点在O1O的延长线上，而B点则在垂直于O1O的半径上。试求点A和B的加速度。ω1ⅠⅡO1OABC例题9-13运动学第八章刚体的平面运动79

轮Ⅰ作平面运动，其中心O的速度和加速度分别为：轮Ⅰ的速度瞬心在C点，则轮Ⅰ的角速度因为ω1和ω都为常量，所以轮Ⅰ的角加速度为零，则有解：1.求A点的加速度。选O为基点，应用加速度合成定理ω1ⅠⅡO1ABCaOvoωOaO例题9-13运动学第八章刚体的平面运动80A点相对于基点O的法向加速度沿半径OA，指向中心O，大小为ω1ⅠⅡO1OABCaOaO所以由图可知A点的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为ω例题9-13运动学第八章刚体的平面运动81所以B点的加速度大小为它与半径OB间的夹角为2.求B点的加速度。选O为基点，应用加速度合成定理其中ω1ⅠⅡO1OABCaOωaO例题9-13运动学第八章刚体的平面运动82

车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心O的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。COvOaO例题9-14运动学第八章刚体的平面运动83

车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度分别为取中心O为基点，则C点的加速度式中由于aO与大小相等方向相反，于是有解：

车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点C。方向向上COvOaOαωCOnCOaOaO例题9-14运动学第八章刚体的平面运动84§8-5运动学综合应用举例工程机构都是由数个构件组成的，各构件之间通过各种联接来实现运动的传递。各构件的运动也是多种多样的。因此，在一个复杂的机构中，可能同时存在多种运动，需要综合应用在关理论和方法来分析和解决问题。下面通过例子来说明。运动学第八章刚体的平面运动85

如图所示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与套筒B铰接，BD杆可沿水平导轨运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。求该瞬时杆OA的角速度与角加速度。OEBDllωOAvA例题9-15运动学第八章刚体的平面运动86运动演示例题9-15运动学第八章刚体的平面运动87由v及vB方向可知此瞬时点O为BE杆的速度瞬心，所以有以E为基点，B点的加速度为OEBDllωOAvAvBaB

杆BE作平面运动，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在OA杆上滑动，并带动杆OA转动，可按复合运动方法求解杆OA的角速度和加角速度。1.求B点的速度。2.求B点的加速度。解：例题9-15运动学第八章刚体的平面运动88沿BE方向投影上式，得从而求得OEBDllωOAvAvBaB例题9-15由于滑块E作匀速直线运动，故aE=0。的大小为运动学第八章刚体的平面运动89应用速度合成定理于是得杆OA的角速度

上面用刚体平面运动方法求出了B点的速度和加速度。由于B滑块可以在OA杆上滑动，因此可利用点的复合运动方法求解杆OA的角速度和角加速度。式中va=vB；牵连速度ve其方向垂直于OA，因此与va同向；相对速度vr沿OA杆，即垂直于va

。显然有3.求OA杆的角速度。OEBDllωOAvAvrveva动系－固连于OA杆。动点－滑块B。定系－固连机座。（逆时针转向）例题9-15运动学第八章刚体的平面运动90OEBDllωOAvA故杆OA的角加速度为aaαOA牵连法向加速度滑块B的绝对加速度将上式投影到与ar垂直的BD线上，得滑块B的相对运动为沿OA的直线运动，此瞬时，vr=0，故相对加速度ar=0。4.求杆OA的角加速度。应用加速度合成定理则滑块B的牵连切向加速度为（顺时针转向）牵连切向加速度沿BD杆。例题9-15运动学第八章刚体的平面运动91

在示平面机构中，AC杆在导轨中以匀速v平动，通过铰链A带动AB杆沿导套O运动，导套O与杆AC的距离为l。图示瞬时AB杆与AC杆的夹角为，求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。ACOBv例题9-16运动学第八章刚体的平面运动92运动演示例题9-16运动学第八章刚体的平面运动93ACOBvvavevr由速度合成定理ωAB由于杆AB在导套O中滑动，因此杆AB与导套O具有相同的角速度及角加速度。其角速度各速度矢如图所示。解法一解：1.求AB杆的角速度。动系－固连于导套O

。动点－A点。定系－固连机座。

绝对运动－A点以匀速v沿AC方向的运动。

相对运动－A点沿导套O的直线运动。牵连运动－导套O绕定轴的转动。其中从而求得（逆时针转向）例题9-16运动学第八章刚体的平面运动94ACOB

由于A点为匀速直线运动，故其绝对加速度为零。A点的相对运动为沿导套O的直线运动，因此其相对加速度ar沿杆AB方向，故由加速度合成定理有式中，绝对加速度aa=0，科氏加速度aCar将上式投影到ate方向得从而求得AB杆的角加速度大小为2.求AB杆的角加速度。动点、动系与定系的选取与上相同。（顺时针转向）αAB例题9-16运动学第八章刚体的平面运动95

以O点为坐标原点建立如图直角坐标系，将其两端对时间求导，并注意到当时得AB杆角速度角加速度yACOBOxxAlv再将其两端对时间求导，得得解法二则A点的x坐标为例题9-16运动学第八章刚体的平面运动96

如图所示平面机构，AB长为l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度ω绕O轴转动，滑块B以匀速v=ωl沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为30o。求此瞬时AB杆的角速度及角加速度。BOACωv例题9-17运动学第八章刚体的平面运动97运动演示例题9-17运动学第八章刚体的平面运动98BOACωv对作平面运动的AB杆，以B点为基点，有再用点的复合运动理论分析，vBvABvevr其中AB杆作平面运动