(打印版)数量关系讲解稿

行程问题1比例问题2计数问题3几何问题4杂类问题5数学运算八大解题法6行程问题——基础行程问题核心公式：路程=速度*时间常用方法：列方程相遇追及问题：相遇距离=（速度1+速度2）*相遇时间追及距离=（速度1-速度2）*追及时间流水行程问题：顺流航程=（船速+水速）*顺流时间逆流航程=（船速-水速）*逆流时间电梯问题：电梯梯级=（人速+电梯速度）*沿电梯运动方向到达时间电梯梯级=（人速-电梯速度）*逆电梯运动方向到达时间例1：甲乙同时从A地步行出发往B地，甲60米/分钟，乙90米/分钟，乙到达B地折返与甲相遇时，甲还需要再走3分钟才能到达B地，求AB两地距离是多少米？解析：设A、B两地距离为S，相遇时所花时间为t,则2S=（60+90）*t，S=60*(t+3)，解得t=12，S=900例2：甲乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时；帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港要多少个小时？解析：由题意可得轮船顺流航行15小时，逆流航行20小时，设轮船速度为X，水流速度为Y,则15(X+Y)=720，20(X-Y)=720，解得X=42Y=6,则帆船往返时间为720/(24+6)+720/(24-6)=64(小时)。例3：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当改扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？解析：设扶梯梯级为X,电梯速度为Y，则X=（2+Y)*40,X=(3/2+Y)*50，解得u=100，Y=0.5行程问题——典型行程问题等距离平均速度模型、沿途数车模型、两次相遇模型是行程问题中的重要模型。等距离平均速度：V=2V1V2/(V1+V2)例4：一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出多少千米就需往回飞？解析：平均速度=2*1500*1200/(1200+1500)=4000/3(千米/时)，因此最远飞出4000/3*6/2=4000(千米)就需往回飞。沿途数车模型：发车时间间隔=2t1t2/(t1+t2),车速/人速=(t1+t2)/(t2-t1)例5：小李沿着公共汽车路线旁的人行道匀速行走，他发现每隔15分钟有一辆公共汽车从后面超过他，每隔10分钟有一辆公共汽车迎面开过。如果公共汽车按相同的间隔时间发车，不停地匀速运行，则公共汽车发车的间隔时间是（）。解析：套用公式，发车时间间隔=2*15*10/(15+10)=12(分钟)。两次相遇模型：单岸型S=(3S1+S2)/2两岸型S=3S1-S2例6：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？解析：典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸。比例问题——工程问题核心公式：工作总量=工作效率*工作时间常用方法：赋值法（通常设为1或公倍数）比例问题——工程问题例7：甲乙丙三个工程队6:5:4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参加B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？解析：根据题目给的效率比，直接赋值。设三个工程队的效率分别是6、5、4，丙参与A工程X天，则根据题意可得6*16+4X=5*16+4(16-X)，解得X=6。例8：完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙单独工作需要24小时，丙单独工作需要30小时。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了多少小时？解析：设工作总量为360，则甲乙丙的工作效率分别为20、15、12，由此甲乙丙循环一轮共完成工作量47，即完成该工程需要轮换工作7轮多一点，而前7轮的工作量为47*7=329，还剩下31。接下来，甲工作完成20，乙完成这11份用时44分钟，故答案是7小时44分。比例问题——浓度问题核心公式：溶液=溶质+溶剂，浓度=溶质/溶液。常用方法：十字交叉法、列方程例9：要将浓度分别为20%和5%的两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克,问需要多少克5%的食盐水?解析：

20%10215%：

5%51,因此5%的食盐水需要300克。例10：瓶子里装有浓度为20%的酒精溶液1000克，现在又分别加入100克和500克的甲、乙两种酒精溶液，此时瓶子里浓度变成了13%。已知甲的浓度是乙的3倍，求甲的浓度是多少？解析：设乙酒精浓度为X，则甲酒精浓度为3X，则(1000*20%+100*3x+500*x)/(1000+100+500)=13%

解得X=1%，则甲酒精浓度为3%。比例问题——钟表问题坏表问题例11:有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分钟，实际上是什么时间？

解析：怪钟每昼夜的钟面时间长度为100*10=1000（分钟），而标准钟每昼夜的钟面时间长度为60*24=1440（分钟），当怪钟显示8点50分钟时，在其钟面上从5点到此时经过了350分钟，假定标准钟钟面上经过了X分钟，则有350/1000=X/1440，解得X=504，即标准时间经过了8小时24分钟，故此标准时间为20点24分钟。求到达某一状态的时长公式：T=T0+1/11T0例12：从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔时间是多少？解析：假定时针不动，则时针与分针第一次垂直到再一次重叠中间相隔时间为45分钟，也即T0=45，代入公式，得T=45+45/11=49(分钟)计数问题——抽屉原理抽屉原理题目表述为黑色布袋中有…(具体物品种类及个数),至少要取出多少个，才可以保证…。解决方案为反向构造。即假设所有的物品并非在布袋中，而是在自己的手中，然后逐一拿出，在拿出的过程中尽可能不要满足题目的目标，直到满足目标为止。那么在尽量不满足题目要求情况下发出的拿出的最多的数目就是题目的答案。例13：从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有5张牌的花色相同？解析：考虑手中有54张扑克牌，尽量不要使得5张牌花色相同，最多发出多少张。此时，显然是每种花色各发出4张，外加大王、小王，共18张，尚未满足要求，到剩下的扑克牌再发出1张就满足要求，故最多可以发出19张，即至少要抽出19张。计数问题——比赛问题

比赛赛制比赛场次淘汰赛：决出冠、亚军参赛选手人数-1

要求决出前三、四名参赛选手人数循环赛：单循环赛参赛选手人数*(参赛选手人数-1)／2

双循环赛参赛选手人数*(参赛选手人数-1)例14：16支球队分两组，每组打单循环赛，共需打多少场比赛？解析：16支球队分成两组，每组8支球队。每组进行单循环赛，组内比赛次数为8*7/2=28(场)，那么两组共需打56场。例15：甲乙丙丁四人比赛乒乓球，规定每两个人均要赛一场，结果甲胜了丁，甲乙丙三人胜的场数相同，那么丁胜了多少场？A、3B、1C、0D、2解析：单循环赛，共需6场，又甲乙丙胜的场数相等，则要么都胜一场，要么都胜一场，则丁胜三场，即丁胜甲乙丙各一场，这与甲胜丁相矛盾，所以该假设不成立，故甲乙丙各胜两场。计数问题——各种计数模型剪绳计数：一条绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成(2^N*M+1)段。线性植树：棵树=总长/间隔+1，总长=（棵树-1）*间隔倍增计数：如果一个量每次变为原来的N倍，则经过M次后，数目变为原来的N^M倍。方阵计数：N排N列的方阵人数为N^2人，最外层人数4（N-1）,最外两层人数和为8（N-2），方阵人数=（最外层人数/4+1）^2。过河问题：N个人过河，船最多载M个人，则过河次数为（N-1）/(M-1)。空瓶换水问题：若M个空瓶子可以换一瓶水，则相当于M-I个空瓶子就可以喝到1瓶水。几何问题1.周长公式正方形C=4a长方形C=2（a+b）圆形C=2∏R2.面积公式正方形S=a^2长方形S=ab圆形S=∏R^2三角形S=1/2ah平行四边形S=ah梯形S=1/2(a+b)h扇形=n/360∏R^23.表面积公式正方体表面积=6a^2长方体表面积=2ab+2bc+2ac球体表面积=4∏R^2=∏D^2圆柱体表面积=2∏R^2+2∏Rh圆柱体底面积=2∏R^2圆柱体侧面积=2∏Rh4、体积公式正方体体积=a^3长方体体积=abc球体积=4/3∏R^3=1/6∏D^3圆柱体体积=∏R^2h圆锥体体积=1/3∏R^2h5、几何最佳理论：（1）.平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。（2）.平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。（3）.立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。（4）.立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。6、等比例放缩特性：

一个几何图形其尺度变为原来的M倍（1）.对应角度不发生变化。（2）.对应长度变为原来的M倍。（3）.对应面积变为原来的M^2倍。（4）.对应体积变为原来的M^3倍。特殊扇形面积等于半径乘直径。杂类问题牛吃草问题草原原有草量=（牛数-每天长草数）*天数例17：有一个水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8个小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需要抽多少小时？解析：假设单位时间涌出的泉水量为X，抽的时间为Y,则（10-X）*8=(8-X)*12,，（10-4）*8=(6-4)*Y解得X=4，Y=24鸡兔同笼问题和盈亏问题列方程、解方程是最准确、高效的方法。鸡兔同笼问题例15：鸡和兔子关在同一个笼子里面，里面共有54个头，124只脚，问兔子共有多少只？解析：假设鸡、兔子分别为X、Y只，则X+Y=54，2X+4Y=124，解得X=46，Y=8。盈亏问题例16:全班同学去划船，如果减去一条船，每条船正好坐9个同学，如果增加一条船，每条船正好坐6个同学。这个班有多少人？解析：假设共有X个人，N条船，则X=9(N-1),X=6(N+1),解得X=36，N=5。年龄问题核心知识点：任何两个人的年龄差始终保持不变例18：父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子年龄的8倍时，父子的年龄和是多少岁？解析：假设X年前，父亲是儿子年龄的8倍，可得：44-X=8*(16-x),解得X=12。该年父子的年龄和为44+16-12*2=36。页码问题

核心知识点：若一本书有N页，用了M个数字当N为一位数时，N=M。当N为二位数时,N=(M+1*9)/2。当N为三位数时，N=(M+12*9)/3。当N为四位数时，N=(M+123*9)/4。例19：一本小说共有360页，则它在排版时必须用几个数码？解析：直接套用公式可得：360=(M+12*9)/3,解得M=972多人传球问题

核心知识点：M个人传N次球，记X=（M-1）^n/M，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数；与X第二接近的整数为传回到自己的方法数。

例20：4个人进行篮球传球接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式？A、60

B、65

C、70

D、75解析：根据结论，4个人传5次球，球回到甲手中，故答案为（4-1）5/4，=60.75，传回到手中，找第二接近的整数，为60.选A错位排列问题

核心知识点：有n封信n个信封，每个封信都不要在自己的信封里，可能的方法总数记为D,则D1=0，D2=1,D3=2，D4=9，D5=44，D6=256

例21：小明给5个国家的5个小朋友费别写一封信，这些信都装错了信封的情况共有多少种？A、32

B、44

C、64

D、120解析：根据结论，可得5封信进行错位排列，为44种情况。

选B数学运算八大解题法

一、特值法所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分有效。我们常常会用到特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊点、特殊方程等方法来找到特殊值，直接带入，或者考察特例、检验特例、举反例等等，总之就是把这个题目用特殊的问题进行检验，然后进行猜想，这是特殊化猜想。【例题1】一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的３倍。现该船靠人工划动从Ａ地顺流到达Ｂ地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5。问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍？Ａ．２

Ｂ．３

Ｃ．４

Ｄ．５解析：从命题分析来看，题中只出现相关量的倍数关系，要求的也是两个量的倍数关系，所以相关量的具体值不影响最后结果，可用特殊值法，便于计算。设水速为1，则人工划船顺流而下的速度是3，人工划船在静水中的速度是3-1=2。开动力桨逆水行驶与人工划船顺水行驶的时间比为3∶5，则二者速度比为5∶3，开动力桨逆水行驶的速度为5，在静水中的速度为5+1=6。因此船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的6÷2=3倍，选B。二、代入排除法公务员招录考试行测部分全部都是选择题，而代入排除法是应对选择题的有效方法。代入排除法广泛运用于多位数问题、不定方程问题、剩余问题、年龄问题、复杂行测问题、和差倍比问题等等。【例题2】甲乙两个工程队,甲队的人数是乙队人数的70%。根据工程需要,现从乙队抽出40人到甲队，此时乙队比甲队多136人，则甲队原有人数是（

）。

A.504人

B.620人

C.630人

D.720人解析：此题答案为A。甲队人数是乙队的70%，则甲队人数一定是7的倍数，这样可以排除B、D，缩小判断范围。代入C项，甲队人数是10的倍数，甲队是乙队人数的70%，则乙队人数也是10的倍数，从乙队抽出40人之后，甲乙两队相差的人数必然是10的倍数，这与题中条件不符，排除C，选择A。三、尾数法尾数法是指在不直接计算算式各项值的情况下，只计算算式各项的尾数，从而得到结果的尾数，以确定选项中符合条件的答案的方法。尾数法一般适用于加、减、乘（方）这三种情况的运算。一般选项中四个数的尾数各不相同时，可以优先考虑尾数法。两个数的尾数之和等于和的尾数，两个数的尾数之差等于差的尾数，两个数的尾数之积等于积的尾数。尾数本质上是原数除以10的余数，尾数法本质上是同余的性质。特别提示：算式中如果出现了除法，请尽量不要使用尾数法。【例题3】173×173×173－162×162×162=（

）。

A．926183

B．936185

C．926187

D．926189

[解析]D。此题直接计算，计算量很大，而且容易算错。考虑到选项中各项尾数均不相同，因此考虑使用尾数法。选项四个数的尾数各不相同，直接计算各项尾数，3×3×3-2×2×2=27-8=19；可知，计算结果的尾数应该是9，因此只能选D。四、方程法方程法是解决大部分算术应用题的工具，方程法未必是最好的方法，却是最适合普罗大众的方法。不定方程是近年来福建公务员考试的重点，解决不定方程主要用到的是整数的奇偶性、质合性与尾数性质。【例题4】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？

A.3

B.4

C.7

D.13解析：设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个。依题意，12x+5y=99。12x是偶数，则5y是奇数，5y的尾数是5。因此12x的尾数是4，x的尾数为2或7。当x=2时，y=15，两者之差为13，选D。当x=7时，y=3，题干条件说用了十多个盒子，排除。五、图解法图示有助于理解，很多题目用到了线段图，函数图则使得线性规划问题变得直观。图解法对揭示抽象条件有很大优势。

【例题5】草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1至5米之间，且任意两根旗杆的距离都不超过他们高度差的10倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子？A.40

B.60

C.80

D.100解析：旗杆最高为5米，最矮为1米。因此任意两旗杆间的距离不超过（5-1）×10=40米。以最矮的旗杆为原点，最矮的旗杆与最高的旗杆连线为x轴建立直角坐标系。当这两个旗杆间距最大时，如下左图所示。设其余任意旗杆高度为a。要满足与1米旗杆间距离不超过它们高度差的10倍，应在下图左边的圆范围内。要满足与5米旗杆间距离不超过它们高度差的10倍，应在下图右边的圆范围内。同时满足条件的旗杆只能位于两个旗杆的连线上。此时需要40×2=80米可把它们都围进去。

若两个旗杆间距小于40米，如右图所示，其余旗杆应该在两圆相交的阴影范围内分布，此时需要2×[10（a-1）+10（5-a）]=80米。因此不论旗杆怎样分布，都需要至少80米长的绳子来保证把全部旗杆围进去。另解：设共有n个旗杆，将其按照高度单调递增排列，记为P1,P2…Pn,高度分别为1≤X1≤X2≤….≤

Xn≤5,则考虑多边形P1P2…Pn有，∣P1P2∣

+∣P2P3∣+…+∣Pn-1Pn∣+∣PnP1∣

≤10(X2-X1)+10(X3-X2)+…+10(Xn-Xn-1)+10(Xn-X1)=10(Xn-X1)+10(Xn-X1)=20(Xn-X1)≤80六、十字交叉法十字交叉法是加权平均数的简便算法，在平均数一节已经反复强调，通过下面这道题可知用这种方法求加权平均数的问法在不断变化。

【例题6】某市气象局观测发现，今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了１１％和９％，而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。那么今年上半年该市降水量同比增长多少？Ａ．９．５％

Ｂ．１０％

Ｃ．９．９％Ｄ．１０．５％解析：利用十字交叉法，设该市上半年降水量总体增长为ｘ%

因此，去年一二季度