数学人教A版必修二基础训练第二章专题强化练4垂直关系的探索问题Word版含解析

专题强化练4垂直关系的探索问题一、选择题1.(2021广东深圳高二月考,)如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定二、填空题2.(2021河南商丘高一上期中,)直线m,n和平面α,β,假设α⊥β,α∩β=m,n⊂α,要使n⊥β,那么应增加的条件是.

三、解答题3.(2021山东新高考测评高二上期末,)如图,边长为5的正方形ABCD与矩形ABEF所在的平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=4.(1)求证:DA⊥平面ABEF;(2)求证:MN∥平面CDFE;(3)在线段FE上是否存在一点P,使得AP⊥MN?假设存在,求出FP的长;假设不存在,请说明理由.4.(2021广东河源高二下期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC上的任意一点.(1)假设F为PC的中点,求证:平面EFP⊥平面PAB;(2)求证:平面AFD⊥平面PAB;(3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?假设存在,写出证明过程并求出线段AF的长;假设不存在,请说明理由.5.(2021江苏无锡高考模拟,)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,且AB=4,BC=CD=ED=EA=2.(1)求二面角E-AB-D的正切值;(2)在线段CE上是否存在一点F,使得平面EDC⊥平面BDF?假设存在,求出EFEC的值;假设不存在,请说明理由专题强化练4垂直关系的探索问题一、选择题1.C∵BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,∴BA⊥l.同理BC⊥l.又∵BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.应选C.二、填空题2.答案n⊥m解析由面面垂直的性质可知,应补充的条件为n⊥m.故答案为n⊥m.三、解答题3.解析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴DA⊥AB.又平面ABCD⊥平面ABEF,且平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴DA⊥平面ABEF.(2)证明:连接FB、FC.∵四边形ABEF是矩形,M是AE的中点,∴M是BF的中点.又N是BC的中点,∴MN∥CF.又MN⊄平面CDFE,CF⊂平面CDFE,∴MN∥平面CDFE.(3)过点A作AG⊥FB交FB于点G,交FE于点P,那么点P即为所求.由(1)可得CB⊥平面ABEF,又AP⊂平面ABEF,∴CB⊥AP.又∵AP⊥FB,FB∩CB=B,FB,CB⊂平面CBF,∴AP⊥平面CBF.∵MN⊂平面CBF,∴AP⊥MN.易知△AFP∽△BAF,∴FPAF=AFAB,又AF=4,AB∴FP=1654.解析(1)证明:∵E、F分别为侧棱PB、PC的中点,∴EF∥BC.∵BC∥AD,∴EF∥AD.∵平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,平面PAC∩平面ABCD=AC,∴PA⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD.又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,∴EF⊥平面PAB.∵EF⊂平面EFP,∴平面EFP⊥平面PAB.(2)证明:由(1)得AD⊥平面PAB,∵AD⊂平面AFD,∴平面AFD⊥平面PAB.(3)存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.在Rt△PCA中,过点A作AH⊥PC,垂足为H.∵AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,∴根据平面几何知识可得CD⊥AC.结合(1)可知PA⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∵AH⊂平面PAC,∴CD⊥AH.又∵CD∩PC=C,∴AH⊥平面PCD.∴存在点F(即H),使得直线AF与平面PCD垂直.在△PAC中,PA=2,AC=2,∠PAC=90°,∴PC=PA2+AC2=6,AF=AH=5.解析(1)取AD的中点H,连接EH,那么EH⊥AD.∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EH⊥平面ABCD,过H作HN⊥AB于N,连接EN,那么EN⊥AB,∴∠ENH为二面角E-AB-D的平面角,又∵BC⊥AB,AB∥CD,AB=2CD=4,∴AD=22,AH=2,HN=1,又AE=2,∴EH=2,∴tan∠ENH=2,∴二面角E-AB-D的正切值为2.(2)存在点F满足条件.在四边形ABCD中,易得DB⊥AD,又平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴BD⊥平面EAD,∴BD⊥ED,要使平面E