北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试卷（含答案）

北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试卷（含答案）(时间：120分钟满分：150分)A卷(共100分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案1.下列各式中，y是x的二次函数的是()A．y＝3x－1 B．y＝eq\f(1,x2) C．y＝3x2＋x－1 D．y＝2x2＋eq\f(1,x)2．下列各点不在抛物线y＝－x2＋4x－1上的是()A．(－2，－13) B．(－1，－4) C．(－1，－6) D．(2，3)3．将二次函数y＝x2－4x－4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是()A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2－8 C．y＝(x＋2)2 D．y＝(x－2)2－84．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线()A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝35．二次函数y＝(x－2)2＋3是由二次函数y＝x2怎样平移得到的()A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6．对于函数y＝－2(x－m)2－1的图象，下列说法中不正确的是()A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值是－1 D．与y轴不相交7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为()A．3m B．2eq\r(6)m C．4eq\r(3)m D．9m8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()A．a＜0 B．b＞0 C．a＋b＋c＝0 D．4a－2b＋c＞09．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为()A．60元 B．70元 C．80元 D．90元10．若函数y＝eq\f(k,x)与y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝kx＋b的大致图象为(C)eq\a\vs4\al()ABCD二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．已知y＝(m－2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为_________．12．如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1_________．y2(填“＞”“＝”或“＜”)．13．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为_________．14．已知二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤5时，y的取值范围为_________．三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分12分)(1)比较二次函数y＝eq\f(1,3)x2与y＝3x2的图象：①相同点：开口方向都是向上，顶点坐标都是_________．，对称轴都是_________轴；②不同点：开口大小不一样，二次函数y＝eq\f(1,3)x2的图象比二次函数y＝3x2的图象开口大(填“大”或“小”)；(2)二次函数y＝x2－2x－3图象与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，求AB的长．16．(本小题满分6分)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：x…－2－1012…y…0－4－408…(1)根据表填空：抛物线与x轴的交点坐标是_________．和_________；(2)试确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式．17．(本小题满分8分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为_________．；(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为_________．(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为_________．(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_________．18．(本小题满分8分)已知抛物线y＝－2x2－4x＋1.(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．19．(本小题满分10分)已知：如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c经过原点O(0，0)和点A(3，3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．20．(本小题满分10分)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/米，垂直于墙的边的费用为150元/米，设平行于墙的边长为xm.(1)设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；(2)若菜园面积为384m2，求x的值；(3)求菜园的最大面积．B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是_________元时，王大伯获得利润最大．22．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管E，F怎样动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，其函数关系式是_________．23．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是_________．24．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A，B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝eq\f(1,2)，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝eq\f(1,2)x2的通径长为________25．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是_________．二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？27．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．28．(本小题满分12分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1，0)，C(0，－3)两点，与x轴交于另一点B.(1)求此抛物线的表达式；(2)已知点D(m，－m－1)在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D′的坐标；(3)在(2)的条件下，连接BD.问在x轴上是否存在点P，使∠PCB＝∠CBD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案填在下面的答题框内)题号12345678910答案CBDAADDDCC1.下列各式中，y是x的二次函数的是(C)A．y＝3x－1 B．y＝eq\f(1,x2) C．y＝3x2＋x－1 D．y＝2x2＋eq\f(1,x)2．下列各点不在抛物线y＝－x2＋4x－1上的是(B)A．(－2，－13) B．(－1，－4) C．(－1，－6) D．(2，3)3．将二次函数y＝x2－4x－4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，正确的是(D)A．y＝(x－2)2 B．y＝(x＋2)2－8 C．y＝(x＋2)2 D．y＝(x－2)2－84．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线(A)A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝35．二次函数y＝(x－2)2＋3是由二次函数y＝x2怎样平移得到的(A)A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6．对于函数y＝－2(x－m)2－1的图象，下列说法中不正确的是(D)A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值是－1 D．与y轴不相交7．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y＝－eq\f(1,4)x2，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为(D)A．3m B．2eq\r(6)m C．4eq\r(3)m D．9m8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是(D)A．a＜0 B．b＞0 C．a＋b＋c＝0 D．4a－2b＋c＞09．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为(C)A．60元 B．70元 C．80元 D．90元10．若函数y＝eq\f(k,x)与y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则函数y＝kx＋b的大致图象为(C)eq\a\vs4\al()ABCD二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在题中的横线上)11．已知y＝(m－2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为－2．12．如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1＜y2(填“＞”“＝”或“＜”)．13．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为y＝－2(x－3)2＋4．14．已知二次函数y＝x2－4x＋3，当0≤x≤5时，y的取值范围为－1≤y≤8.三、解答题(本大题共6个小题，共54分)15．(本小题满分12分)(1)比较二次函数y＝eq\f(1,3)x2与y＝3x2的图象：①相同点：开口方向都是向上，顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y轴；②不同点：开口大小不一样，二次函数y＝eq\f(1,3)x2的图象比二次函数y＝3x2的图象开口大(填“大”或“小”)；(2)二次函数y＝x2－2x－3图象与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，求AB的长．解：当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.所以A点坐标为(－1，0)，B点坐标为(3，0)．所以AB的长为3－(－1)＝4.16．(本小题满分6分)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：x…－2－1012…y…0－4－408…(1)根据表填空：抛物线与x轴的交点坐标是(－2，0)和(1，0)；(2)试确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式．解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－1)，把(0，－4)代入，得－4＝a×2×(－1)，解得a＝2.所以抛物线的表达式为y＝2(x＋2)(x－1)，即y＝2x2＋2x－4.17．(本小题满分8分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集为1<x<3；(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为x>2；(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为k<2．18．(本小题满分8分)已知抛物线y＝－2x2－4x＋1.(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)将这个抛物线平移，使顶点移到点P(2，0)的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．解：(1)y＝－2x2－4x＋1＝－2(x2＋2x＋1)＋2＋1＝－2(x＋1)2＋3，∴对称轴是直线x＝－1，顶点坐标为(－1，3)．(2)∵新顶点坐标为P(2，0)，∴新抛物线的表达式为y＝－2(x－2)2.∴平移过程为向右平移3个单位长度，向下平移3个单位长度．19．(本小题满分10分)已知：如图，抛物线y＝ax2＋4x＋c经过原点O(0，0)和点A(3，3)，P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m，0)，并与直线OA交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．解：(1)把O(0，0)，A(3，3)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝0，,9a＋12＋c＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,c＝0.))则抛物线的表达式为y＝－x2＋4x.(2)设直线OA的表达式为y＝kx，把A(3，3)代入，得k＝1，∴直线OA的表达式为y＝x.∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点横坐标相等．∵B(m，0)，∴把x＝m代入y＝x中，得y＝m，即C(m，m)；把x＝m代入y＝－x2＋4x中，得y＝－m2＋4m，即P(m，－m2＋4m)．∵点P在直线OA上方，∴PC＝－m2＋4m－m＝－m2＋3m＝－(m－eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)(0＜m＜3)．∴当m＝eq\f(3,2)时，PC取得最大值，最大值为eq\f(9,4).20．(本小题满分10分)投资1万元围一个矩形菜园(如图)，其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/米，垂直于墙的边的费用为150元/米，设平行于墙的边长为xm.(1)设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；(2)若菜园面积为384m2，求x的值；(3)求菜园的最大面积．解：(1)根据题意知，y＝eq\f(10000－200x,2×150)＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(100,3).(2)根据题意，得(－eq\f(2,3)x＋eq\f(100,3))x＝384，解得x＝18或x＝32.∵墙的长度为24m，∴x＝18.(3)设菜园的面积是Sm2，则S＝(－eq\f(2,3)x＋eq\f(100,3))x＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(100,3)x＝－eq\f(2,3)(x－25)2＋eq\f(1250,3).∵－eq\f(2,3)＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大．∵x≤24，∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.答：菜园的最大面积为416m2.B卷(共50分)一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在题中的横线上)21．今年三月份王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，当销售单价是20元时，王大伯获得利润最大．22．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管E，F怎样动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，其函数关系式是y＝x2－x＋1．23．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是(－2，0)．24．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A，B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝eq\f(1,2)，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝eq\f(1,2)x2的通径长为2．25．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝－x2＋3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON.若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是0＜m≤2.二、解答题(本大题共3个小题，共30分)26．(本小题满分8分)已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？解：(1)证明：当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．(2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6.∴当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．27．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x(s)，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．解：(1)∵S△PBQ＝eq\f(1,2)PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，∴y＝eq\f(1,2)x(18－2x)，即y＝－x2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－(x－eq\f(9,2))2＋eq\f(81,4).∵当0＜x