2020-2021高中数学人教版第一册学案：2.2 第2课时基本不等式的应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：2.2第2课时基本不等式的应用含解析第2课时基本不等式的应用关键能力·攻重难题型探究题型一利用基本不等式求参数范围例1设a〉b>c，且eq\f(1,a－b)＋eq\f（1，b－c）≥eq\f（m,a－c）恒成立，求m的取值范围．［解析]由a〉b〉c，得a－b>0,b－c〉0，a－c〉0.∴原不等式等价于eq\f(a－c,a－b）＋eq\f（a－c,b－c）≥m。要使原不等式恒成立，只需eq\f（a－c，a－b)＋eq\f(a－c，b－c）的最小值不小于m即可．∵eq\f(a－c,a－b)＋eq\f(a－c,b－c)＝eq\f(a－b＋b－c，a－b)＋eq\f(a－b＋b－c，b－c)＝2＋eq\f（b－c,a－b）＋eq\f（a－b,b－c）≥2＋2eq\r（\f(b－c,a－b）·\f(a－b,b－c）)＝4,当且仅当eq\f（b－c，a－b）＝eq\f（a－b,b－c)，即2b＝a＋c时，等号成立,∴m≤4，即m的取值范围为｛m｜m≤4}．［归纳提升]1。恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立,则a≥ymax。将问题转化为求y的最值问题,可能会用到基本不等式．2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现,在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系,探寻思路，解决问题．【对点练习】❶若对任意x〉0，eq\f（x，x2＋3x＋1）≤a恒成立，则a的取值范围是__eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（a\b\lc\｜\rc\(\a\vs4\al\co1（a≥\f(1，5)))))__.［解析］因为x>0，所以x＋eq\f(1,x）≥2,当且仅当x＝1时取等号，所以有eq\f(x，x2＋3x＋1)＝eq\f（1,x＋\f（1,x）＋3）≤eq\f(1，2＋3）＝eq\f(1,5）,即eq\f（x，x2＋3x＋1）的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5）。题型二基本不等式的实际应用例2如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?（2)要使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[分析](1）已知a＋b为定值,可用基本不等式求ab的最大值．（2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．[解析］（1）设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知:4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18。设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一：由于2x＋3y≥2eq\r（2x·3y)＝2eq\r(6xy），所以2eq\r（6xy）≤18，得xy≤eq\f（27,2），即S≤eq\f（27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4.5，，y＝3。)）故每间虎笼长4。5m，宽3m时，可使面积最大．方法二:由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3，2）y。因为x>0,所以9－eq\f(3，2）y>0，所以0<y〈6，S＝xy＝(9－eq\f（3，2）y)y＝eq\f(3，2)(6－y)·y.因为0<y〈6，所以6－y〉0,所以S≤eq\f(3，2)·[eq\f(6－y＋y，2)］2＝eq\f（27，2）。当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4。5.故每间虎笼长4。5m,宽3m时，可使面积最大．（2)由条件知S＝xy＝24。设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y。方法一:因为2x＋3y≥2eq\r（2x·3y）＝2eq\r（6xy)＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y）≥48.当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，，y＝4.））故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．方法二:由xy＝24,得x＝eq\f(24，y).所以l＝4x＋6y＝eq\f（96，y)＋6y＝6(eq\f（16，y)＋y）≥6×2eq\r（\f(16,y）·y)＝48.当且仅当eq\f(16，y）＝y即y＝4时，等号成立,此时x＝6.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．［归纳提升]在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2）建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值．（4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．【对点练习】❷如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm),能使矩形广告牌面积最小?[解析]设矩形广告牌的高为xcm，宽为ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm,（eq\f（y－25,2））cm(x>20，y>25)，两栏面积之和为2(x－20)·eq\f（y－25，2）＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，∴广告牌的面积S＝xy＝x（eq\f(18000，x－20）＋25）＝eq\f（18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25（x－20)＋18500。∵x－20>0,∴S≥2eq\r（\f(360000，x－20）×25x－20)＋18500＝24500。当且仅当eq\f(360000,x－20）＝25（x－20）时等号成立，此时有(x－20)2＝14400,解得x＝140,代入y＝eq\f(18000，x－20）＋25,得y＝175.即当x＝140，y＝175时,S取得最小值为24500.故当广告牌的高为140cm,宽为175cm时，可使矩形广告牌的面积最小．误区警示易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性例3已知x>0，y〉0，且x＋2y＝1，则eq\f(1，x)＋eq\f（1，y）的最小值为（B）A．1＋eq\r（2） B．3＋2eq\r（2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)[错解］∵x>0，y>0，∴1＝x＋2y≥2eq\r(2xy),∴8xy≤1。∴xy≤eq\f（1,8），∴eq\f（1，xy）≥8.∵eq\f(1，x)＋eq\f(1，y)≥2eq\r（8）＝4eq\r(2)。故eq\f(1，x）＋eq\f（1,y）的最小值为4eq\r(2).[错因分析]上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2eq\r（2xy),eq\f(1，x）＋eq\f(1，y)≥2eq\r（\f(1，xy）），但这两次取等号的条件需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以等号取不到．［正解]∵x＋2y＝1，x>0，y〉0,∴eq\f(1，x）＋eq\f(1,y)＝（x＋2y）（eq\f（1,x）＋eq\f（1，y))＝3＋eq\f（x，y）＋eq\f（2y,x）≥3＋2eq\r(2)（当且仅当eq\f（x，y)＝eq\f（2y，x)，即x＝eq\r(2)y时,等号成立）．∴x＝eq\r(2)－1,y＝1－eq\f（\r（2），2）。故当x＝eq\r（2)－1，y＝1－eq\f（\r（2),2)时，eq\f(1,x)＋eq\f(1，y）有最小值,为3＋2eq\r(2）.［方法点拨］连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．学科素养基本不等式求最值基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具．例4求函数y＝eq\f（\r(x＋2)，2x＋5)的最大值．［分析］把eq\r（x＋2）看成一个整体→函数转化为用eq\r（x＋2)来表示→找出其内在的形式特点→用基本不等式来处理．［解析]设t＝eq\r(x＋2)≥0，则x＝t2－2.于是y＝eq\f(t，2t2＋1）(t≥0)．当t＝0时，y＝0.当t>0时,y＝eq\f（1，2t＋\f（1,t）)≤eq\f(1，2\r(2t·\f(1,t))）＝eq\f（\r（2),4）。当且仅当2t＝eq\f（1，t),即t＝eq\f（\r(2）,2)时，y有最大值为eq\f(\r（2),4）。由eq\r(x＋2）＝eq\f（\r(2）,2),解得x＝－eq\f（3，2).即x＝－eq\f(3，2），y有最大值为eq\f(\r(2),4).[归纳提升］利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定,三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理,使其变为满足条件的形式，进而求得最值．课堂检测·固双基1．若x〉2，则x＋eq\f(4，x－2)的最小值为（C)A．2 B．4C．6 D．8［解析］令t＝x－2，则t〉0，x＋eq\f（4,x－2）＝t＋eq\f(4，t)＋2≥2eq\r(t·\f(4，t)）＋2＝6,当且仅当t＝eq\f（4,t),即t＝2，x＝4时,函数f(x)＝x＋eq\f(4，x－2）（x>2)的最小值为6.2．设x〉0,y〉0，x＋y＝4，则eq\f(1，x）＋eq\f(4,y)的最小值为__eq\f（9,4）__.[解析]∵x＋y＝4，∴eq\f（1,x）＋eq\f（4,y)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,x）＋eq\f(4,y))（x＋y)＝eq\f(1,4）（5＋eq\f(y，x）＋eq\f(4x，y）)，又x>0，y>0，则eq\f(y,x)＋eq\f（4x,y）≥2eq\r（\f（y，x)·\f(4x，y）)＝4（当且仅当eq\f（y,x)＝eq\f（4x,y）时取等号），则eq\f（1，x）＋eq\f(4,y）≥eq\f(1,4)×(5＋4）＝eq\f(9,4)。3．已知x>0,y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为__eq\f(1,16)__.[解析]xy＝eq\f（1，4)x·4y≤eq\f（1,4)(eq\f(x＋4y，2）)2＝eq\f（1,16)，当且仅当x＝4y＝eq\f(1，2）时取等号．4．建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为__1760__元．［解析]