经典题型解读第1讲 函数及其表示

///第1讲函数及其表示Ⅰ考点解读一、函数的概念1.映射的定义设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应.那么这种对应叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B.2.函数的定义〔1〕传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一个范围内任一个x的值,都有唯一的y值与它对应,那么称y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量.〔2〕现代定义：设A,B是两个非空数集,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合B中都有唯一的数f(x)和它对应.那么这种对应叫做集合A到集合B的函数,记作y＝f(x).3.函数三要素①定义域：自变量x的取值范围.②值域：因变量y的取值范围.③对应关系：联结x与y的关系,一般即解析式.二、定义域求定义域的根本类型：①f(x)为整式：定义域为R；②f(x)为分式：定义域为分母不为0；③f(x)为偶次根式：定义域为根号下≥0；④f(x)＝x0：定义域为x≠0.注意：⑴求定义域时对于解析式不能化简,必须根据原式求定义域；⑵求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．三、值域1.分段函数求值问题〔1〕分段函数：①假设函数在其定义域的不同子集上,因对应法那么不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集．注意：分段函数是一个函数而不是几个函数,处理分段函数问题时,首先确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应法那么,离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．〔2〕分段函数求值问题的两种类型①自变量求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解．②函数值求自变量：应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．2.函数求值域问题求函数值域的常见类型：〔1〕一般型：常见的求值域问题可用根本函数的性质等来处理,比拟简单.〔2〕绝对值型：利用绝对值的代数意义将函数以分段函数的形式来表示,各段分别求值域即可.〔3〕分式型：利用别离常量法将函数变形成反比例函数模型,然后用不等式根本性质运算即可.〔4〕根式型：利用换元法将函数变形成无根式的形式,然后对换元后的新函数求值域即可.四、解析式求函数解析式的常见类型：1.类型一：f(x)、g(x),求f[g(x)]型.代入法：将g(x)代入f(x)中的x,即得到f[g(x)]的解析式．2.类型二：f[g(x)]、g(x),求f(x)型.换元法：可设g(x)＝t,从中解出x,代入g(x)进行换元,求出f(t)的解析式,再将t替换为x即可．3.类型三：函数形式确定型.待定系数法：假设函数的类型(如一次函数、二次函数),根据函数类型设出函数解析式,根据题设条件列出方程组,解出待定系数即可．4.类型四：函数自变量对称出现型.函数方程法：f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f(－x)、f(EQ\F(1,x)),那么可根据等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．Ⅱ解题模板题型一：函数概念的理解例1：判断以下对应是否从A到B的映射：(1)A＝B＝N*,f：x→|x－3| (2)A＝{三角形},B＝{圆},f：三角形的内切圆例2：以下各式是否能确定y是x的函数：(1)y＝EQ\R(,x－2)＋EQ\R(,1－x)＋2 (2)(x－1)2＋(y－1)2＝2 (3)x2－y＝3例3：判断以下各题中两个函数是否表示同一个函数:(1)f(x)＝x,g(x)＝(EQ\R(,x))2 (2)f(x)＝x,g(x)＝EQ\R(,x2) (3)f(x)＝x,g(x)＝EQ\R(3,x3)(4)f(x)＝EQ\F(x2－4,x－2),g(x)＝x＋2 (5)f(x)＝EQ\R(,(x＋2)2),g(x)＝|x＋2|规律总结：⑴判断映射的具体步骤：①看集合A,B是否为空集；②看是否A中每一个元素在B中都能找到对应元素,是否A中每一个元素在B中都能找到唯一的对应元素.⑵判断函数的方法：假设x和y的关系式中没有y2或|y|,一般都是函数.⑶判断两个函数是否相同的步骤：①看定义域是否相同；②看对应关系是否相同.题型二：求定义域问题例1：求以下函数的定义域：(1)y＝EQ\R(,x－4)＋EQ\R(,4－x)＋x2 (2)y＝EQ\F((x＋1)0,EQ\R(,x＋2)) (3)y＝EQ\F(EQ\R(,x＋1),x2－5x＋6)例2：(1)y＝f(x)的定义域为[1,2],求y＝f(2x＋1)的定义域.(2)y＝f(2x＋1)的定义域为[1,2],求y＝f(x)的定义域.例3：假设函数y＝EQ\R(,mx2－6mx＋m＋8)的定义域为R,求实数m的取值范围.规律总结：求定义域的根本类型：①f(x)为整式：定义域为R；②f(x)为分式：定义域为分母不为0；③f(x)为偶次根式：定义域为根号下≥0；④f(x)＝x0：定义域为x≠0.题型三：分段函数求值问题例1：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1(x＞0),π(x＝0),0(x＜0))),求f{f[f(－1)]}的值.例2：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1(x≤0),－2x(x＞0))),假设f(a)＝10,求a的值.例3：f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3(x≥10),f[f(x＋5)](x＜10))),求f(6)的值.规律总结：分段函数求值问题的三种类型：①自变量求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解.②函数值求自变量：应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.③循环结构求值类问题：依自变量的取值仔细代入,粗心易出错,关键在于确定何时循环终止.题型四：求值域问题求以下函数的值域：1.一般型〔函数性质〕例1：(1)f(x)＝EQ\R(,x)＋1 (2)f(x)＝2x2－4x－22.双绝对值型〔去绝对值法〕例2：f(x)＝|x＋1|＋|x－2|3.分式型〔别离常量法〕例3：f(x)＝EQ\F(x＋1,x－2)(x＞3)4.根式型〔换元法〕例4：f(x)＝2x－EQ\R(,x－1)题型五：求解析式问题1.f(x)、g(x),求f[g(x)]型〔代入法〕例1：f(x)＝2x＋1,求f(x＋5).2.f[g(x)]、g(x),求f(x)型〔换元法〕例2：(1)f(EQ\R(,x)＋1)＝x＋2EQ\R(,x),求f(x).(2)f(x＋1)＝2x2＋3x＋1,求f(x).3.函数形式确定型〔待定系数法〕例3：(1)f(x)是一次函数,且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋