基于lmi的鲁棒控制理论

基于LMI（线性矩阵不等式）

的鲁棒控制器设计7.0引言7.1奇异值、H2和H∞范数7.2Ｈ∞优化与鲁棒控制7.3标准Ｈ∞控制7.6线性矩阵不等式7.7永磁同步电动机的鲁棒控制控制领域发展现状控制理论发展现代控制理论自20世纪50年代，现代控制理论飞速发展，在随后应用中（1）描述物理系统的解析模型复杂（2）模型不能精确刻画对于此类复杂的不确定性系统的分析与综合，引出一个全新的领域：不确定性系统的鲁棒性能分析与综合问题。它是近20年以来，国际自动控制界最活跃的研究领域之一。提出诸如H无穷，H2,u方法等全新的结果。经典控制理论鲁棒性(Robustness)

所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。系统的不确定性

参数不确定性，如二阶系统：可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确定性通常不会改变系统的结构和阶次。动态不确定性也称未建模动态，我们通常并不知道它的结构、阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：加性不确定性：乘性不确定性：一个例子

设汽车质量为M,路面摩擦系数为，汽车的力学模型如下图所示：

其运动方程为：如果考虑到汽车的质量M随车载负荷发生变化，且也随路面状况不同而变化，则方程的系数就具有一定的不确定性，即，无法得到M和的精确值。假设M和的取值范围给定如下：

Mvfv那么实际的被控对象就可以描述为如果用f到v的传递函数来描述，则有其中可以找到适当的界函数

鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有：

H控制理论；结构奇异值理论(理论)；

H2/H混合控制理论等。鲁棒控制发展现状求解方法存在问题克服Riccati缺陷Lyapunov

控制问题转化求解提前设定参数控制问题转化求解Matlab工具包Riccati方程（早期）LMI(20世纪90年代)在时域中研究此类鲁棒不确定性问题，主要理论基础是Lyapunov稳定性理论鲁棒控制发展现状Riccati方程处理方法

20C90Y之前,绝大多数的控制问题都是通过Riccat方程或其不等式的方法来解决的。但是解Riccati方程或其不等式时,有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。有时,即使问题本身是有解的,也找不出问题的解。这给实际应用问题的解决带来极大不便,具有很大的保守性LinearMatrixInequality处理方法

线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件,因此,可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解,不需要预先调整任何参数和正定对称矩阵,大大降低了间题求解的保守性和方便性。LinearMatrixInequalityLMI在控制领域的应用7.1奇异值、H2和H∞范数假设矩阵A∈Cm×n的秩为r,将ATA的特征值的非负方根σi称为矩阵A的奇异值,其排列次序为σ1≥σ2≥…≥σp,p=min(m,n)。如果r＜p,则矩阵A具有p-r个零奇异值,即对于任何矩阵A,有(7.1.1)其中，Σr=diag(σ1,σ2,…,σr)。式（7.1.1）称为矩阵A的奇异值分解（SVD）,其中A的最大奇异值定义为如果矩阵A是n×n的方阵,则它的第n个奇异值,也就是最小奇异值，定义为奇异值通常具有以下的性质这里的λi代表矩阵A的第i个特征值。(7.1.2)(7.1.3)属性1在鲁棒控制系统的分析和设计中很重要。因为该属性反映了矩阵A的最大奇异值与输入向量x在所有可能方向上的矩阵增益的最大值之间的关系。如果如果存在存在H控制理论提出的背景加拿大学者Zames在1981年提出了著名的H控制思想。考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个有限能量的干扰信号集合，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的H范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影响的传递函数的H范数作为目标函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。7.2Ｈ∞优化与鲁棒控制对于反馈系统如果P(s)具有误差，那么相应地开环和闭环频率特性也具有误差其中K(s)为控制器，w为干扰信号，r为参考输入，u为控制输入，e为控制误差信号，y为输出信号。系统的开环和闭环频率特性为-ryP(s)kK(s)ewu其中体现了开环特性的相对偏差到闭环频率特性的增益，因此，如果我们在设计控制器K时，能够使S的增益足够小，即分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导可得而传递函数那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义其中表示最大奇异值，即H控制问题即为对于给定的>0，设计控制器K使得闭环系统稳定且满足H理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个可描述集L2中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰wL2对系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量，求控制器K使得满足z为输出信号。定义其中Tzw(s)为由w至z的闭环传递函数，则上式等价于求使最小的控制器K就是H最优设计问题。7.3标准Ｈ∞控制7.6

线性矩阵不等式

7.6.1线性矩阵不等式的一般表示一个线性矩阵不等式是具有形式7.6.2可转化成线性矩阵不等式表示的问题的可行性问题，而后者是一个关于矩阵变量P的线性矩阵不等式。7.6.3一些标准的线性矩阵不等式问题

7.6.4LMI工具箱介绍

线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式,使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于： ●以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式； ●获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息； ●修改现有的线性矩阵不等式系统； ●求解3个一般的线性矩阵不等式问题； ●验证结果。7.6.4.1线性矩阵不等式及相关术语

考虑H∞控制中的一个线性矩阵不等式：三个标准问题：7.6.4.2线性矩阵不等式的确定

LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式。NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M其中：X1…，XK是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子N和M是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因子L（﹒）和R（﹒）是具有相同块结构的对称块矩阵。注意，在线性矩阵不等式的描述中，左边总是指不等式较小的一边，例如对线性矩阵不等式X>0，X称为是不等式的右边，0称为是不等式的左边，常表示成0<X。要确定一个线性矩阵不等式系统，需要做以下两步：给出每个矩阵变量X1，…，XK的维数和结构；描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示，它以一个单一向量的形式储存在计算机内，通常用一个名字例如lmisys来表示。该内部表示lmisys可以在后面处理这个线性矩阵不等式时调用。下面将通过LMI工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。用命令lmivar和lmiterm给出线性矩阵不等式系统（A.2.3）~（A.2.5）的内部描述如下：setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])﹪lstLMIlmiterm([111x],1,A,’s’)lmiterm([111s],c’,c)lmiterm([112x],1,B)lmiterm([122s],-1,1)﹪2ndLMIlmiterm([-211X],1,1)﹪3rdLMIlmiterm([-311s],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmis其中：函数lmivar定义了两个矩阵变量X和S，lmiterm则描述了每一个线性矩阵不等式中各项的内容。getlmis回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys，lmisys也称为是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将详细介绍这几个函数的功能和用法。setlmis和getlmis一个线性矩阵不等式系统的描述以setlmis开始，以getlmis结束。当要确定一个新的系统时，输入：setlmis([])如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为lmiso的现有的线性矩阵不等式系统中,则输入:setlmis(lmiso)

当线性矩阵不等式系统被完全确定好后，输入：lmisys=getlmis该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示lmisys。lmivar函数lmivar用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量，每一次只能描述一个矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达是：X=lmivar(type,struct)这一函数定义了一个新的矩阵变量X。函数中的第一个输入量type确定了矩阵变量X的类型，第二个输入量struct进一步根据变量X的类型给出该变量的结构。变量的类型分成三类：在确定了矩阵变量之后，还需要确定每一个线性矩阵不等式中各项的内容。线性矩阵不等式的项指构成这个线性矩阵不等式的块矩阵中的求和项。这些项可以分成三类：常数项；变量项，即包含了矩阵变量的项，例如（A.1.3）式中的ATX和CTSC。一般的变量项具有形式PXQ，其中的X是一个变量，P和Q是给定的矩阵，分别称为该变量项的左系数和右系数；外因子：在描述一个具有多个块的线性矩阵不等式时，LMI工具箱提供了这样的功能，即只需要确定对角线上和对角线上方的项的内容，或者只描述对角线上和对角线下方的项的内容，其他部分项的内容可以根据线性矩阵不等式的对称性得到。这些命令依次描述了项ATX+XA、CTSC、XB和-S。在每一条命令中，第1项是一个4元向量，它刻画了所描述的项所在的位置和特征，其中：第1个元表示所描述的项属于哪一个线性矩阵不等式。值m表示第m个不等式的左边，-m表示第m个不等式的右边。第2和第3个元表示所描述的项所在块的位置。例如，向量[1121]表示所描述的项位于第一个线性矩阵不等式左边内因了的块（1，2）中。第2和第3个元均取零表示所描述的项在外因子中。最后一个元表明了所描述的项是常数项还是变量项。如果是变量项，则进一步说明涉及哪一个变量。0表示常数项，k表示所描述的项包含第k个矩阵变量Xk，-k则表示包含矩阵变量Xk的转置（在例1中，X是第1个变量，S是第2个变量，它们按确定的先后顺序排列）。lmiterm的第2项和第3项包含了数据（常数项的值，外因子，变量项PXQ或PXTQ中的左、右系数）。第4项是可选择的，且只能是’s’。在描述项的内容时，有一些简化的方法。零块可以省略描述。可以通过在命令lmiterm中外加一个分量’s’，使得可以只用一条命令lmiterm就能描述一个变量项与该变量项的转置的和。例如，上面的第一条命令描述了ATX+XA。可以用一个标量值来表示一个数量矩阵，即用α表示数量矩阵αI，其中α是一个标量。如例1中的第3个不等式S>I被描述成 lmiterm([-311S],1,1) lmiterm([3110],1)7.6.4.3线性矩阵不等式求解器

LMI工具箱提供了用于求解以下三个问题的线性矩阵不等式求解器（其中x表示决策变量向量，即矩阵变量X1…，Xk中的独立变元构成的向量）。1.可行性问题寻找一个x∈RN(或等价的：具有给定结构的矩阵X1…，Xk)，使得满足线性矩阵不等式系统A（x）<B(x)相应的求解器是feasp。feasp求解器feasp的一般表达式如下：[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp是通过求解如下的一个辅助凸优化问题mints.t.A(x)-B(x)≤tI来求解线性矩阵不等式系统lmisys的可行性问题。这个凸优化问题的全局最优值用tmin表示，作为求解器feasp输出的第一个分量。如果tmin<0，则系统lmisys是可行的。当系统lmisys为可行时，求解器feasp输出的第二个分量xfeas给出了该线性矩阵不等式系统决策变量的一个可行解。进而，应用dec2mat可以得到系统lmisys矩阵变量的一个可行解。options(4)：该项参数用于加快迭代过程的结束，它提供了反映优化过程中迭代速度和解的精度之间的一个折衷指标。当该参数取值为一个正整数J时，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后t的减小幅度不超过1%，则优化迭代过程就停止。该参数的默认值是10。●options(5)：options(5)=1表示不显示迭代过程中的数据，options(5)=0（默认值）则相反。将options(i)设置为零相当于将相应的控制参数设置为默认值，也可以通过忽略该输入变量来接受默认值。在求解这个可行性问题的过程中，也可以附加一些约束，例如，要求矩阵P的Frobenius范数不超过10，且tmin≤-1。可以通过调用[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)来满足这些附加要求。相应的结果是tmin=-1.1745，相应的矩阵P的最大特征值是λmax(P)=9.6912。求解器mincx的一般表达式如下：

[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)问题中的线性矩阵不等式系统由lmisys表示，向量C和决策变量向量x有相同的维数。对于由矩阵变量表示的线性目标函数，可以应用函数defcx来得到适当的向量C。函数mincx返回到目标函数cTx的全局最优值copt和决策变量的最优解xopt，相应的矩阵变量的最优解可以应用函数dec2mat从xopt得到。函数mincx的输入量中除lmisys和c以外，其他的输入是可选择的。xinit是最优解xopt的一个初始猜测（可以从矩阵变量X1，…，Xk的给定值，通过使用mat2dec来导出xinit）。当输入的xinit不是一个可行解时，它将被忽略；否则，则有可能加快问题求解的过程。target是目标函数的一个设定目标，只要某个可行的x满足cTx≤target，求解过程就停止。options是一个5维向量，用来描述优化迭代过程中的一些控制参数：●opitons(1)：该参数确定了最优值copt所要求的精度（默认值是10-2）●opitons(2)：该参数设定优化迭代过程中允许的最大迭代次数（默认值是100）。●opitons(3)：该参数设定了可行域的半径。与求解器feasp中的相应参数相同。●opitons(4)：该参数用于加快迭代过程的结束。当该参数取值为一个正整数J时，表示在最后的J次迭代中。如果每次迭代后，目标函数cTx的减小幅度在给定的精度内，则优化迭代过程就停止。该项参数的默认值是5。●opitons(5)：opitons(5)=1表示不显示迭代过程中的数据，opitons(5)=0(默认值)则相反。将option(i)设置为零相当于将相应的控制参数设置为默认值，也可以通过忽略该输入变量来接受默认值。以下的例子说明了求解器mincx的使用方法。由于Trace(X)是X的元的一个线性函数，因此以上的优化问题是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化问题，从而可以应用求解器mincx来求解这个问题。以下给出用mincx来求解该问题的过程。定义线性矩阵不等式约束setlmis([])X=lmivar(1,[31])﹪变量X，满对称的lmiterm([111X],1,A,’s’)lmiterm([1110],Q)lmiterm([1220],-1)lmiterm([121X],B’,1)LMIs=getlmis2、将目标函数Trace(X)写成cTx，其中x是矩阵变量X中的独立元所构成的向量。由于引进向量C的目的是要选择X的对角元，因此它可以作为相应于X=I的决策向量得到，即c=mat2dec(LMIs,eye(3))事实上，函数defcx将提供一个确定这样的目标函数的更加系统化的方法。3调用mincx计算最小值xopt，目标函数的全局最小值copt=c’*xopt。options=[le-5,0,0,0,0][copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)其中le-5给定了所要求的关于copt的计算精度。作为求解器mincx运行的结果，以下的信息将出现在屏幕上：迭代的次数和当前这次迭代时cTx的最佳值分别在左列和右列中。注意，在第一次迭代中没有一个对应的目标函数值，这表明满足约束条件的可行解x只是在第二迭代时才被找到。gevp求解器gevp的一般表达式如下：[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)如果问题的线性矩阵不等式约束是可行的，由gevp给出了优化问题的全局最小值lopt和决策向量x的最优解xopt。相应的矩阵变量的最优解可以应用dec2mat得到。输入分量lmisys表示当λ=1时由（A.4.1）~(A.4.3)构成的线性矩阵不等式系统。包含λ的线性矩阵不等式系统称为线性分式约束。线性分式约束（A.4.3）的个数用nlfc表示，其他的输入分量都是可选择的。如果（λ0，x0）是一个可行解，则通过令linit=λ0、xinit=x0，将（λ0，x0）设置为gevp的初始值。当（λ0，x0）不是可行解时，这样的初始值设置不会被接受。target的设定值表明了只要当一个可行解（λ，x）满足λ≤target时，迭代过程就停止。可选择输入量options是一个5维向量，用来描述优化迭代过程中的一些控制参数：●options(1):该参数设定了最优值lopt所要求的精度（默认值是10-2）。●options(2):该参数设定优化迭代过程中允许的最大迭代次数（默认值是100）。●options(3):该参数设定了可行域的半径。与求解器feasp中的相应参数相同。●options(4):该参数用于加快迭代过程的结束。当该参数取值为一个正整数J时，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后λ的减小幅度在给定的精度内，则优化迭代过程就停止。该参数的默认值是5。●options(5):options(5)=1表示不显示迭代过程中的数据options(5)=0（默认值）则相反。将options(i)设置为零相当于将相应的控制参数设置为默认值，也可以通过忽略该输入变量来接受默认值。对广义特征值的最小化问题，在调用求解器gevp时，须遵循以下规则：●确定包含λ的线性矩阵不等式：A(x)<B(x)（注意没有λ）；●总是把A（x）<B（x）放在线性矩阵不等式系统的最后；●要求有约束0<B（x），或者保证0<B（x）成立的任何其他约束。setlmis([])P=lmivar(1,[21])lmiterm([1110],1)﹪P>I：Ilmiterm([-111P],1,1)﹪P>I：Plmiterm([211P],1,A1,’s’)﹪LFC#1(lhs)lmiterm([-211P],1,1)﹪LFC#1(rhs)lmiterm(311P],1,A2,’s’)﹪LFC#2(lhs)lmiterm([-311P],1,1)