二次函数课件人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册【公开课课件】第22章

二次函数22.1.1二次函数1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.2.能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.#人教版九年级数学上册《22.1.1二次函数》教学包（可直接课堂使用）##一、教学过程（45分钟，分环节实操）###（一）情境导入（5分钟）1.展示3个生活实例（配图片/视频片段）：-实例1：篮球出手后在空中的运动轨迹（播放10秒短视频）-实例2：喷水枪喷出的水流形状（展示静态图片）-实例3：正方形边长为x，面积y与x的关系（PPT呈现图形）2.提问引导（师生互动）：-“这些现象的变化规律能用我们学过的一次函数y=kx+b（k≠0）表示吗？”（学生回答：不能）-“那它们的变量之间存在怎样的关系？我们今天来探究一种新的函数——二次函数。”###（二）新知探究（15分钟）####1.列关系式（小组合作+板书展示）-任务：让学生分组写出3个实例的变量关系式，每组派代表板书：-实例1（篮球轨迹）：设篮球出手高度1.5m，水平距离xm，竖直高度ym，关系式为y=-0.2x²+x+1.5（教师补充合理系数）-实例2（水流）：设喷水口高度2m，水平距离xm，水流高度ym，关系式为y=-0.1x²+0.8x+2-实例3（正方形面积）：y=x²-追问：“这些关系式有什么共同特征？”（学生讨论后发言）####2.定义总结（教师精讲）-板书二次函数定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。-强调关键要点（结合实例标注）：-a≠0（若a=0，关系式变为y=bx+c，是一次函数）-自变量x的最高次数是2-等式右边是整式-明确各部分名称：a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。####3.即时辨析（课堂小练）-给出6个关系式，让学生快速判断是否为二次函数，说明理由：1.y=3x²+2（是）2.y=x²+（分母含x，不是）3.y=2x+5（不是，一次函数）4.y=-x²+3x-1（是）5.y=(x+1)²-x²

（化简为y=2x+1，不是）6.y=πx²

（是，π是常数）-请2-3名学生口头回答，教师纠错补充。###（三）例题讲解（10分钟）####例1：识别二次函数的各项系数-题目：写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）y=5x²-3x+1（2）y=-x²+2（3）y=3x(x-2)-解题步骤（板书规范格式）：-（1）直接识别：a=5，b=-3，c=1-（2）一次项系数为0：a=-1，b=0，c=2-（3）先整理成一般形式：y=3x²-6x，故a=3，b=-6，c=0-强调：“必须先将函数关系式化为一般形式y=ax²+bx+c，再确定系数，注意符号。”####例2：根据实际问题列二次函数关系式-题目：用长为20m的篱笆围成一个矩形花园，设矩形的一边长为xm，面积为ym²，求y与x的函数关系式，并判断是否为二次函数。-解题过程（师生共同分析）：-第一步：确定另一边长。篱笆总长20m，矩形对边相等，故另一边长为(20÷2-x)=(10-x)m-第二步：列面积关系式。面积=长×宽，即y=x(10-x)-第三步：整理一般形式：y=-x²+10x-第四步：判断：a=-1≠0，是二次函数-追问：“x的取值范围是什么？”（引导学生考虑实际意义：x>0，10-x>0，故0<x<10）###（四）课堂练习（10分钟）1.基础题（全体必做）：-（1）下列函数中，是二次函数的是（

）A.y=2x-1B.y=C.y=x²+2x-3D.y=(x-1)²-x²-（2）写出二次函数y=-2x²+5x-的二次项系数a=____，一次项系数b=____，常数项c=____。2.提升题（选做）：-一个直角三角形的两条直角边的和为10cm，设其中一条直角边为xcm，面积为ycm²，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。-学生独立完成后，同桌互查，教师巡视指导，最后公布答案并讲解易错点。###（五）课堂小结（3分钟）-师生共同回顾：-二次函数的定义和一般形式（强调a≠0）-如何确定二次函数的各项系数（先化一般形式）-如何根据实际问题列二次函数关系式（注意自变量取值范围）-提问：“今天你学会了什么？还有什么疑问？”（解答学生遗留问题）###（六）布置作业（2分钟）1.教材练习第1、2、3题（必做）2.拓展题：观察生活中还有哪些现象可以用二次函数表示，记录下来并尝试列出关系式（选做）##二、PPT分页内容（共12页，直接复制使用）###第1页：封面-标题：22.1.1二次函数-副标题：人教版九年级数学上册-制作者：XXX-日期：XXXX年XX月XX日###第2页：情境导入-标题：生活中的数学现象-内容：3张图片（篮球轨迹、水流形状、正方形）+提问：“这些现象的变量关系能用一次函数表示吗？”###第3页：实例关系式-标题：列出变量关系式-内容：1.篮球轨迹：y=-0.2x²+x+1.52.水流形状：y=-0.1x²+0.8x+23.正方形面积：y=x²-提问：“这些关系式有什么共同特征？”###第4页：二次函数定义-标题：二次函数的定义-内容：

一般形式：y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）

各部分名称：-二次项：ax²（系数a）-一次项：bx（系数b）-常数项：c

关键条件：a≠0，自变量最高次数为2，整式函数###第5页：即时辨析-标题：判断下列函数是否为二次函数-内容：1.y=3x²+2（

）

理由：________2.y=x²+（

）

理由：________3.y=2x+5（

）

理由：________4.y=-x²+3x-1（

）

理由：________5.y=(x+1)²-x²

（

）

理由：________6.y=πx²

（

）

理由：________###第6页：例题1-标题：例题1：识别各项系数-内容：

写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）y=5x²-3x+1

（2）y=-x²+2

（3）y=3x(x-2)

解题步骤：先化一般形式，再确定系数（注意符号）###第7页：例题1解答-标题：例题1解答过程-内容：

（1）a=5，b=-3，c=1

（2）y=-x²+0x+2→a=-1，b=0，c=2

（3）y=3x²-6x+0→a=3，b=-6，c=0

总结：常数项为0时不能省略，一次项系数为0时需标注b=0###第8页：例题2-标题：例题2：列实际问题的函数关系式-内容：

题目：用长为20m的篱笆围成矩形花园，设一边长为xm，面积为ym²，求y与x的函数关系式，并判断是否为二次函数。

分析：-另一边长：(10-x)m-面积公式：y=长×宽-自变量取值范围：实际意义限制###第9页：例题2解答-标题：例题2解答过程-内容：

解：∵矩形另一边长为(10-x)m∴y=x(10-x)=-x²+10x∵a=-1≠0，∴是二次函数

自变量x的取值范围：0<x<10（边长为正数）###第10页：课堂练习-标题：巩固练习-内容：1.选择题：下列函数中是二次函数的是（

）A.y=2x-1B.y=C.y=x²+2x-3D.y=(x-1)²-x²2.填空题：y=-2x²+5x-的a=____，b=____，c=____3.解答题：直角三角形两直角边和为10cm，设一边为xcm，面积为ycm²，求y与x的函数关系式及x的取值范围。###第11页：课堂小结-标题：本节课重点回顾-内容：1.二次函数定义：y=ax²+bx+c（a≠0）2.各项系数确定：先化一般形式，注意符号3.实际问题建模：列关系式+自变量取值范围

疑问解答：________###第12页：作业布置-标题：课后作业-内容：1.必做：教材练习第1、2、3题2.选做：观察生活中二次函数现象，尝试列关系式3.预习：22.1.2二次函数的图象和性质##三、教学辅助素材###1.易错点提醒（课堂强调）-忽略a≠0的条件：如判断y=kx²+bx+c是否为二次函数时，需注明k≠0-系数符号错误：如y=-x²+3x中，二次项系数是-1，不是1-未化一般形式直接找系数：如y=3x(x-1)，需先整理为y=3x²-3x，再确定a=3，b=-3，c=0-忽略自变量取值范围：实际问题中，自变量需满足实际意义（如长度、面积为正数）###2.课堂互动小游戏（可选，5分钟）-游戏名称：“二次函数侦探”-规则：教师说出一个函数特征（如“二次项系数为2，常数项为-3”），学生快速举手说出符合条件的二次函数（如y=2x²+5x-3、y=2x²-3等），说对的学生获得“侦探勋章”（贴纸奖励）-目的：快速巩固二次函数的定义和系数特征，活跃课堂气氛###3.拓展资源（选讲）-介绍二次函数的应用场景：如抛物线形拱桥、卫星轨道（简单提及，激发兴趣）-趣味小知识：“二次函数的图象是抛物线，古希腊数学家阿基米德最早研究了抛物线的性质”你是否注意过喷泉水流所经过的路线？你是否注意过篮球入篮的路线？它们会与某种函数有联系吗？什么是函数？1.什么是函数？一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数.2.目前，我们已经学习了哪些函数？一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式怎样表示?x2y=6x2问题2：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系?【分析】每个球队与其他_____个球队各比赛一场.n-1m=n(n-1)m=n2-n问题3：某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示?【分析】一年后的产量：20(1+x)两年后的产量：20(1+x)(1+x)y=20(1+x)2y=20x2+40x+20思考y=6x2m=n2-ny=20x2+40x+20问题1，2，3中这三个关系式有什么共同点?1.函数关系式；2.函数解析式是整式；3.自变量的最高次数是2.二次函数二次（一元）二次方程函数一次函数ax2+bx+c=0(a≠0)y=kx+b(k，b是常数，k≠0)二次函数的概念：二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数解析式必须同时满足的三个条件：（1）函数解析式是整式；（2）化简整理后自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，即a≠0.二次函数的一般形式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的特殊形式：当b=0，c=0时，y=ax2(a≠0)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)一次项系数、常数项可以为0.例1判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)y=3(x-1)2+1(2)y=(3)S=3-2t2先整理化简y=3x²-6x+4二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4√不是整式×√=-2t2+3二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3(4)y=(x+3)2-x2先整理化简y=6x+9×(5)V=10πr2√二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0(6)y=ax2×a≠0才是二次函数归纳：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.例2(1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围.一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)解：∵k-2≠0，∴k≠2.(2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值.解：∵k-3=2，∴k=5.(3)y=(m-2)

+4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式.解：m2-2=2，m-2≠0.得m=±2，m≠2.∴m=-2.∴此时函数解析式为y=-4x2-4.本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=2的错误答案，需要引起同学们的重视.例3矩形的周长为16cm，它的一边长为xcm，面积为ycm2.求(1)y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；(2)当x=3时，求矩形的面积.【分析】矩形的周长为16长+宽=8另一边=8-x解：(1)y=x(8-x)=-x2+8x(0<x<8)(2)当x=3时，y=-32+8×3=15(cm2)练习1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.【教材P29练习第1题】S=2πr2+2πrh=2πr2+2πr2=4πr2练习2.如图，矩形绿地的长、宽各增加xm，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式.【教材P29练习第2题】y=(30+x)x+20x+20×30=30x+x2+20x+600=

x2+50x+600实际问题归纳抽象数学模型性质、特点实际问题的答案1.下列函数是二次函数的是（

）

A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=x-22.二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（）

A.1B.-1C.7D.-63.已知函数y=(a-1)